Задача 2.6

В урне т белых и п черных шаров. Из урны вынули р шаров. Слу­чайная величина X - число вынутых белых шаров. Требуется:

1. построить ряд и многоугольник распределения дискретной случайной вели­чины X;

2. найти функцию распределения случайной величины X и начертить ее график;

3. найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклоне­ние случайной величины X;

4. найти вероятность того, что случайная величина X примет значение, мень­ше p.

1) m=4 n=4 p=3

2) m=4 n=5 p=3

3) m=4 n=6 p=3

4) m=5 n=3 p=4

5) m=5 n=4 p=4

6) m=5 n=5 p=4

7) m=5 n=6 p=3

8) m=6 n=3 p=4

9) m=6 n=4 p=3

10) m=6 n=5 p=3

11) m=6 n=6 p=3

12) m=7 n=3 p=3

13) m=7 n=4 p=3

14) m=7 n=5 p=3

15) m=7 n=6 p=4

16) m=7 n=7 p=4

17) m=8 n=3 p=3

18) m=8 n=4 p=4

19) m=9 n=5 p=5

20) m=8 n=6 p=4

21) m=8 n=7 p=4

22) m=8 n=8 p=5

23) m=6 n=7 p=4

24) m=7 n=8 p=4

25) m=4 n=7 p=3

Задача 2.7

Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения f(x). Найдите:

1. плотность распределения f(x);

2. математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение случайной величины X ;

3. вероятность попадания случайной величины в интервал (-1;2).

Начертите графики интегральной и дифференциальной функций случайной вели­чины X.

Задача 2.8

Дана плотность распределения непрерывной случайной величины f(x) . Найдите:

1. постоянную распределения а;

2. функцию распределения F(x);

3. математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины X;

4. вероятность попадания случайной величины в интервал (-2;1).

Задача 2.9

2.9.1 Принимая вероятность попадания в цель при выстреле равной 0,4, оценить вероятность того, что при 120 выстрелах окажется не более 80 попаданий. Найти приближенное значение этой вероятности, пользуясь интегральной теоремой Лапласа.

2.9.2 Среднее значение расхода воды в населенном пункте составляет 50000 л в день. Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды не будет превышать 120000 л в день.

2.9.3 Вероятность выпуска нестандартной радиолампы равна 25%. Оценить снизу вероятность того, что в партии из 1000 радиоламп число нестандартных отли­чается от 250 меньше, чем на 40.

2.9.4 Оценить вероятность того, что число лиц, имеющих высшее образование, в группе из 800 человек отличается от своего математического ожидания меньше, чем на 30.

2.9.5 За значение некоторой величины принимают среднее арифметическое доста­точно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднее квадратическое отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 1 см, оценить вероятность того, что при 1000 измерений неизвестной величины от­клонение принятого значения от истинного по абсолютной величине не пре­взойдет 0.1 см.

2.9.6 Известно, что дисперсия каждой из данных независимых случайных величин не превышает 4. Определить число таких величин, при котором вероятность отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифме­тической их математических ожиданий не более, чем на 0.25 превысит 0.99.

2.9.7 Сколько должно быть произведено независимых измерений некоторой величи­ны, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.98, можно было утверждать, что сред­нее арифметическое результатов измерений отличается от истинного значения по абсолютной величине меньше, чем на 0.01,если дисперсия отдельного ре­зультата измерения не превосходит 1?

2.9.8 Для установления среднего размера детали в партии, размещенной в 100 ящи­ках с одинаковым количеством деталей в каждом, взяли по одной детали из каждого ящика. Вычислить верхний предел отклонения среднего размера детали в отобранной совокупности от среднего ее размера во всей партии, если результат необходимо гарантировать с вероятностью не меньше, чем 0.8, а дис­персия размера по каждому ящику не превышает 6.

2.9.9 Дисперсия каждой из 800 независимых случайных величин не превышает 9. Какой должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения сред­ней арифметической случайных величин от средней арифметической их мате­матических ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0.997?

2.9.10 Математическое ожидание количества выпадающих в течение года в данной местности осадков составляет 55 см. Оценить вероятность того, что в этой местности осадков выпадает 175 см.

