Ряды
.doc
Выражение в каждой скобке, согласно
первому условию теоремы, положительно.
Следовательно, сумма
и возрастает с возрастанием номера 2m.
С другой стороны,
можно переписать так:
Легко видеть, что
.
Таким образом, последовательность
возрастает и ограничена сверху.
Следовательно, она имеет предел
,
причем
.
Рассмотрим теперь частичные суммы
нечетного числа (2m+1)
членов ряда. Очевидно, что
.
Отсюда следует, что
,
т.к.
в силу второго условия теоремы. Итак,
как при четном n, так
и при нечетном n.
Следовательно, ряд
сходится, причем
.
Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
Знакочередующийся ряд является частным
случаем знакопеременного ряда. Числовой
ряд
,
содержащий бесконечное множество
положительных и бесконечное множество
отрицательных членов, называется
знакопеременным.
Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.
Теорема.
Пусть дан знакопеременный ряд
Если сходится ряд
,
составленный из модулей членов данного
ряда, то сходится и сам знакопеременный
ряд
.
Рассмотрим вспомогательный ряд,
составленный из членов рядов
и
:
Очевидно, что
для всех
.
Но ряд
сходится в силу условия теоремы и
свойства 1 числовых рядов. Следовательно,
на основании признака сравнения сходится
и ряд
.
Поскольку данный знакопеременный ряд
представляет собой разность двух
сходящихся рядов
то, на основании свойства 2 числовых рядов, он сходится.
Обратное утверждение неверно.
Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм:
-
Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихле)
-
Абсолютно сходящиеся ряды с суммами
и
можно почленно складывать (вычитать).
В результате получается абсолютно
сходящийся ряд, сумма которого равна
+
(или соответственно
-
) -
Под произведением двух рядов
и
понимают ряд вида
Произведение двух абсолютно сходящихся
рядов с суммами
и
есть абсолютно сходящийся ряд, сумма
которого равна
.
Степенные ряды
Функциональные ряды
Основные понятия
Ряд, членами которого являются функции от х, называется функциональным:
Придавая х определенное значение
,
мы получим числовой ряд
,
который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Если полученный числовой ряд сходится,
то точка
называется точкой сходимости
ряда
;
если же ряд расходится – точкой
расходимости функционального ряда.
Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называются его областью сходимости.
В области сходимости функционального
ряда его сумма является некоторой
функцией от х: S=S(x).
Определяется она в области сходимости
равенством
,где
– частичная сумма ряда.
Среди функциональных рядов особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента х, т.е. так называемый степенной ряд:
Действительные (или комплексные) числа
называются коэффициентами ряда,
- действительная переменная.
Ряд
расположен по степеням х. Рассматривают
также степенной ряд, расположенный по
степеням
,
т.е. ряд вида
,
где
– некоторое постоянное число.
Сходимость степенных рядов.
Область сходимости степенного ряда содержит по крайней мере одну точку: х=0 (ряд сходится в точке)
Теорема Н. Абеля
Теорема
Если степенной ряд
сходится при
,
то он абсолютно сходится при всех
значениях х, удовлетворяющих
неравенству
По условию ряд
сходится. Следовательно, по необходимому
признаку сходимости
.
Отсюда следует, что величина
ограничена, т.е. найдется такое число
М>0, что для
всех n выполняется
неравенство
,
n=1, 2,..
Пусть
,
тогда величина
и, следовательно,
,
т.е. модуль каждого члена ряда
не превосходит соответствующего члена
сходящегося (q<1)
ряда геометрической прогрессии. Поэтому
по признаку сравнения при
ряд
абсолютно
сходящийся.
Следствие
Если ряд
расходится при
,
то он расходится и при всех х,
удовлетворяющих неравенству
Действительно, если допустить сходимость
ряда в точке
,
для которой
,
то по теореме Абеля ряд сходится при
всех х, для которых
,
и, в частности, в точке
,
что противоречит условию.
Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Из теоремы Абеля следует, что если
есть точка сходимости степенного ряда,
то интервал
весь состоит из точек сходимости данного
ряда; при всех значениях х вне этого
интервала ряд
расходится.
Интервал
и называют интервалом сходимости
степенного ряда. Положив
,
интервал сходимости можно записать в
виде (-R;R). Число
R называют радиусом
сходимости степенного ряда, т.е.
R>0 – это такое
число, что при всех х, для которых
,
ряд
абсолютно
сходится, а при
– расходится.
В частности, когда ряд
сходится лишь в одной точке
,
то считаем, что R=0.
Если же ряд сходится при всех значениях
,
то считаем, что
.
Отметим, что на концах интервала сходимости (т.е. при х=R и при х=-R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.
Для нахождения радиуса сходимости
степенного ряда
можно поступить следующим образом.
Составим ряд из модулей членов данного
степенного ряда
и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел
,
По признаку Даламбера ряд сходится,
если
,
т.е. ряд сходится при тех значениях х,
для которых
;
ряд, составленный из модулей члена ряда
,
расходится при тех значениях х, для
которых
.
Таким образом, для ряда
радиус абсолютной сходимости
Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что
Свойства степенных рядов
1. Сумма S(x) степенного
ряда
является непрерывной функцией в интервале
сходимости (-R;R).
