2. Расчёт средней арифметической, среднего квадратичного отклонения, коэффициента вариации, моды и медианы

Для расчёта средней арифметической, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации применяем формулы во взвешенной форме, так как данные сгруппированы и представлены в виде интервального

№ группы	Группы предприятий по среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов, млн.руб.		Число предприятий (f)		Середина интервала (х)		х* f		х-х	(х-х)2* f
1 группа	10-14	5		12		60		-11			605
2 группа	14-18	5		16		80		-7			245
3 группа	18-22	8		20		160		-3			72
4 группа	22-26	8		24		192		1			8
5 группа	26-30	7		28		196		5			175
Итого:		33				688					1105

ряда.

Для расчета указанных величин нам понадобятся некоторые промежуточные данные, представленные в таблице 1.3

Таблица 1.3

2. Построение графика полученного ряда распределения: гистограммы и кумуляты

Для расчёта средней арифметической воспользуемся следующей формулой:

х = ∑ хf / ∑ f = 688/30 = приблизительно 23 (млн. руб.),

где х – значение признака;

f – частота повторения признака;

∑хf – сумма произведений величины признаков на их частоты;

∑f – общая численность единиц совокупности.

Для вычисления дисперсии воспользуемся следующей формулой:

σ2 = ∑(х-х)2 f / ∑ f = 830 / 30 = 36,83 (млн. руб.)

Среднее квадратическое отклонение для вариационного ряда вычисляется по формуле:

σ==6,068 (млн. руб.)

Для вычисления коэффициента корреляции воспользуемся формулой:

V = (σ /х)*100 =26,38%

Таким образом, колеблемость количества предприятий от среднего значения составляет 26,38 %, это значительный коэффициент вариации и следовательно, совокупность устойчива и средняя величина является типичной для всей совокупности.

Таблица 1.4

№ п/п	Показатель	Значение
1	Средняя арифметическая, млн. руб.	23 млн. руб.
2	Дисперсия, млн. руб.	36,83 млн. руб.
3	Среднее квадратическое отклонение, млн. руб.	6,068 млн. руб.
4	Коэффициент вариации, %	26,38%

Теперь вычислим среднюю арифметическую, расчёт будем производить по формуле для среднеарифметической простой:

х = ∑ х / n = 630 / 30 = 21 (млн. руб.),

где х – значение вариант (индивидуальное значение признака у отдельных единиц совокупности);

n – число единиц совокупности.

Полученный результат отличен от приведённого выше, так как в данном случае расчет проводился для несгруппированных значений признака, представленных в виде дискретного ряда.

Мода (Мо) – представляет собой значение изучаемого признака, повторяющегося с наибольшей частотой.

Первоначально по наибольшей частоте определим модальный интервал. Наибольшее число предприятий – 8 – имеет среднегодовую стоимость материальных оборотных фондов в интервале 18-22 млн. руб., который и является модальным.

Мода среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов:

f2 – f1 8– 5

Mо = x0 + I ——————— = 18 + 4————— = 20 (млн. руб.)

( f2 – f1 ) + (f2 - f3 ) (8 – 5) + (8 - 5)

где х0-нижняя граница модального интервала;

i-величина модального интервала;

f2-частота модального интервала;

f1-частота интервала, предшествующего модальному;

f3-частота интервала, следующего за модальным.

Значит, наиболее часто встречаемая среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов 20млн. руб.

Медиана (Ме) называется вариант, расположенный в середине упорядоченного вариационного ряда, делящий его на две равные части.

Прежде всего найдем медианный интервал. Таким интервалом очевидно будет интервал среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов предприятий - 18-22 млн. руб.

Половина суммы Всех частот=33/2=16,5

Нижняя граница интервала 18 млн. руб., его частота 8; частота накопленная до него, равна 10.

Медиана среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов:

(∑f) /2 – Sme 33 : 2 -10

Me = xме + iме —————— = 20 + 4 ————— = 23,25(млн. руб.)

fMe 8

где хме-нижняя граница медианного интервала;

Iме-величина медианного интервала;

∑f-сумма частот ряда;

SMe-1 –сумма накопленных частот ряда, предшествующих медианному.

