5_УМК

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

+ 1 − x 2 ;

+ 1 − x 2 ;

.PDF

Скачиваний:

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.51 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

3.2.30. При каких значениях диаметра основания d и высоты h цилиндрическая банка, объем которой равен 54 π, имеет наименьшую поверхность?

3.2.31. При каких размерах прямоугольная банка объемом 32 см3 , открытая сверху (т.е. без верхней грани), имеет наименьшую поверхность ?

3.2.32. Найдите наименьшее из расстояний между точкой N(x0 , y0 , z0 ) и точками плоскости Ax + By + Cz + D = 0.

3.2.33. Найдите наименьшее из расстояний между точками параболы y = x2 и прямой x − y − 2 = 0.

3.2.34. Найти условные экстремумы функции u = f (x, y) относительно заданного уравнения связи:

1). u = x y, x + y − 1 = 0; 2) u = x 2 + y 2 , 3x + 2y − 6 = 0; 3) u = x 2 − y 2 , 2x − y − 3 = 0; 4) u = x y 2 , x + 2y − 1 = 0; 5) u = cos2 (x) + cos2 ( y), x − y − π / 4 = 0;

6) u = 5 − 3x − 4 y, x 2 + y 2 = 25;

7) u =1 − 4x − 8 y, x 2 − 8y 2 = 8; 8) u = x 2 + x y + y 2 , x 2 + y 2 = 1; 9) u = 2x 2 + 12x y + y 2 , x 2 + 4y 2 = 25;

10) u = x + y , x 2 + y 2 = r 2 , r > 0.

3.2.35.Найти условные экстремумы функции u = f (x, y, z) относительно

заданного уравнения связи:
1) u = x y z,		x + y − z = 3, x − y − z = 8;
2) u = x y z,		x y + y z + z x = 8, x + y + z = 5;
3) u = x y + y z,			x 2 + y 2 = 2,			y + z = 2, y > 0;
4) u = x 2 + y 2 + z 2 ,				x 2	+ y 2 + z 2 =1, x + y + z = 0;
4) u = x 2 + y 2 + z 2 ,			4		+ y 2 + z 2 =1, x + y + z = 0;
			4
5)	u = (x −1)2 + ( y − 2)2 + ( z − 3)2 ,					x 2 + y2 + z 2 = 21,
5)						3x + 2y + z = 0.
						3x + 2y + z = 0.

ОТВЕТЫ

3.2.3 1)		a / 2; 2) 2 ; 3) e 3 ; 4) 0 ; 5) 0 ; 6) 1 ; 7)
3.2.4 1)		1 и 1 ; 2)	1	и	1	; 3) 0 и 1 ; 4) −	1	и	1	; 5)	1	и 1 ; 6)		3	и 1 .
											2
		2		3		2		2					2
3.2.5 1)		O(0,0) ; 2) O(0,0) ; 3) все точки прямой y = x ;
4)	все точки прямой y = 2x ; 5) линия разрыва - гипербола x2 − 2y 2 = 4 ;
6)	M 0 (1, − 1) ; 7) M 0 (1, 2) ; 8) O(0,0) ;
9)	поверхность разрыва - конус x2 + y 2 = z2 ;

10)поверхность разрыва - конус x2 + y 2 = z2 ;

11)линия разрыва - окружность x2 + y2 = 4 ;

12)O(0, 0) − точка устранимого разрыва;

13)линия разрыва - прямая y = 0 ;

14)линии разрыва - прямые x = 0, y = 0 ;

15)линии разрыва - прямые x ± y = π n, n Z ;

16)функция везде непрерывна;

17) поверхности разрыва - сферы x2 + y2 + z 2 = π + π k , где k = 0,1,2,K

3.2.6

u x = 2x + 6xy 3 ;

u y = 3y2 + 9x 2 y 2 ;

2) u x = y z +

; u y = x z −

; u z = xy −

;

y z

y z2

2 z

u x = −

sin x

;

u y =

cos x sin y

;

cos2 y

cos y

u x = y cos(x y + y z); u y = ( x + z) cos(x y + y z) ;

u z = y cos(x y + y z) ;

u x = −

;

u y =

;

+ y

x 2

6) u x =

e x y

+ tg(x + y) e x y

;

cos2 (x + y)

e x y

+ tg(x + y) e

x y

;

u y =

+ y)

−

cos

7) ux =

ex+ y (x + x2

+ y2 )

; uy =

ex+ y(y + x2

+ y2 )

;

+ y2

8) ux = y ln(x y) + y; uy = x ln(x y) + x;

y− x sin y

9)ux = x2 +y2 ; uy = x2 + y2 ;

10)

ux = y zxy z−1; uy = xy z ln x z; uz = xy z ln x y;

z y z

y z

11)

ux = −

; uy =

; uz =

;

x x

−1

12)

ux = zx y ln z

; uy

= zx y ln z

−

; uz =

zy ;

13) ux = y2 xyz −1; uy = xyz z yz−1 ln x;

uz = xyz

ln(x yz )ln y;

14) ux = xy−1 yz+1 zx + xy yz zx ln z;

uy = xy ln x yz zx + xy yz−1 zx+1;

uz = xy yz ln y zx + xy+1 yz zx−1 .

