Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

лекция 9

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.03.2015

Размер:

164.49 Кб

Скачать

☆

Лекция 9

Наименование					Затраты времени
Наименование	Содержание теоретической части разделов			Номер		(час)
разделов
						Самостоятель-
		дисциплины		лекции

дисциплины					Лекции	ная (внеаудитор-
дисциплины						ная) работа
						студента
	Турбулентное течение вязкой несжимаемой жидкости в			9	2	0,5
	трубе: начальный участок, двухслойная модель
	турбулентного течения. Профили скоростей при
	турбулентном	движении:	полуэмпирический
	логарифмический и эмпирический степенной законы
	распределения	скоростей.	Универсальность
	логарифмического закона распределения скоростей, его
	недостатки и способы устранения. Зависимость показателя
	степени при степенном законе распределения скоростей от
	числа Рейнольдса.	Среднерасходная	и максимальная
	скорости и их связь с показателем степени в законе
	распределения скоростей. Коэффициент Кориолиса.
	Сравнение профилей скорости при ламинарном и
	турбулентном режимах. Степенной закон распределения
	скоростей для шероховатых труб: зависимость показателя
	степени от коэффициента сопротивления трения.
	Понятие о гидравлически гладких и шероховатых
	трубах, абсолютная и относительная шероховатости.
	Закон сопротивления гладких труб.

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 1 ~

Турбулентное течение вязкой несжимаемой жидкости в трубе.

При турбулентном течении жидкости длина начального участка, по данным разных исследователей, определяется соотношением

lнач = 25 ¸100.

(9.1)

Г.В.Филиппов предложил зависимость

lнач	=	2,45		,	(9.2)
d			ζ

где ζ - коэффициент сопротивления трения для участка стабилизированного течения.

При достаточно длинной трубе и высокой степени турбулентности можно считать, что турбулентное течение возникает в начале трубы, а поток состоит из тонкой пристеночной области чисто вязкого течения - вязкого (ламинарного) подслоя и области полностью турбулентного течения - турбулентного ядра потока. Это описание соответствует двухслойной модели турбулентного течения,

которая предполагает, что в ламинарном подслое действует механизм молекулярного переноса, а в турбулентном ядре - более мощный механизм молярного обмена.

Профили скоростей при турбулентном движении.

Для турбулентного режима течения в отличие от ламинарного отсутствует чисто теоретическая зависимость для описания поля скоростей. Поэтому последнее получают, основываясь на одной из полуэмпирических теорий, например, на теории пути смешения Прандтля, либо задают эмпирическими зависимостями.

Рассмотрим случай, при котором y / r0 <<1 (координата отсчитывается от

стенки, см. рис. 8.2), тогда задачу можно свести к плоской.

Гипотеза о пути смешения открыла реальные возможности для расчета турбулентных потоков. Хотя определить величину пути смешения удалось лишь опираясь на эксперимент с введением дополнительных гипотез, полученные расчетные формулы для скоростей и других параметров течения, используемые при решении ряда задач, дают хорошее соответствие с экспериментом.

При течении около твердой стенки при y = 0 (на стенке) u = 0 (условие

прилипания Прандтля). Кроме того, стенка гасит все турбулентные пульсации (u′ =υ′ = 0 - условия прилипания и непроницаемости). В этой области и l = 0, то

есть, согласно (7.7), и τΤ = 0, а τв = μ du ¹ 0 . Считается, что это справедливо при
dy
0 ≤ y ≤ δл , где δл - толщина ламинарного подслоя. При y > δл	появляются турбу-
С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике	~ 2 ~

лентные пульсации и возрастает путь смешения.

В простейшем случае Прандтль принял
l = κ y ,	(9.3)
что соблюдается, согласно экспериментальным данным,	лишь до y / r0 ≈ 0,1. При

этом κ = 0,4, где κ ("каппа") - константа пристенной турбулентности, часто называемая первой.

Для труб удовлетворительные результаты дает формула А. А. Саткевича

l = κ y		1-		y		,
				r

			0
из которой следует, что при r0 → ∞ , то есть для плоской стенки, l = κ y .
Принимая, что при y > δл τт = ρl	2		æ du		ö2
			ç		÷ , а τв = 0, с учетом (9.3)
			è dy		ø

записать, что

τт = ρκ	2	y	2	æ du ö2
τт = ρκ		y		ç ÷ .
				è dy ø

(9.4)

можем

(9.5)

Воспользуемся зависимостью (8.20), предполагая, что вблизи стенки она пригодна как для ламинарного, так и для турбулентного течения. Так как dr = −dy

(см. рис. 8.2), c1 = 0 , а τ = μ(du / dy) , получим

τ = -μ du	= -	r	dp .	(9.6)

dr		2 dx

Введем τ0 - касательное напряжение при r = r0 , то есть на стенке. Используя зависимость (9.6) и, учитывая, что dp / dx = const , а r = r0 − y можем записать

= τт

r0 - y

=1-

(9.7)

Отсюда при y / r0 → 0 , то есть для плоской стенки,

τ0 = τт .

(9.8)

Введем обозначение

~ 3 ~

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

τ0		= u ,	(9.9)

ρ	*

где u* - динамическая скорость.

Учитывая ( 7.2′ ) можно сказать, что динамическая скорость является мерой интенсивности пульсационного движения.

С учетом (9.8) и (9.9) из (9.5) следует, что

du		=		u*		(9.10)
dy		=		κ y		(9.10)
dy				κ y
или
du	=		1		dy .	(9.11)
u	=				dy .	(9.11)
u			κ y
*

Интегрируя (9.11) получим

u = 1 ln y + c. u* κ

Это так называемый логарифмический закон распределения

Обычно он записывается в следующем безразмерном виде

u = 1 ln u* y + c1 , u* κ ν

где

c1 = c − κ1 ln uν* ,

(9.12)

скоростей.

(9.13)

(9.14)

	а u* и ν - постоянные величины. При этом
	u* y	(9.15)
	ν	(9.15)
	ν

– некоторая безразмерная величина, часто называемая безразмерной координатой, аналогичная по структуре числу Re, и выражающая отношение сил инерции пульсационного движения к силам вязкости.

Логарифмический закон распределения скоростей оказывается универсальным как для описания турбулентного течения вдоль плоской стенки

(внешняя задача), так и для течения жидкости в трубе (внутренняя задача). Согласно опытным данным И. Никурадзе [Лойцянский] для труб круглого

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 4 ~

сечения с гладкими стенками при κ = 0,4 c1 = 5,5.

При y → 0 из (9.13) следует, что u → −∞ , что физически нереально.

Следовательно, логарифмический закон распределения скоростей не может использоваться в непосредственной близости от стенки. Этот недостаток

исправляется при введении ламинарного подслоя,			в пределах которого (при
y / r0 =1)
τв = τ0	= μ du	,	(9.16)
	dy

то есть касательное напряжение является чисто вязким.

Так как ламинарный подслой очень тонкий, а его толщина отсчитывается от стенки, распределение скоростей в нем можно считать линейным, то есть

du	= u .	(9.17)
dy	y
Тогда
τ0 = μ u .		(9.18)
	y

Найдем δл . При y = δл , u = uδл и

τ0 ≡ u2 =ν uδл ρ * δл

или

uδл = u*δл . u* ν

С другой стороны, из (9.13) следует, что

uδл = 1 ln u*δл + c1 . u* κ ν

Совместное решение уравнений (9.20) и (9.21)

uδл = u*δл = 11.5 = α , u* ν

(9.19)

(9.20)

(9.21)

дает при κ = 0,4 и c1 = 5,5

(9.22)

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 5 ~

чисто ламинарное течение имеет место при

где α – вторая (после κ ) константа пристенной турбулентности (пристенная турбулентность формируется под влиянием твердых границ (поверхностей), обтекаемых потоком).

Из (9.22) следует, что скорость на границе ламинарного подслоя равна

Тогда			uδл	= αu* .			(9.23)
Тогда
	u δл		αu δ
Re =	δл	=	*		л = α 2	=132 = const .	(9.24)
Re =		=	*		л = α 2	=132 = const .	(9.24)
δл	ν		ν
	ν		ν

Небольшая величина числа Re на границе ламинарного подслоя говорит о

значительном превышении в ламинарном подслое сил вязкости над силами инерции.

При увеличении числа Re = ud /ν осредненного течения в трубе за счет роста скорости увеличивается и uδл , но, так как Reδл = const , то δл падает. Это

явление оказывает существенное влияние на трение при турбулентном течении около шероховатых поверхностей.

Экспериментальные данные показывают, что

uν* y £ 5;

переходное при	5 <		u* y	< 70;	(9.25)

		u* y	ν
турбулентное при			³ 70 .

		ν
Зная профиль скоростей,	можно рассчитать				максимальную и

среднерасходную скорости и соотношение между ними, значение коэффициента Кориолиса и другие характеристики потока. Но логарифмический профиль скоростей неудобен для проведения математических расчетов.

Более простым и удобным для практического использования, но далеко не универсальным, является чисто эмпирический степенной закон распределения

скоростей, записываемый в виде
	u	æ	y	ön
		= ç		÷ ,	(9.26)
	umax
		è r0 ø
если отсчет идет от стенки к оси трубы, где umax					- скорость на оси трубы, или в
виде:

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 6 ~

	u	æ		r	ön
		= ç1	-		÷	,	(9.27)
	umax			r0
		è			ø
когда r отсчитывается от оси, при этом			y = r0			− r . В выражениях (9.26) и (9.27)

показатель степени п, определяемый экспериментально, зависит от числа Re,

уменьшаясь с его увеличением (см. табл. 6.1). В пределах Re = 4·103 – 105

достаточно хорошее совпадение расчетных и экспериментальных данных

обеспечивается при		n =1/ 7 . Такой степенной закон часто называют «законом
одной седьмой».
							Таблица 9.1
Re	4·103		2,3·104	1,05·105	1,1·106	3,2·106		∞
n	1/6		1/6,6	1/7	1/8,8	1/10		0
umax / ucp	1,26		1,24	1,22	1,18	1,16		1

Используя степенной закон распределения скоростей (9.27), можно найти

что

ucp

òudF =

òumax ç1

2π rdr =

max

π r2u

max F

max 0

= 2òr (1- r )n dr =

(9.28)

(n +1)(n + 2)

где r = r / r0 .

Последний интеграл в (9.28) вычисляется так

2òr (1- r )n dr = -2ò(1-1+ r )(1- r )n d(1- r ) =

(1- r )

n+2

(1- r )

n+1

= 2ò(1- r )(1- r )n d(1- r ) -2ò(1- r )n d(1- r ) = 2ê

n + 2

n +1

= -2

(n + 2)

(n +1)

+1)(n + 2)

Отношение ucp / umax или обратное umax / ucp

характеризует наполненность поля

скоростей. При umax / ucp =1 поле скоростей полностью наполнено или равномерно. Для ламинарного течения согласно (8.30) umax / ucp = 2 и не зависит от числа Re.

Мощный механизм турбулентного перемешивания приводит к ускорению пристенных слоев турбулентными молями, перемещающимися из области ядра к стенкам, и выравниванию поля скоростей. Поэтому в турбулентном потоке поле

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 7 ~

скоростей более равномерное, чем в ламинарном, но нарастание скорости у стенки более крутое.

Коэффициент Кориолиса определим согласно (7.42) с учетом (9.27) и (9.28). После небольших преобразований получим:

α =

òu3dF

ò0 u3 2π rdr

π r2

= ò1

umax3 (1- r )3n

rdr

1 [(n +1)(n + 2)]3 .

(9.29)

3 é

4 (3n +1)(3n + 2)

umax ê

(n +1)(n

+ 2)

(Последний интеграл в (9.29) берется по той же схеме, что и (9.28))

При n =1/ 7 коэффициент

α =1,0584, и обычно в расчетах

для

турбулентных течений принимается равным единице.

Рассмотренные для турбулентного течения зависимости справедливы для гидравлически гладких труб.

А.Д. Альтшуль в 1956 году показал, что степенной закон распределения скоростей пригоден и для шероховатых труб, если показатель степени в законе

распределения скоростей

n = 0,9

(9.30)

где ζ - коэффициент сопротивления трения для участка стабилизированного течения.

При этом

umax =1+1,35		,	(9.31)
	ζ
ucp
α =1+ 2,65ζ .			(9.32)

Понятие о гидравлически гладких и шероховатых трубах.