Полученный результат говорит о том, что из 30 предприятий 50% имеют среднегодовую стоимость материальных оборотных фондов более 23,25 млн. руб., а 50% предприятий менее 23,25 млн. руб.

Задание №2

Решение:

Для изучения связи между явлениями и их признаками строят корреляционную таблицу и аналитическую группировку.

Сначала установим связь между указанными признаками методом аналитической группировки. В качестве факторного признака будет выступать среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов, а в качестве результативного – выпуск продукции. Строим рабочую таблицу.

Результаты группировки отражены в таблице 5.

Таблица 5.

Зависимость выпуска продукции от среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов

№ группы	Группировка предприятий по среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов, млн.руб.	№ предприятия	Среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов, млн. руб.	Выпуск продукции млн.руб.
I	10-15	7	15,0	30
		11	13,0	35
		12	12,0	21
		28	10,0	24
		29	14,0	36
		30	11,0	19
Итого:		6	75	165
II	15-20	2	19,8	35
		3	18,3	34
		6	19,0	38
		14	17,0	41
		15	17,0	30
		22	19,9	45
		26	18,0	35
Итого:		7	129	258
III	20-25	1	24,7	39
		5	24,9	50
		9	22,8	46
		10	20,7	38
		13	23,5	27
		16	21,3	47
		17	21,7	42
		21	23,7	48
		23	22,9	43
		27	23,8	40
Итого:		10	230	420
IV	25-30	4	28,0	61
		8	27,0	51
		18	26,0	34
		19	27,0	57
		20	30,0	46
		24	29,0	48
		25	29,0	60
Итого:		7	196	357

Для установления наличия и характера связи между среднегодовой стоимостью материальных оборотных фондов и выпуском продукции по данным рабочей таблицы 6 строим итоговую аналитическую таблицу.

Таблица 6

Зависимость среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов от выпуска продукции

Группировка предприятий по среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов, млн. руб.	Число пред-прия-тий	Среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов, млн. руб.		Выпуск продукции, млн. руб.
		Всего	В среднем на одно пр-тие	Всего	В среднем на одно пр-тие
10-15	6	75	12,5	165	27,5
15-20	7	129	18,43	258	36,86
20-25	10	230	2,3	420	42
25-30	7	196	28	357	51
Итого:	30	630	81,93	1200	157,36

По данным аналитической таблицы мы видим, что с ростом среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов, выпуск продукции в среднем на одно предприятие возрастает. Значит, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная зависимость.

Материалоотдача характеризует стоимость продукции на один рубль материальных оборотных фондов.

Мо = В/Мз ,

Мо = 1200/630 =1,91 руб.

Материалоёмкость отражает величину материальных затрат приходящихся на 1 рубль выпущенной продукции.

Ме= Мз/В = 630/1200 = 0,53 руб.

2). Для того чтобы определить тесноту взаимосвязи между факторным и результативным признаком необходимо вычислить эмпирическое корреляционное отношение - .

Корреляционное отношение вычисляется как корень квадратный из отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии.

η=√δ2/σ2

Для этого необходимо вычислить:

1. Среднюю из внутригрупповых дисперсий;

2. Межгрупповую дисперсию;

3. Общую дисперсию.

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий по формуле:

Она отражает вариацию выработки, обусловленную всеми факторами.

Расчет произведем в таблице 7, данные для которой возьмем на основании табл.6.

Таблица 7

№ п/п	Выпуск продукции в среднем на одно предприятие (f)	Среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов в среднем на одно предприятие (хi)	х* f	х-х	(х-х)2* f	σ2
1	27,5	12,5	343,75	-8	1760	11,2
2	36,86	18,43	679,33	-2,07	157,94	1
3	42	23	966	2,5	262,5	1,67
4	51	28	1428	7,5	2868,75	18,23
Итого:	157,36	81,93	3417,08		4907,19	32,1

(млн.руб.)

Вычислим межгрупповую дисперсию по формуле:

, где:

- среднее значение результативного признака внутри j-той группы,

- количество предприятий в j-той группе,

- среднее значение признака среди исследуемой совокупности.

