Аналитич геометрия в пространстве
.docxАНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
-
Поверхности и линии в пространстве
Определение 1. Уравнением поверхности (в фиксированной системе координат) называется такое уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты любой точки данной поверхности и только они.
Здесь – некоторая зависимость между переменными.
Пример 1. – уравнение сферы ().
Определение 2. Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, поэтому она определяется двумя уравнениями:
.
Пример 2. .
Линия, как пересечение поверхностей, определяет окружность, лежащую в плоскости ().
2. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору
Дано: , – нормальный вектор, .
Написать уравнение плоскости.
Выберем произвольную точку ,
тогда , , т.е.
(1) |
– уравнение плоскости.
3. Общее уравнение плоскости
Из уравнения (1) с помощью элементарных преобразований получим: или
(2) |
– общее уравнение плоскости.
Очевидно, что общее уравнение плоскости является алгебраическим уравнением первого порядка относительно трех переменных и определяет поверхность первого порядка.
Проведем исследование (положение плоскости в частных случаях).
А) , .
Т.к. координаты точки - удовлетворяют данному уравнению, плоскость проходит через начало координат.
Б) , , , значит , следовательно .
Аналогично, если , ; , .
В) При , . Плоскость проходит через ось .
Аналогично, при – плоскость проходит через ось ;
при – плоскость проходит через ось .
Г) , . Данное уравнение определяет плоскость, параллельную , т.к. , , .
Аналогично, , ; , .
Д) , ().
Аналогично, , (); , ().
4. Уравнение плоскости в отрезках
, , .
(3) |
. |
– уравнение плоскости в отрезках.
-
Уравнение плоскости по трем точкам
Пусть .
Выберем произвольную точку . Тогда , ,.
Т.к. векторы лежат в одной плоскости, они компланарны, следовательно их смешанное произведение равно нулю:
(4) |
. |
– уравнение плоскости по трем точкам.
-
Нормальное уравнение плоскости
Нормальное уравнение плоскости строится по аналогии с нормальным уравнением прямой и имеет вид:
. (5)
7. Взаимное расположение плоскостей в пространстве
Пусть - нормальный вектор для плоскости .
Утверждение 1. Вектор параллелен плоскости , заданный уравнением (14.2) тогда и только тогда, когда
. (6)
Утверждение 2. Плоскость , заданная уравнением и плоскость , заданная уравнением параллельны тогда и только тогда, когда
. (7)
Доказательство. Действительно, , если и коллинеарны, т.е. , , , т.е. . Верно и обратное.
Утверждение 3. Плоскости и совпадают тогда и только тогда, когда
. (8)
Утверждение 4. Плоскости и пересекаются тогда и только тогда, когда и неколлинеарны, причем угол между ними равен углу между нормальными векторами.
Утверждение 5. Пусть плоскости и пересекаются по прямой, тогда плоскость проходит через эту прямую, причем ее уравнение имеет вид:
, где одновременно. (14.9)
8. Уравнение прямой в пространстве
Поскольку пересекающиеся плоскости пересекаются по прямой, то
(10)
причем (11)
Система уравнений (10) с условием (11) называется общим уравнением прямой в пространстве. Данная система линейных неоднородных уравнений совместна и имеет общее решение следующего вида:
(12) |
, |
где – частное решение (10), – фундаментальная система решений соответствующей системы линейных однородных уравнений.
Геометрически (12) означает следующее:
Пусть точка . Любая точка получается прибавлением к радиус-вектору точки некоторого вектора, коллинеарного - направляющего вектора прямой.
Уравнение (12) можно переписать в виде или
, (13)
– векторно-параметрическое уравнение прямой или
(14)
– параметрические уравнения прямой в пространстве.
Исключая параметр , получим:
(15) |
|
– канонические уравнения прямой в пространстве.
Здесь равенства (15) следует воспринимать как пропорцию.
Пример 3. Пусть прямая задана каноническими уравнениями
(*). Тогда уравнения (*) равносильны системе:
, .
Если необходимо написать уравнение прямой, проходящей через две точки и , то – направляющий вектор, тогда
(16) |
– уравнение , проходящей через 2 точки.
Утверждение 6. Если прямая , задана как пересечение двух плоскостей системой (.10), то вектор
(17)
– является направляющим вектором , т.е. .
9. Взаимное расположение двух прямых в пространстве
Пусть ; .
и либо пересекаются, либо параллельны (в частном случае совпадают), либо скрещиваются.
. В случае если или пересекаются, существует плоскость, которой прямые принадлежат. Поэтому выполняется условие:
. (18)
Утверждение 7. Прямые и скрещиваются тогда и только тогда, когда
. (19)
-
Если прямые пересекаются, то может решаться задача нахождения угла между прямыми. В этом случае угол определяется углом между направляющими векторами.Если прямые параллельны, то возникает задача нахождения расстояния между ними:
Плоскость, содержащая параллельные прямые, имеет вектор нормали , , тогда
Замечание: A) , т.е. , B) , т.е. .
-
Если прямые скрещиваются, то расстояние между ними равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах , т.е.