- •Комбинаторные формулы
- •Теорема умножения вероятностей
- •Числовые последовательности
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- •Сходящиеся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей
- •1.3. Число «е»
- •1.2.2. Объем шара и пирамиды
- •Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур
- •Случайные величины.
- •3.1. Закон распределения дискретной случайной величины
- •3.2. Закон распределения непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятности.
- •§1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины
- •Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
- •1.7.1 Формула Бернулли
- •1.7.2 Наивероятнейшее число успехов.
- •Нормальный закон распределения.
- •Совместное распределение двух случайных величин.
- •3 Ряд распределения, многоугольник распределения
Числовые последовательности
Определение 1.1.1. Если каждому n из множества натурального ряда чисел поставлено в соответствие по определённому закону некоторое вещественное число xn, то множество чисел x1,x2,x3,….,xn,…. называется числовой последовательностью и обозначается {xn}, при этом xn называется общим членом числовой последовательности. Числа xn называются элементами или членами числовой последовательности.
Например, последовательность с общим членом xn=, будет последовательностью чисел 1,,,…..,=.
Последовательность с общим членом xn=1+(-1)n будет последовательностью чисел
Арифметическая и геометрическая прогрессия также являются числовыми последовательностями.
Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность с общим членом xn=x1+(n-1), где d – разность арифметической прогрессии
Например, 1, 5, 9, …, 4n-3, … ; xn=1+4(n-1)=4n-3, d=4
Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность с общим членом xn=xi qn-1 ,где q – знаменатель геометрической прогрессии
Например: 3, .
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Числовые последовательности бывают бесконечно большими и бесконечно малыми.
Определение 1.1.2. Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А, сколь угодно большого, можно указать номер N такой, что при n N все элементы последовательности xn удовлетворяют неравенству
Например, последовательность натурального ряда чисел 1, 2, …, n, … является бесконечно большой, т.к, какое ни возьми число N, начиная с которого, для nN, члены последовательности будут всё-таки больше А.
Последовательность 1, 2, 1, 3, 1, 4, …, 1, n, … не является бесконечно большой, так как для всех нечетных членов этой последовательности неравенство не будет выполняться.
Определение 1.1.3. Последовательность {n} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа, сколь угодно малого, можно указать номерN такой, что при nN все элементы .
Например, геометрическая прогрессия, у которой знаменатель , является бесконечно малой числовой последовательностью.
Рассмотрим геометрическую прогрессию с общим членом 1,
Изобразим точками на числовой оси элементы этой последовательности (см.рис.1.1.)
Рис.1.1. Числовая последовательность с общим членом
Выберем сколь угодно малое число , например, =0,1. Начиная с номераN =5, для всех членов последовательности справедливо неравенство xn<0,1. Если выбрать =0,01, то, начиная с номераN =8, для всех членов последовательности справедливо xn<0,01.
Если в неравенстве<раскрыть модульные скобки, то (-<<) показывает, что начиная с номераN, зависящего от , все члены последовательности попадают на интервал (-;). Для рассмотренного примера, при=0,1, начиная сN =5 члены последовательности попадают на интервал(-0,1;0,1); при =0,01 на интервал(-0,01;0,01). Чем меньше, тем больше номерN. Все члены последовательности приближаются к нулю, но ни при одном n, не обращаются в нуль.
Рассмотрим пример последовательности с общим членом xn=(-1),
1,
Изобразим точками на числовой оси элементы этой последовательности (см. рис.1.2)
Рис.1.2. Числовая последовательность с общим членом xn=(-1)
Видно, что члены последовательности приближаются к нулю, при этом ни один элемент последовательности не равен нулю. Для любого, сколь угодно малого, >0, можно указать номерN, начиная с которого для всех nN, справедливо неравенство <.
=0,1, номер N =11 =0,01, номерN =101 и т.д.
Значит, последовательность также является бесконечно малой.
Основные свойства бесконечно малых последовательностей
Сумма бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая. .
Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая .
Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая .
Если {xn} – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера n, определена последовательность , которая является бесконечно малой..
Если все члены бесконечно малой последовательности не равно нулю, то последовательностьбесконечно большая..