лекция 7

Лекция 7

Модели турбулентной вязкости или некоторые гипотезы о турбулентных напряжениях.

Расчетное определение характеристик турбулентного переноса составляет важнейшую, но пока еще далеко не решенную проблему теории турбулентности.

По этой причине большую роль играют полуэмпирические теории турбулентности, опирающиеся на опытные константы.

Рассмотрим частный случай плоскопараллельного квазиустановившегося турбулентного течения несжимаемой жидкости (рис. 5.4).

Рис. 7.1

Пусть u = u ( y) и ∂∂uy > 0 , υ = w = 0 .

Следовательно, υ′ = υ −υ = υ , w′ = w − w = 0 ( w = 0, так как задача плоская). Дополнительное касательное напряжение, связанное с пульсационными

добавками скорости, для рассматриваемого случая согласно (7.1) равно

Как будет показано ниже, зависимость (7.2) описывает турбулентное касательное напряжение τΤ , причем

Для расчета τΤ необходимо найти зависимость пульсационных добавок от

осредненных характеристик потока.

Полуэмпирическая теория турбулентности начала свое развитие с работы Буссинеска, который предложил зависимость, аналогичную закону вязкости Ньютона,

где μΤ - динамическая турбулентная вязкость.

В отличие от физической вязкости μ турбулентная вязкость μΤ не

является свойством жидкости и в турбулентном потоке переменна.

В 1904 г. Л. Прандтль предложил двухслойную модель турбулентного течения. Согласно этой модели в непосредственной близости от стенки существует область вязкого подслоя с ламинарным течением, где касательные

напряжения являются чисто вязкими и

τв = μ ddyu , а τΤ = 0.

В части потока, удаленной от стенки (в турбулентном ядре)

μ = μΤ и τв ≈ 0 , а τΤ = μΤ ¶u

¶y

Более поздние исследования показали наличие переходной зоны, в которой

Для раскрытия зависимости (7.2) Прандтль в 1924 г. предложил следующую схему пульсационного движения в турбулентном потоке: жидкий моль, двигавшийся в слое 1 с осредненной скоростью u1 , под влиянием турбулентной

пульсации υ′ перемещается на расстояние l′ в слой 2. При этом перемещении моль не взаимодействует с другими частицами. Перейдя в слой 2, он приобретает его осредненную скорость u2 . В результате в слое 2 появится пульсация

продольной скорости

причем знак дополнительного касательного напряжения в зависимости (7.2), как и в (7.3) будет всегда положительным. В рассматриваемом случае, к примеру,

отрицательная величина υ′ вызывает положительную величину u′ . Вводя

причем в дальнейшем, для установившегося течения знак осреднения обычно опускается, так как среднерасходная скорость не зависит от режима течения.

Величина l , имеющая линейную размерность, называется длиной пути смешения. Она характеризует возможность для жидких молей перемещаться в поперечном направлении с сохранением исходной скорости и является, следовательно, характеристикой внутреннего механизма турбулентного движения, своего рода масштабом турбулентности.

Базируясь на подходах Буссинеска и Прандтля, были предложены много- численные формулы для расчета τΤ и l , в том числе на случай трехмерного те-

чения. Тем не менее, следует отметить, что упомянутые модели течения приме- нимы только для описания простейших течений. Действительное поведение турбулентных течений, как показали многочисленные углубленные исследования, значительно отличается от предложенных моделей, а результаты расчета часто не согласуются с экспериментальными наблюдениями. Хотя теория пути смешения и позволила решить ряд важных для практики задач, она не объясняет разницы в механизмах переноса количества движения, с одной стороны, и примеси и энтальпии с другой, а также ряд опытных результатов. Для учета этих обстоятельств были предложены более сложные и общие модели течения: модели переноса турбулентной вязкости, модели переноса кинетической энергии

турбулентности и другие модели турбулентности и их разработка все еще далека от завершения.

Ряд методов расчета турбулентных течений, различающихся по степени

сложности используемых в них концепций и по возможностям точного описания структуры течений представлены в известном учебнике Л. Г. Лойцянского.

Наибольшее распространение в настоящее время получили методы, содержащие уравнения переноса кинетической энергии. Среди них выделяется так называемый метод «k − ε », основанный на совместном решении уравнений переноса импульса, кинетической энергии и скорости диссипации. Метод « k − ε »

содержит в своей основе гипотезу Буссинеска. В методе «u¢υ¢ - k - ε » вместо

гипотезы Буссинеска используется уравнение переноса рейнольдсова напряжения, содержащее напряжение турбулентного трения в качестве неизвестной зависимой переменной [Лойцянский].

Наконец, благодаря мощным ЭВМ, все более широко используется метод

прямого численного моделирования турбулентных течений на основе непосредственного решения уравнений Навье - Стокса без их осреднения.

ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ. УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ В ТРУБАХ

Основные понятия

Одномерным называется течение, в котором гидрогазодинамические параметры жидкости зависят только от одной, в общем случае пространственной координаты.

Простейшим примером одномерного течения является элементарная струйка. Одномерным можно считать канал с плавно изменяющимся по длине поперечным сечением. В таком канале мала кривизна линий тока и мал образующийся между ними угол, поэтому живые сечения могут приближенно считаться плоскими, а параметры в них постоянными. Течение при этом называется плавно изменяющимся.

