лекция 4

Лекция 4

Свойства напряжений поверхностных сил. Давление и его свойства.

Возьмем какую-либо точку M сплошной среды, проведем из этой точки координатные оси и построим на них бесконечно малый тетраэдр ABCM с ребрами dx , dy , dz . Ориентировка грани ABC произвольна и задается вектором

нормали n . Обозначим площадь грани ABC через dS , а площади трёх граней тетраэдра, лежащих в координатных плоскостях через dFx , dFy и dFz .

Рис. 4.1

Составим векторное уравнение движения жидкого тетраэдра, выражающее второй закон Ньютона. При этом учтем, что положительными принято считать напряжения, направленные в сторону внешней нормали, а орты координатных осей, являющиеся нормалями к площадкам dFx , dFy и dFz , направлены внутрь

выделенного жидкого объема.

На тетраэдр ABCM будут действовать поверхностные силы, характеризуемые напряжениями px , py , pz и pn , приложенными на

соответствующих гранях тетраэдра, а также массовая сила

dR = F dm = ρFdV = ρF 13 hdS ,

где R – напряжение массовой силы, м/с2; dm – масса в объеме тетраэдра dV , h – высота тетраэдра.

В соответствии со вторым законом Ньютона сумма сил, действующих на тетраэдр, равна произведению его массы на ускорение, то есть

Площади граней, параллельных координатным осям, можно вычислить как площади проекций грани ABC на соответствующие координатные плоскости:

Здесь nx = n × i = ni cos(n, x) = cos(n, x), аналогично ny , nz .

В результате, подставив (4.2) в (4.1) сокращаем все члены равенства (4.1) на dS и стягивая тетраэдр в точку (то есть полагая h → 0), получим

С другой стороны, каждый из векторов px , py , pz может быть представлен

тремя составляющими, действующими вдоль координатных осей.

Обратимся к рис. 4.1. На грань dFx действует напряжение px , для которого

можно записать

px = iσ x + jτ xy + kτ xz ;

аналогично

Первый индекс указывает ориентацию площадки (нормаль к ней), а второй – ось, на которую проецируется вектор. Для нормального напряжения второй индекс совпадает с первым, поэтому может опускаться.

Таким образом, напряженное состояние в точке определяется совокупностью трех векторов напряжения или их девятью компонентами, определенными на трех взаимно перепендикулярных площадках. Соотношение (4.5) является определением тензора (от англ. tension - напряжение).

Компоненты образуют тензор второго ранга, которому можно поставить в соответствие матрицу:

Диагональные компоненты (с одинаковыми индексами) называются нормальными напряжениями, а остальные компоненты – касательными напряжениями, или

напряжениями сдвига.

Тензор напряжений (4.6) зависит от координат и времени и образует тензорное поле.

Если составить уравнения моментов относительно координатных осей, можно показать, что для касательных напряжений справедливы соотношения:

называемые законом парности касательных напряжений. Соответствующее доказательство можно найти, например, в [1, 2] из списка основной литературы. Из этого закона следует, что тензор напряжений (4.6) является симметричным. Последнее означает, что тензор напряжений содержит только шесть различных компонент. В соответствии с этим уменьшается число неизвестных в уравнениях движения.

Рассмотрим теперь модель идеальной жидкости. Идеальной жидкостью

называется изотропная сплошная среда, в которой отсутствуют касательные напряжения, то есть τij = 0 (i ¹ j ). Касательные напряжения в жидкости

возникают благодаря трению. Поэтому можно сказать, что идеальная жидкость – это жидкость, лишенная внутреннего трения.

Тогда, из (4.5) следует, что

Жидкий объем в силу своего строения не может воспринимать растягивающие напряжения. Поэтому действующие на него нормальные напряжения должны быть сжимающими. Такое сжимающее нормальное

напряжение называется абсолютным давлением или просто давлением и

обозначается p . Следовательно,

Знак «минус» показывает, что давление всегда направлено по внутренней нормали к поверхности выделенного жидкого объема. Это первое свойство давления.

Обозначая px = −σ x , py = −σ y , pz = −σ z , можно записать p = px = py = pz .

Осюда следует второе свойство давления: в любой точке идеальной или

покоящейся вязкой жидкости, а также при движении вязкой жидкости с равномерным полем скоростей давление считается величиной положительной и не зависит от ориентации в пространстве площадки, к которой оно приложено, то есть давление – величина скалярная.

Но в общем случае p = p(x, y, z,t) , то есть давление может изменяться в

пространстве (в разных точках разное давление) и во времени (в одних и тех же точках в разные моменты времени давление может меняться).

Уравнение движения жидкости в напряжениях.

Применим к произвольному жидкому объему V , ограниченному поверхностью F , известную из теоретической механики теорему о количестве движения системы: производная по времени от количества движения системы равна сумме действующих на нее внешних сил.

Количество движения K массы жидкости в объеме V равно

K = òρWdV ,

V

где W - скорость движения центра масс жидкого объема dV . Тогда

Так как ρdV - масса жидкого объема dV , не изменяющаяся со временем, то есть

Тогда уравнение количества движения жидкого объема V в интегральной форме запишется в виде: