Дифуры в таблицах

Название уравнения

Общий вид и Решение

Уравнение с разделенными переменными

уравнение с разделяющимися переменными

Однородные уравнения первого порядка

,,

Линейные уравнения первого порядка

1)Метод Лагранжа( метод вариации произвольной постоянной2)Метод Бернулли Решим уравнение подставляя находим решение

Уравнения Бернулли

Делением обеих частей на и подстановкой , где новая неизвестная функция, это уравнение приводится к линейному уравнению .

Уравнения в полных дифференциалах

;из равенстванаходим и подставляем в решение

Уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнение вида .Общее решение получается с помощью - кратного интегрирования

,где

Уравнение вида .С помощью замены понизим порядок уравнения на единиц: .Предположим, что для полученного уравнения общее решение имеет вид .Тогда искомая функция получается с помощью кратного интегрирования функции

Уравнения вида .В этом случае примем за независимую переменную и введем новую функцию . Считая, что есть функция от и через посредство зависит от и, применяя правило дифференцирования сложных функций, получим для производных от по выражения

,,

аналогично вычисляются .

Подставляя в уравнение вместо и т.д., увидим, что в новых переменных порядок уравнения будет , т.е. на единицу ниже. Если это преобразованное уравнение проинтегрировано и - его решение, то нахождение общего интеграла данного уравнения сводится к интегрированию.Откуда получаем общее решение ОДУ .

Линейные неоднородные уравнения второго порядка

Общее решение имеет вид Если известно общее решение соответствующего уравнению однородного уравнения , то для определения частного решения уравнения можно воспользоваться методом Лагранжа вариации произвольных постоянных. Решение уравнения может быть получено по формуле:

линейного дифференциального уравнения порядка с постоянными коэффициентами есть

Общее решение имеет вид ,где являются корнями характеристического уравнения.Каждому действительному корню уравнения кратности соответствуют линейно независимых решений уравнения ,

а каждой паре комплексных корней кратности соответствуют пар линейно независимых решений:

Если квадратное уравнение имеет два различных действительных корня и , то согласно имеем два линейно независимых решения уравнения .Общее решение имеет вид , Если квадратное уравнение имеет комплексные корни , тогда

общее решение имеет вид. Если квадратное уравнение (2.22) имеет два равных действительных корня , то общее решение уравнения имеет вид .

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью

, где - многочлен -й степени, - число, или , где - многочлены степени и , соответственно, - числа, частное решение уравнения можно найти методом неопределенных коэффициентов.А именно, пусть правая часть имеет вид . 1)Если не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

,где - многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами, которые надо найти. Для чего, вычисляя с помощью и подставляя в исходное уравнение , сокращаем правую и левую части на . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений для отыскания неопределенных коэффициентов. Подставив их , будем иметь искомое частное решение .2)Если совпадает с некоторым корнем характеристического уравнения кратности , то частное решение ищется в виде . Дальнейшие действия аналогичны предыдущему случаю. Пусть теперь правая часть уравнения имеет вид .3)Если число не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде ,где , и многочлены одной и той же степени , но с разными неопределенными коэффициентами, которые находятся так же как и в первом случае. 4) Если совпадает с некоторым корнем характеристического уравнения кратности , то выражение для частного решения домножается на , а именно, где , , те же, что и выше.

Замечание 2. Многочлены с неопределенными коэффициентами четвертой, третьей, второй, первой, нулевой степени имеют вид:

где неопределенные коэффициенты; многочлены и выписываются аналогично .