В реальных потоках вязких жидкостей ввиду влияния граничных поверхностей наблюдается неравномерное распределение скоростей в живых сечениях. У стенок частицы жидкости тормозятся до нулевой скорости, а в ядре (центре) потока скорость максимальна. Для перехода в этом случае к одномерной модели используется, например, средняя по сечению (среднерасходная) скорость Wcp , которая находится по зависимости (2.11).

Основные уравнения одномерного движения те же, что и в общем случае – это уравнения неразрывности, количества движения (импульса) и энергии.

Уравнение неразрывности (расхода).

Рассмотрим установившееся движение жидкости в трубке тока (рис. 7.2). Для этого случая согласно (2.24)

Ñò ρWndF = 0,

F

где F = F1 + Fб + F2 .

Через боковую поверхность трубки тока жидкость не протекает, так как на этой поверхности Wn = 0. Учитывая это и правило знаков для Wn , исходное

выражение можно записать в виде

то есть массовый расход через трубку тока постоянен.

Введем величину

называемую плотностью тока. Тогда из (7.9) следует, что

то есть в местах сужения трубки тока плотность тока увеличивается и наоборот.

Рис. 7.2

Для несжимаемой жидкости ρ = const и из (7.9) следует, что

то есть при увеличении площади потока скорость течения несжимаемой жидкости падает и наоборот. Логарифмируя и дифференцируя выражение для m = ρWF ,

можно получить дифференциальное уравнение неразрывности в виде

что соответствует выводу, сделанному согласно (7.12).

Уравнение количества движения.

Согласно уравнению количества движения (4.44) для установившегося движения

жидкого объема

òρWnWdF = òρRdV + ò pndF.

F V F

Рассмотрим цилиндрическую с прямолинейной осью струю идеальной жидкости ( μ = 0) при отсутствии массовых сил ( R = 0). Учитывая, что силы давления по такой цилиндрической поверхности уравновешиваются, а Wn на ней

равна нулю, а также совпадение векторов скорости в произвольных поперечных сечениях F1 и F2 (примечание – сечения обычно нумеруются вниз по течению) с

осью струи, исходное уравнение можно записать в виде

Введем величину J = pF + mW называемую полным импульсом потока в сечении

то есть полный импульс цилиндрической струи с прямолинейной осью при отсутствии массовых сил и сил трения не изменяется.

При этом, вдоль оси прямолинейного канала при отсутствии массовых сил и сил трения отсутствуют действующие на него и на струю продольные силы.

При F1 = F2 из (7.17) имеем

С учетом (7.21) выражение (7.20) можно преобразовать к виду

Если сечения F2 и F1 бесконечно сближать, то получим дифференциальную

форму уравнения импульсов

Из (7.22) или (7.23) следует важный вывод: при отсутствии массовых сил

и сил трения прирост скорости всегда связан с падением давления и наоборот.

Этот вывод справедлив как для газа, так и для капельной жидкости. Причем

такая связь между давлением и скоростью существует независимо от характера процессов, происходящих в потоке и изменения остальных параметров.

Например, при подогреве газа в цилиндрическом канале при постоянном расходе, согласно выражению (7.10), плотность тока ρW будет постоянной.

Поэтому (при дозвуковом течении) скорость будет расти, а следовательно плотность будет падать. При этом, несмотря на подогрев, будет падать и давление.

В заключении необходимо отметить, что условие (7.19) справедливо только для невязкой струи постоянного сечения с прямолинейной осью. В общем случае, например, в сужающемся или расширяющемся каналах, при течении с трением, по боковому участку контрольной поверхности на участке 1-2 действуют силы давления и силы трения, изменяющие величину полного импульса потока.

Уравнение Бернулли как механическая форма уравнения энергии

Для стационарного потока идеальной жидкости уравнение Бернулли записывается в форме (4.40):

Уравнение Бернулли часто называют механической формой уравнения энергии, так как все составляющие уравнения имеют механическое происхождение.

Каждому слагаемому в уравнении можно дать соответствующее энергетическое толкование: первое слагаемое, которое можно записать в виде mgz / m , является потенциальной энергией положения, которой располагает

единица массы жидкости в поле массовых сил тяжести, ò dpρ характеризует работу

сил давления по перемещению жидкости, а W 2 / 2 - определяет кинетическую энергию единицы массы жидкости.

При ρ = const выражение (7.24) преобразуется к виду

В последнем случае всем слагаемым в уравнении можно дать соответствующее геометрическое толкование: z – геометрическая высота (напор),

всех трех слагаемых H - полный напор.

Из соображений равенства размерностей слагаемых согласно (7.26) можно

Здесь hж - высота столба жидкости с плотностью ρж , создающего в своем основании единичной площади давление p . Высоту столба жидкости

отсчитывают по пьезометру, обычно вертикальной прозрачной трубке (рис. 8.1),

подсоединеннойму одним концом к точке измерения давления, а другим открытой в атмосферу, откуда и берет свое название пьезометрическая высота

(напор) (Примечание: Слово «пьезометрическая» произошло от слияния двух греческих слов, из которых первое значит «давление», а второе - «мера»).

Постоянство сумм в (7.25) или (7.26) свидетельствует о том, что

составляющие уравнения Бернулли могут взаимопревращатъся. Причем для движущейся со скоростью жидкости системы координат, относительно которой W = 0, то есть жидкость находится в состоянии покоя, из (7.26) следует, что

Это условие гидростатического равновесия жидкости справедливо для произвольного поперечного сечения потока жидкости и для неподвижной