ТОИ ЛЕКЦИЯ 1_2_Логика

Определение

Логика – это наука о формах и способах мышления

Формы мышления

понятие суждение умозаключение (высказывание,

утверждение)

Подобно тому, как в алгебре изучают общие свойства числовых выражений, так и в математической логике изучают общие свойства выражений, составленных из высказываний с помощью логических операций. Этот раздел математической логики называют алгеброй логики.

Высказывание

Высказывание – это повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается о реальных

предметах, их свойствах и отношениях между ними:

nможет быть либо истинно, либо ложно;

nможет быть выражено с помощью естественных и формальных языков;

nможет быть простым (неразложимое высказывание) и составным

(высказывание, которое можно разложить на части).

Примеры высказываний:

а) пятью пять двадцать пять (истинное высказывание); б) 2+6>8 (ложное высказывание);

в) сумма чисел 4 и 1 больше числа 8 (ложное высказывание); г) II + VI > VII (истинное высказывание);

Истинность простых высказываний определяется на основании здравого смысла.

Истинность составных высказываний определяется с помощью алгебры высказываний.

Алгебра высказываний

nСлужит для определения истинности или ложности составных высказываний, не вникая в их содержание;

nВ алгебре высказываний простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные, обозначаемые латинскими буквами:

Например:

A – «Сканер – это устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера»

B – «Клавиатура – это устройство ввода информации»

nЕсли высказывание истинно, то ему соответствует значение логической переменной 1, если ложно – 0;

Тогда: A = 0, B = 1

nНад высказываниями можно производить определенные логические операции, в результате которых получаются новые, составные высказывания.

Логические операции

Логическое умножение

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» («а», «но») называется операцией логического умножения или конъюнкцией.

Правило истинности

Составное высказывание, образованное в результате логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны входящие в него простые высказывания.

n Обозначение операции логического умножения: &, ^, *

н

Логические операции

Логическое сложение

Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза

«или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией.

Правило истинности

Составное высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции), истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.

n Обозначение операции логического сложения: Ú , +

Логические операции

Логическое отрицание

Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией

Правило истинности

Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным, а ложное - истинным.

n Обозначение инверсии: ¬ , ¯

Пусть имеется простое высказывание A, составим составное высказывание F с помощью инверсии: F = ¬ A (F = A )

Логические операции

Логическое следование

Соединение двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…,

то…» называется операцией логического следования или импликацией

Правило истинности

Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации), ложно тогда, когда из истинной посылки (высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание)

n Обозначение импликации: Þ, ®

F = A Þ B

Приоритет действий

nИнверсия

nКонъюнкция

nДизъюнкция

Составление таблиц истинности

nЧисло строк = 2n , где n –число логических переменных;

nЧисло столбцов = число логических переменных + число логических операций.

Логические выражения, у которых таблицы истинности совпадают называются

равносильными.