2. Степенные ряды
и
,
имеющие радиусы сходимости соответственно
и
,
можно почленно складывать, вычитать и
умножать. Радиус сходимости произведения,
суммы и разности рядов не меньше, чем
меньшее из чисел
и
.
3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда
при –R<x<R выполняется равенство
-
Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда
при –R<a<x<R
выполняется равенство
Ряды
и
имеют тот же радиус сходимости, что и
исходный степенной ряд.
Разложение функций в степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
Как известно, для любой функции
определенной в окрестности точки
и имеющей в ней производные до (n+1)-го
порядка включительно, справедлива
формула Тейлора:
где
– остаточный член в форме Лагранжа.
Число с можно записать в виде
,
где
.
Формулу
кратко можно записать в виде
,
где
– многочлен Тейлора.
Если функция
имеет производные любых порядков в
окрестности точки
и остаточный член
стремится к нулю при
,
то из формулы Тейлора получается
разложение функции
по степеням
,
называемое рядом Тейлора:
Если в ряде Тейлора положить
,
то получим разложение функции по степеням
х в так называемый ряд Маклорена:
Отметим, что ряд Тейлора можно формально
построить для любой бесконечно
дифференцируемой функции в окрестности
точки
.
Но отсюда еще не следует, что он будет
сходиться к данной функции
;
он может оказаться расходящимся или
сходиться, но не к функции
.
Теорема1
Для того чтобы ряд Тейлора
функции
сходился к
в точке х, необходимо и достаточно,
чтобы в этой точке остаточный член
формулы Тейлора
стремился к нулю при
,
т.е. чтобы
0.
Пусть ряд Тейлора
сходится к функции
в некоторой окрестности точки
,
т.е.
.
Так как n-я частичная
сумма
ряда
совпадает с многочленом Тейлора
,
т.е.
находим:
Обратно, пусть
0.
Тогда
Теорема2
Если модули всех производных функций
ограничены в окрестности точки
одним и тем же числом М>0,
то для любого х из этой окрестности
ряд Тейлора функции
сходится к функции
,
т.е. имеет место разложение
.
Согласно теореме1, достаточно показать,
что
0.
По условию теоремы2 для любого n
имеет место неравенство
.
Тогда имеем:
Осталось показать, что
.
Для этого рассмотрим ряд
Так как
,
то по признаку Даламбера этот ряд
сходится на всей числовой оси. Но тогда,
в силу необходимого признака сходимости,
Следовательно,
0
Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
Для разложения функции
в ряд Маклорена
нужно:
А) найти производные
,
,…,
,..;
Б) вычислить значения производных в
точке
;
В) написать ряд
для заданной функции и найти его интервал
сходимости;
Ґ) найти интервал (-R;R),
в котором остаточный член ряда Маклорена
при
.
Если такой интервал существует, то в
нем функция
и сумма ряда Маклорена совпадают.
Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:
Докажем формулу.
Пусть
Имеем:
А)
Б)
В)
,
т.е. ряд сходится в интервале
;
Ґ) для всех
имеем
,
т.е. все производные в этом интервале
ограничены одним и тем же числом
.
Следовательно,
.
Таким образом,
.
Докажем формулу.
Пусть f(x)=sin x
Имеем:
А)
Б)
В)
Легко проверить, что полученный ряд
сходится на всей числовой оси, т.е. при
всех
Ґ) любая производная функция f(x)=sin
x по модулю не превосходит единицы,
.
Следовательно, имеет место разложение
f(x)=sin x.
Докажем формулу
Пусть f(x)=cos x
Формулу f(x)=cos x можно доказать так же, как и формулу f(x)=sin x. Однако проще получить разложение функции cos x, воспользовавшись свойством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд f(x)=sin x, получим:
Докажем формулу
Пусть
,
Имеем:
А)
Б)
В)
Ґ)
, т.е. составленный для функции
ряд сходится в интервале (-1;1), остаточный
член
стремится к нулю при
.
Ряд
называется биномиальным. Если
,
то все члены ряда с (n+1)-го
номера равны 0, так как содержат множитель
.
В этом случае ряд представляет собой
известную формулу бинома Ньютона:
Докажем формулу
Пусть
Формула может быть получена разными способами:
1)пользуясь правилом разложения функции в ряд;
2)рассматривая ряд
как ряд геометрической прогрессии,
первый член которой равен 1 и знаменатель
q=x; известно, что
данный ряд сходится при
и его сумма равна
3)воспользовавшись формулой
:
положив в ней
и заменив х на –х, получим формулу
.
Докажем формулу
Пусть f(x)=ln (1+x)
Формула f(x)=ln (1+x) также может быть доказана разными способами. Приведем один из них.
Рассмотрим равенство
,
справедливое для всех
.
Используя свойство 4 степенных рядов,
проинтегрируем данный ряд на отрезке
[0;x],
:
или
Докажем формулу
Пусть f(x)=arctg x
Положив в формуле
и заменив х на
,
получим равенство
Тогда
или
Докажем формулу
Пусть f(x)=arcsin x
Положив в формуле
и заменив х на
,
получим равенство
Тогда
или