2.9.11 Среднее потребление электроэнергии за май месяц населением одного из микрорайонов г. Уфы равно 360000 кВт ч:

а)оценить вероятность того, что потребление электроэнергии в мае текущего года превзойдет 1000000 кВт ч;

б)оценить ту же вероятность, если известно, что среднее квадратическое уклонение потребления электроэнергии в данном микрорайоне за май равно 40000 кВт ч.

2.9.12 На промысле имеется 30 буровых установок, каждая из которых может вый­ти из строя за данный промежуток времени с вероятностью 0.05. Какова веро­ятность того , что число буровых установок, вышедших из строя за данный промежуток времени, отличается от своего математического ожидания по аб­солютной величине не более _, чем на 4.

2.9.13 Математическое ожидание скорости ветра на данной высоте равно 25 км/ч. Какие скорости ветра можно ожидать на этой высоте с вероятностью, не мень­шей 0.9?

2.9.14 Используя неравенство Чебышева, найти вероятность того, что частота по­явления герба при ста бросаниях монеты отклонится от вероятности не более, чем на 0.1. Сравнить с вероятностью, полученной с помощью применения ин­тегральной теоремы Муавра-Лапласа.

2.9.15 Среднее квадратическое отклонение ошибки измерения расхода газа на не­котором участке газопровода равно 30 м³/сут. Оценить вероятность того, что ошибка среднего арифметического трех независимых измерений не превзойдет 60 м³/сут.

2.9.16 Изнашивание орудия при стрельбе таково, что каждый выстрел уменьшает вероятность попадания в цель на 1%. При первом выстреле эта вероятность равна 0.8. Производится 100 выстрелов. Найти границы, в которых с вероятно­стью 0.85 будет заключено число попаданий.

2.9.17 Дисперсия каждой из 2500 независимых случайных величин не превосходит 5. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превзойдет 0.4.

2.9.18 Среднее квадратическое отклонение каждого из 2134 независимых измере­ний расхода газа на участке газопровода не превосходит 4. Оценить вероят­ность того, что отклонение среднего арифметического этих величин от средне­го арифметического их математических ожиданий не превзойдет 0.5.

2.9.19 За значение некоторой величины принимают среднее арифметическое дос­таточно большого числа ее измерений. Предполагая, что среднее квадратиче­ское отклонение возможных результатов каждого измерения не превосходит 1, оценить вероятность того, что при 1000 измерений этой величины отклоне­ние найденного значения ее от истинного не превосходит 0.1 единицы.

2.9.20 Вероятность положительного исхода отдельного испытания р=-0.8. Оценить вероятность того, что при 1000 независимых повторных испытаний отклоне­ние частости положительных исходов от вероятности при отдельном испыта­нии к своей абсолютной величине будет меньше 0.05 .

2.9.21 Вероятность наличия зазубрины на металлических брусках, заготовленных для обточки, равна 0.2 . Оценить вероятность того, что в партии из 1000 бру­сков отклонение числа пригодных брусков от 800 не превышает 5%.

2.9.22 Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью, не меньшей чем 0.997, можно было утверждать, что частость выпадения герба будет между 0.499 и 0.501?

2.9.23 Пусть вероятность того, что покупателю обувного магазина необходимы туфли размера 41, равна 0.15. Оценить границы процента покупателей среди 2000 побывавших в магазине, которым нужны такие туфли, если эти границы надо гарантировать с вероятностью 0.98.

2.9.24 Вероятность некоторого события А в каждом испытании из серии n=3000 независимых испытаний равна р=1/3. Используя неравенство Чебышева, оце­нить вероятность того, что частота этого события отклонится от его вероятно­сти по абсолютной величине не более, чем на 0.01. Сравнить полученные оцен­ки с результатами применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

2.9.25 Вероятность некоторого события А в каждом испытании из серии 75000 не­зависимых испытаний равна р=1/3. Используя неравенство Чебышева, найти наименьшее число испытаний так, чтобы с вероятностью , не меньшей 0.99, частота события А отклонялась по абсолютной величине от его вероятности не более, чем на 0.01. Сравнить полученный результат с результатом применения интегральной теории Муавра-Лапласа.