3.2.7

1) ux

= ft + fϑ 2x; uy

= ft + fϑ 2 y,

где t = x + y, ϑ = x2 + y2 ;

2) u

−

, u

= −

f +

f ,

где t =

, ϑ =

;

3) ux

= ft + y fϑ ,

uy = −ft + x fϑ ,

где t = x − y, ϑ = x y;

4) ux = ft y g, uy

= ft x g + f gϑ z,

uz = f gϑ z,

где t = x y, ϑ = y z;

5) u

= f g g

y ln f +

f ,

= f g g

x ln f −

где t = x − y, ϑ = x y;

6) ux

= ft − 2x fϑ + y fω , uy

= −2y ft + fϑ + x fω ,

где t = x − y2 , ϑ = y − x2 , ω = x y;

7) ux =

x ft

x fω

+ y2

+ x2

где t =

x2 + y2 ,

uy =

y ft

y fω

ϑ =

x2 + y2

y2 + z2

+ z ,

z f

ω = z2 + x2 .

uz =

z2 + y2

z2 + x2

3.2.9

1) du

= 2xy3dx + 3x2y2dy, du

= 4dx + 12dy;

2) du

= −

dx +

dy +

dz, du

= −6dx + 3dy + 2dz;

3) du

= exy (ydx + xdy), du

= 0;

4) du

= xy

dx + ln x dy , du

= 12dx + 8ln2 dy;

5) du

= (1 + ln x)dx +

dy, du

= dx + dy;

= − sin(y + z) [(y + z)dx + xdy + xdz], du

6) du

= −

+ dy + dz ;

3.2.10

1) du

= (ft

+ fϑ )dx + (fϑ − ft )dy, du

= [ft (2,0)+ fϑ(2,0)]dx + [fϑ(2,0) − ft (2,0)]dy;

где t = x − y, ϑ = x + y;

y f

+ xf

−

dy,

= [f

(0,0) + f

(0,0)]dx; где t = x y, ϑ =

;

M = 2(xft − xfω )dx + 2y (fϑ − ft )dy + 2z(fω − fϑ )dz,

= 2[ft

(0,0,0)− fω(0,0,0)]dx + 2[fϑ(0,0,0) − ft (0,0,0)]dy + 2[fω(0,0,0) − fϑ(0,0,0)]dz;

где t = x2 − y2 , ϑ = y2 − z2 , ω = z2 − x2 ;

M = (ft cosx − fϑ sin x)dx + ft cosy dy + fϑ sin zdz,

= ft (0,0)dx + ft (0,0)dy; где t = sin x + sin y, ϑ = cosx − cosz.

3.2.11

1) 11.16;

2)8.2;

3)11.25;

4)26.07;

5)0.98;

6)31.63;

7)5.26;

8)6.64;

9)5.72;

10)10.08;

11)14.23;

12)13.01;

13)1,65;

14)0.71;

15)8.27

3.2.12

3 y3

1 y

3 y

1) du =

3dy −

dx , uxy = uyx

= −

, uxx =

, uyy =

;

2 x

4 xy

du = exy (y2dx + (1 + xy)dy), uxy = uyx = y exy (2 + y x),

= xexy (2 + yx);

uxx = y3exy , uyy

du = e−xy (1 − xy)(ydx + xdy), uxy = uyx = e−xy (1 − 3y x + x2y2 ),

uxx = e−xy (y3x − 2y2 ), uyy = e−xy (x3y − 2x2 );

du = cos(x3 − y3)(2xdx − 3y2dy), uxy = uyx = 6xy2 sin(x2 − y3),

uxx = 2(cos(x2 − y3) − 2x2 sin(x2 − y3)), uyy = −3y(2 cos(x2 − y3) + 3y2 sin(x2 − y3));

x2 cos

+ 2y sin

du =

dy −

, u

= u

= −

2 y

3 y

x cos

cos

2y x cos

+ y sin

2 sin

, u

;

3 y

cos

	du =				1		(4xdx − dy), uxy = uyx =							8		(2x2 − y)−1 3	,
	du =	3(2x2 − y)2 3					(4xdx − dy), uxy = uyx =									(2x2 − y)−1 3	,
6)		3(2x2 − y)2 3								9
6)			4		(3y2 + 2x2 )(2x2 − y)−5 3 , uyy = −								2		(2x2 − y)−1 3;
	uxx = −		4										2
	uxx = −		3
			3							9
					1		dx
7) du =					1		dx		+	dy
												;
												;
	2(			x +				x
	2(			x +		y )		x			y

uxy =uyx = −

, uxx = −

+ 2

, uyy = −

;

