5_УМК

7)

lim

ln(x + y)

.

x→1

y

y→0

3.2.4. Вычислить повторные пределы lim lim f (x, y) и

lim lim f (x, y),

x→x0 y→y0

y→y0 x→x0

если:

1) f (x, y) =

x 2 + xy + y2

, x 0 = 0, y0 = 0 ;

x 2 − xy + y2

2)

f (x, y) =

sin(x + y)

,

x

0 = 0, y0 = 0 ;

2x + 3y

3) f (x, y) =

x 2 + y2

, x

0 = ∞ , y0 = ∞ ;

x 2 + y4

4)

f (x, y) =

cos x − cos y

, x 0 = 0, y0 = 0 ;

x 2 + y2

5) f (x, y) =

x y

, x 0 = +∞ , y0 = +0 ;

+ x y

1

6)

f (x, y) = sin π(x + y) ,

x 0 = ∞ , y0 = ∞ .

2x + 3y

1

x + y +1

1

1) u =

; 2) u =

; 3) u =

;

x 2 + y2

x 2 + y2

(x − y)2

4) u =

3y

=

x 2

; 6) u =

10x

; 5) u

;

2x − y

x 2 − 2y2 − 4

(x −1)2 + (y −1)2

7) u =

5 − x − y

при

x ≠ 0,

y ≠ 0

;

1

при

x = y = 0

1

x ≠ 0,

y ≠ 0

8) u =

sin

при

+ y2

x 2

;

при x = y = 0

3

9) u =

1

; 10) u =

1

; 11) u = ln(4

− x 2

− y2 );

x 2 + y2

− z 2

z 2 − x 2 − y2

1

sin x sin y

12) u = e−

; 13) u = sin

x

; 14) u =

;

x 2 +y2

y

xy

1

1 − x

2

− y

2

при

x

2

+ y

2

≤ 1

15) u =

; 16)

u =

;

cos2 x

− cos2 y

при

x

2

+ y

2

> 0

17) u = tg(x 2 + y2 + z 2 ).

0

3.2.6. Найдите частные производные функций:

1) u = x 2 + y3 + 3x 2 y3 ; 2) u = xy2 z3 +

x

;

y2 z3

3) u = cos(xy); 4) u = sin(x + yz); 5) u = arctg

y

;

6) u = tg(x + y)e x y ; 7) u =

x

e x y ; 8) u = xy ln(xy);

x 2 + y2

9) u = arcsin

x

u = x

yz

u =

y z

; 10)

; 11)

;

x 2 + y2

x

x

y

u = f (x − y, xy);

2) u = f

,

; 3)

y

x

1) u = x

n

y

∂u

+ 2y

∂u

= nu ;

f

, x

∂x

∂y

x 2

2) u = yf (x 2 − y2 ), y2 ∂u + xy

∂u = xu ;

∂x

∂y

3) u =

y2

+ f (x, y), x 2 ∂u − xy

∂u + y2 = 0 ;

3x

∂x

∂y

4) u = x

n

y

z

∂u

+ αy

∂u

+ βz

∂u

= nu ;

f

,

,

x

xβ

∂x

∂y

∂z

x α

xy

y z

∂u

∂u

∂u

xy

5) u =

ln x + xf

,

, x

∂x

+ y

∂y

+ z

∂z

= u +

z

z

x x

3.2.9. Найти дифференциал функции:

1)

u = x 2 y3 в точках M(x, y) и M 0

(2,1);

2)

u =

yz

в точках M(x, y, z) и M 0

(1,2,3);

x

1)

u = f (x − y, x + y), M(x, y), M 0 (1,−1);

x

2)

u = f xy,

, M(x, y), M

0

(0,1);

y

3)

u = f (x 2 − y2 , y2 − z 2 , z 2 − x 2 ), M(x, y, z), M 0 (1,1,1);

4)

u = f (sin x + sin y, cos x − cos z), M(x, y, z), M 0 (0,0,0).

3.2.12.

Для

заданной функции

u = f (x, y)

найти:

d U ,

∂2 u ∂2 u

∂ 2 u ∂ 2 u

,

,

,

.