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного порядка, обусловленную влиянием признака, фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних хi и общей средней х.

(млн.руб.)

Суммирование средней из внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дает общую дисперсию:

σ2 = δ2 + σ2

Общая дисперсия отражает суммарное влияние всех возможных факторов на общую вариацию.

σ2 = 31,2+8,57=39,74 (млн. руб.)

Очевидно, чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака (среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов) на изучаемый признак (выпуск продукции).

В статистическом анализе широко используется эмпирический коэффициент детерминации (η2) – показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии результативного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации:

η2 =

δ²

σ²

Эмпирический коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака f под влиянием факторного признака х (остальная часть общей вариации f обуславливается вариацией прочих факторов). При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, а при функциональной связи – единице.

31,2

η2 = =0,78 или 78%

39,74

Он показывает, что среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов зависит от выпуска продукции и 22% - влияние прочих факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение – это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации.

Оно показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаком.

Из соотношения Чэддока видим, что связь между признаками «тесная», так как (0,7-0,9).

В корреляционной таблице представим группировку по двум взаимосвязанным признакам: факторному (среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов) и результативному (выпуск продукции).

Построим корреляционную таблицу, образовав 4 группы с равными интервалами по обоим признакам, полученные данные представим в таблице 8:

Таблица 8

Распределение предприятий по среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов и выпуску продукции

Среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов, млн. руб.	Выпуск продукции, млн. руб.				Итого:
	19-30	30-41	41-52	52-63
10-15	4	2	-	-	6
15-20	1	5	1	-	7
20-25	1	3	6	-	10
25-30	-	1	3	3	7
Итого:	6	11	10	3	30

Как видно из данных таблицы 8 распределение числа предприятий произошло вдоль диагонали, проведенной из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы, т.е. увеличение признака “среднегодовая стоимость материальных оборотных фондов” сопровождалось увеличением признака “выпуск продукции”.

Характер концентрации частот по диагонали корреляционной таблицы свидетельствует о наличии прямой тесной корреляционной связи между изучаемыми признаками.

Выводы: по результатам выполнения задания №2 можно сделать следующие выводы:

1. из таблицы 6. видно, что с ростом величины среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов от группы к группе, увеличивается и величина выпуска продукции. Следовательно, связь между рассматриваемыми признаками прямая корреляционная;

2. выводы, сделанные в п.1) подтверждаются и корреляционной таблицей, где присутствует ярко выраженное распределение предприятий вдоль диагонали (таблица 8);

3. корреляционное отношение (0,88, т.е. близко к единице) свидетельствует, что на величину выпуска продукции существенно влияет величина среднегодовой стоимости материальных оборотных фондов.

Задание №4

Относительная величина динамики составляет 103,5 %, план выполнен на 104,0 %. Определите относительную величину планового задания.

Относительная величина планового задания рассчитывается как отношение уровня, запланированного на предстоящий период, к уровню, фактически сложившемуся в текущем периоде.

Задание №5

Известны данные о выпуске продукции предприятием, тыс. руб.:

2009 г.	2010 г.	2011 г.	2012 г.
128,4	131,6	135,1	132,6

Определите базисные и цепные показатели динамики:

а) абсолютный прирост;

б) темп роста;

в) темп прироста.

Период	Продажи, млн.руб.	Абсолютный прирост			Темпы роста			Темп прироста
		Цепные	базисные	Цепные		базисные	Цепные		базисные
2009	128,4	-	-	100		100	-		-
2010	131,6	3,2	3,2	102		102	2		2
2011	135,1	3,5	6,7	103		105	1		5
2012	132,6	-2,5	4,2	98		103	-5		3

1. Рассчитываем абсолютный прирост по формуле

2. Рассчитываем темпы роста по формуле:

3. Рассчитываем темпы прироста по формуле:

Список использованной литературы

1. Статистика: учебник для студентов средних проф.учебных заведений. В.С. Мхитарян, Дубров Т.А., Минашкин В.Г. и др. – М.: Академия, 2007. – 272 с.

2. Статистика: учебник/под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Высшее образование, 2007. – 566 с.