Любой трубопровод имеет какую-то абсолютную шероховатость, характеризующуюся высотой бугорков h , остающуюся постонной. В то же время толщина ламинарного подслоя δл зависит, как показано выше, от числа Re,

уменьшаясь с его увеличением. Экспериментально получена зависимость

δл	=	32,5	,	(9.33)

		Re ζ
d

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 8 ~

из которой следует такой же вывод. Если δл > h , то труба называется

технически или гидравлически гладкой и гидравлические потери в ней рассчитываются без учета шероховатости. Если же δл < h , то труба называется

шероховатой. Следовательно, понятия гладкая или шероховатая труба являются относительными. Принято рассматривать также относительную шероховатость dh

или	h	и относительную гладкость	r0	.
	r
			h
	0

Закон сопротивления гладких труб.

Из (9.13) для оси трубы, то есть при y = r0 , для c1 = 5,5 и κ = 0,4 получаем,

что

umax	= 2,5ln	u*r0	+ 5,5.	(9.34)
umax	= 2,5ln	ν	+ 5,5.	(9.34)
u		ν
*
При этом, с учетом (9.13),	раскрывая		y = r0 − r	и принимая во внимание
(9.34), получим, что

ucp

dF =

1 r0

2,5ln

æ u

(r - r) + 5,5

2π rdr =

òu

π r2 òê

Fu F

æ u r

éu

= 2

òê

2,5ln

* 0

- r ) + 5,5

rdr =2

max

+ 2,5ln(1

- r )ú

rdr .

Вычисляя интеграл (см. Клеванского В.М.), получим, что

ucp = umax - 3,75. u* u*

С учетом (9.34)

ucp

= 2,5ln

u r

+1,75.

* 0

Согласно (9.6) при r = r0

с учетом (8.15) и (8.7)

r Dp

ρucp2 1

τ0 =

ρucp.

2r0

2 l

(9.35)

(9.36)

(9.37)

С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

~ 9 ~

Отсюда, учитывая (9.9), получаем, что

u* =

ucp

(9.38)

или

ucp

(9.39)

С учетом (9.38), комплекс

ucpr0

u r

= Re

(9.40)

* 0

2ν

Подставляя (9.39) и (9.40) в (9.36) и заменяя натуральный логарифм десятичным, нетрудно получить закон распределения в виде

1		= 2,035lg(Re		)− 0,91.	(9.41)
			ζ

	ζ

Корректировка постоянных коэффициентов по экспериментальным данным приводит к зависимости [Лойцянский]

1		= 2lg(Re		)− 0,8,	(9.42)
			ζ

	ζ

выражающей универсальный закон сопротивления Прандтля для гладких труб. Учитывая, что зависимость (9.41) получена теоретически (правда, с использованием экспериментальных констант κ = 0,4 и c1 = 5,5), можно сделать

вывод об однозначной связи между законом сопротивления и профилем скоростей.

Аппроксимация универсального закона сопротивления в явном виде ζ = f (Re) дает формулы И. И. Никурадзе и П. К. Конакова-Кольбрука [Лойц.,

Сергель]

ζ = 0,0032 + 0,221	; ζ =	1	.	(9.43)
		(1,8lg(Re) −1,5)2
Re0,237
При Re ≤105 часто используется		эмпирическая	формула	Блазиуса,
соответствующая степенному закону распределения скоростей [Лойц.]
ζ =	0,3164.			(9.44)
	Re0,25			~ 10 ~
С.М. Мухаметшин. Лекции по гидрогазодинамике

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.03.2015285.09 Кб16лекция 7.pdf
#
21.08.2019116.74 Кб5ЛЕКЦИЯ 8 свайные работы.doc
#
18.03.2015325.84 Кб9Лекция 9 Строки_Файлы.pdf
#
18.03.2015163.63 Кб11Лекция 9. Понятие банка. Виды банков.docx
#
20.11.2018185.66 Кб1Лекция 9. Понятие банка. Виды банков.docx
#
18.03.2015164.49 Кб12лекция 9.pdf
#
18.03.2015317.43 Кб22Лекция Операционные системы.pdf
#
21.11.201846.64 Кб1Лекция по делу_6.docx
#
18.03.2015814.81 Кб9лекция по информатике 3 - 1.pdf
#
18.03.2015663.6 Кб14Лекция по информатике1-2.pdf
#
20.11.2019216.58 Кб2лекция по креативной рекламе1.doc