∂ y 2

∂ x 2

∂x ∂y

∂y ∂x

1) u = y

y

; 2) u = y e xy ; 3) u = x e −xy ; 4)

u = sin(x 2 − y3 );

x

ln (tg x)

y

; 6) u = 3

; 7) u = ln(

+

); 8) u =

;

5) u = tg

2x 2 − y

x

y

x

x + y

y

9) u = ln(

); 10) u = arccos

y

; 11) u = arccos

;

x 3 + 4y2

x

x − y

12) u = arcsin

x

; 13) u = arctg

x

; 14) u = arctg

y

;

y

y

2x

1

15) u = sin

2 (x − 2y); 16) u = cos3

;

17) u = tg 3 (3x

− y);

18)

− y

2

x

u = sin 4 (5x − y 2 );

u = ln3 (5x 2 + 3y3 );

1

1

19)

20)

u = ln 2

+

;

21)

y

x

1) z = e x / y ,

y

∂2 z

− ∂z +

∂z

= 0 ;

∂x

∂x ∂y

∂y

2) z =

x y

,

x

∂ z

+ y ∂z − z = 0 ;

x + y

∂x

∂y

3) z =

y 2

,

x

2 ∂2 z

− y

2 ∂2 z

= 0 ;

∂ x

2

∂ y 2

x y

4) z = e

x y

,

x

2

∂2 z

− y

2

∂2 z

= 0 ;

∂ x 2

∂ y2

5) z =

y

2 ∂2 z

+ 2 x y

∂2 z

+ y

2

∂2 z

= 0;

,

x

x

∂ x 2

∂ x ∂y

∂ y 2

y

1 ∂ z

1 ∂ z

z

6) z =

,

+

−

= 0;

(x 2 − y2 )5

x ∂ x

y

∂ y

y 2

7) z = x ln

y

,

x

∂ z

+ y

∂ z

− z = 0 ;

x

∂ x

∂ y

x

∂ z

∂ z

8) z = (x 2 + y 2 )tg

,

x

∂ x

+ y

− 2z

= 0;

∂ y

y

9) z = sin

2

(y

− a x),

a

2

∂2 z

−

∂2 z

= 0 ;

∂ y 2

∂ x 2

10) z = e

−cos( y+a x)

,

a

2

∂

2 z

−

∂2 z

= 0;

∂ y 2

∂ x 2

11) z = ln(x 2 + (y + 1)2 ),

∂2 z

+

∂ 2 z

= 0 ;

∂ x 2

∂ y 2

12) z = x y ,

y

∂2 z

− (1 + y ln(x))

∂ z

= 0 .

∂ x ∂ y

∂ x

∂3 u

∂3 u

1)

и

, если u = sin(x y);

∂ x2 ∂ y

∂ x ∂ y2

2)

∂3 u

, если u = ex y z ;

∂ x ∂ y ∂ z

3)

∂10 u

, если u = sin x cos 2y;

∂x 4 ∂y6

4)

∂m+ n u

, если u = e2 x sin y + ex cos

y

;

∂ x m ∂ y n

2

5)

∂10 u

, если u = (x2

+ y)10 + tgx;

∂ x ∂ y 9

∂m+ n u

, если u =

x + y

6)

.

∂ x m ∂ y n

x − y

1) u = f(x + y, x2 + y2 ); 2) u = f x y,

x

;

y

3) u = ln f(x, x + y); 4) u = f(sin x + cosy);

5) u = [f(x)]g(y) .

1

−

(x−x0 )2

u =

4a2 t

(a и

x0 −

3.2.16. Докажите, что функция

e

числа)

2a

πt

удовлетворяет уравнению теплопроводности

∂u = a

2

∂2 u

.

∂t

∂x 2

3.2.17. Докажите, что функция u =

1

, где

r

r =

,

(x − x 0 ) 2 + (y − y 0 ) 2 + (z − z 0 ) 2

удовлетворяет

при

r ≠ 0

уравнению Лапласа u =

∂2 u

+

∂2 u

+

∂2 u

= 0 .

∂ x2

∂ y2

∂ z2

3.2.18. В каждом из случаев проверьте, что данная функция удовлетворяет

заданному уравнению, если f

и g − произвольные дважды дифференцируемые

функции:

n

y

1−n

y

2

∂2 u

∂2 u

2

∂2 u

= n(n − 1)u;

u = x

f

+ x

g

; x

+ 2xy

+ y

∂ x2

∂ x ∂ y

∂ y2

x

x

4) u = f(x + g(y)) ,

∂ u

∂2 u

=

∂ u

∂2 u

.

∂ x

∂ x ∂ y

∂ y

∂ y2

→

∂u (M 0 ) по направлению вектора a .

ся найти grad u(M 0 ) и

∂l

M 0 (1; 2),

r

1) u = 3x 2 + 2x y + y2 ,

a{4; 3};