§8. Пространство геометрических векторов, как пример линейного пространства

1О. Направленные отрезки.

Рассмотрим в пространстве две точки АиВ. Они определяют отрезокАВ.

Определение 1. Отрезок АВназываетсянаправленным, если его концыАиВупорядочены; если при этом первой является точкаА, а второй – точкаВ, тоА– начало отрезка, аВ– его конец.

Направленный отрезок обозначается AB (а такжеили). На чертеже направленный отрезок снабжен стрелкой на конце(см. рис.1)

Определение 2. Длинойнаправленного отрезканазываетсядлина отрезка АВ.

Рис.1. Направленный отрезокАВ.

Определение 3. Направленные отрезкииназываютсясонаправленными(обозначается), если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону.

Направленные отрезки иназываютпротивоположно направленными(пишут), если они лежат на параллельных прямых и направлены в разные стороны.

Направленные отрезки иназываютсяпротивоположными.

Каждую точку Апространства можно рассматривать как направленный отрезок с совпадающим началом и концом. Этот отрезок обозначаетсяи называется нулевым направленным отрезком. Его длина считается равной нулю, а направление не определено.

Определение 4. Два направленных отрезкаисчитаютсяэквивалентными, если они сонаправлены и имеют равные длины. (Обозначают).

Эквивалентностьявляется отношением эквивалентности в множестве всех направленных отрезков, т.к. из определения эквивалентности следует:

1) отрезок эквивалентен сам себе;

2) если эквивалентен, тоэквивалентен;

3) если эквивалентениэквивалентен, тоэквивалентен.

Так как эквивалентность направленных отрезков является отношением эквивалентности, то множество всех направленных отрезков пространства разбивается на непересекающиеся классы – классы эквивалентности. Классы эквивалентности образуют фактор-множество множества всех направленных отрезков пространства.

Определение 5. Множество всех эквивалентных направленных отрезков называетсявектором(или свободным вектором).

Замечание.Напомним, что в средней школе вектор характеризует параллельный перенос.

Направление эквивалентных направленных отрезков называется направлением вектора, а их длина –длиной вектора.

Таким образом, любой направленный отрезок однозначно определяет вектор, а вектор – это класс эквивалентных направленных отрезков.

Поэтому часто пишут вектор ,.

Определение 6. Векторaтакой, чтоназываетсяединичным векторомилиортом. Множество нулевых отрезков называетсянулевым вектором; Его длина равна нулю, а направление не определено.

Определение 7. Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называютсяколлинеарными. Обозначают.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Очевидно, что прямые, на которых лежат представители классов коллинеарных векторов, параллельны.

Определение 8. Три и более векторов называютсякомпланарными, если они параллельны некоторой плоскости.

Для определенности любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают компланарной.

Пусть даны два вектора aиb. Из произвольной точкиO пространства отложими. Тогдаесть направленный отрезок и значит, определяет вектор.

Покажем, что введенная операция сложения векторов корректно определена, т.е. вектор не зависит от выбора точкиO. Для этого выберем другую точку . Пусть,. Тогда– параллелограмм; аналогично,– параллелограмм– параллелограмм, то есть они определяют один и тот же вектор.

Определение 9. Векторназываетсясуммойвекторови. Пишут:.

Способ сложения векторов, изложенный выше, называется правилом треугольника. Можно также использовать правило параллелограмма.

Свойства сложения векторов.

1. .

2. .

3. , так как.

4. Для каждого вектора вектор, называемый вектором, противоположным, такой, что . Доказательство свойств может быть проиллюстрировано рис.2

а) б)

Рис.2. Свойства сложения векторов: а) коммутативность, б) ассоциативность

Если , то черезобозначим. Тогда.

Определение 10. Произведениемвекторана число R, называется вектор, удовлетворяющий следующим условиям:

1. векторы исонаправлены, еслии противоположно направлены, если;

2. .

Произведение вектора на число 0 есть нулевой вектор. Пишут .

Свойства умножения вектора на число.

1. и .

2. и вектора.

3. и вектора.

4. вектора .

Доказательство 1). Пусть для простотыи будем использовать правило параллелограмма для сложения векторов. Если вместоивзятьи, то получим подобный параллелограмм и его диагональ соответственно равна(см. рис.3).

Рис.3.Иллюстрация свойства сложения векторов

Доказательство 2)–4).Очевидно, и при этом получаются коллинеарные вектора.

Теорема 1.Множество векторов пространства образует линейное пространство.

Доказательство.Следует из свойств сложения векторов и умножения на число.∎

Замечание.Можно определить операцию вычитания векторов по формуле(см. рис.4)

Рис. 4. Вычитание векторов

a) Множество коллинеарных векторов образует линейное пространство

б)Множество компланарных векторов образует линейное пространство.

Далее выясним размерности и базисы перечисленных пространств.