4 y(x + xy )2

4 x(x + yx )2

4 y(x + yx )2

du =

−

ln tgx

, uxy = uyx = −

y2 sin 2x

y tdx cos2 x

4 cos2x

2 ln tgy

uxx = −

, uyy = −

;

y sin2 2x

du =

3x2dx + 8 y dy

, uxy = uyx = −12 x2y(x3 + 4y2 )−2 ,

2(x3 + 4y2 )

4(x3 − 4y2 )

8y2x − x4

uxx =

, uyy =

;

(x3 + 4y2 )2

2 −1 2 y

−3 2

du = (x

− y

)

− dy , uxy

= u yx

= x (x

− y

)

10)

y(2x2 − y2 )

, u yy = −y(x2 − y2 )−3 / 2;

uxx = −

x2 (x2 − y2 )3 2

du = (1 − (x − y)2 )−1 2 (dy − dx), uyx = uxy = (x − y)(1 − (x − y)2 )−3 2 ,

11)

uxx = uyy = −(x − y)(1 − (x − y)2 )−3 2 ;

x 2 −1 2

(y−1dx − xy−2dy), u

= −y(y2 − x2 )

−3 2

du =

1 −

= u

12)

x(2y2 − x2 )

uxx = x(y2 − x2 )−3 2 , uyy =

;

y2 (y2 − x2 )3 2

3.2.14

1)	uyxx = −2y sin xy − x y2 cosx y, uyyx = −2x sin xy − x2y cosxy;
2)	uzyx = (x2y2z2 + 3x y z + 1)ex y z ;					3)	∂10u		= −2	6	sin x cos2y;
							∂ x4 ∂ y6
	∂m+n u			n π		y + n π
4)		=	2m e2x sin y +		+ 2−n ex cos			;
	∂ xm ∂ yn					2
				2

	10				x	2	+ y
5)	∂ u		= 10!	2x tgx +	x		+ y	;
5)		9	= 10!	2x tgx +			2	;
	∂ x ∂ y	9					2
	∂ x ∂ y				cos x

6) так как

∂nu

2 x n!

∂m+n u

2(− 1)m( n + m − 1)!(n x + m y)

, то

∂ yn

(x − y)n+1

∂ xm ∂ yn

(x − y)m+n+1

3.2.15.

= f

+ 4x f

+ 4x2 f

+ 2 f , u

= f

+ 2(x + y)f

+ 4x y f

t t

ϑ ϑ

t t

t ϑ

ϑ ϑ

= f

+ 4 y f

+ 4 y2f

+ 2 f , где t = x + y, ϑ = x2

+ y2 ;

t t

ϑ ϑ

uxx

= y2 ft t + 2 ft ϑ +

fϑ ϑ , uxy = x y ft t −

fϑ ϑ + ft −

fϑ ,

uyy

= x2ft t − 2

ft ϑ +

fϑ ϑ

fϑ , где t = x y, ϑ =

;

uxx

= y2 gf ′′+ 2yzftϑ + 4x2 f g′ ′ + z2 f g ′′, u yy = x2gf ′′, uzz

= x2f g ′′,

uxy = x ygf ′′+ xzf g′ ′ + gf ′, u xz = x yf g′ ′ + xzf g ′′+ f g′, u yz = x2 f g′ ′;

uxx

= −

(ft + fϑ )2 +

(ft t + 2 ft ϑ + fϑ ϑ ), uxy = −

(ft

+ fϑ )fϑ +

(ft ϑ + fϑ ϑ ),

uyy

fϑ ϑ −

fϑ2 , где t = x, ϑ = x + y;

5) uxx = cos2 f ′ ′− sin x f ′, uxy = − sin y cosx f ′ ′, uyy = sin2 y f ′ ′− cosy f ′;

= g f g−2

[

(g − 1)f ′2 + f f ′ ′, u

= f g−1 g′ f ′(1 + g ln g),

]

= f g (g′2 ln2 f + g′ ′ln f ).

uyy

3.2.19

d2u

= ft t (dx − dy)2 + 2 ft ϑ (dx2 − dy2 ) + fϑ ϑ (dx + dy)2 ,

1) d2u

= ft t (0,2)(dx − dy)2 + 2 ft ϑ (0,2)(dx2 − dy2 ) + fϑ ϑ (0,2)(dx + dy)2 ,

где t = x − y, ϑ = x + y;

d2u

= ft t (dx + dy)2 + 4zftϑdz(dx + dy) + 4z2fϑϑdz2 + 2fϑdz2 ,

= ft t (0,0)(dx + dy)2 + 2ft ϑ(0,0)dz2 , где t = x + y, ϑ = z2;

d2u

= ft t (y dx + x dy)2 + 4 ft ϑ (y dx + x dy)(x dx + y dy) +

3) + 4 fϑ ϑ (x dx + y dy)2 + 2 ft ,dx dy + 2 fϑ (dx2 + dy2 ),

d2u

= 2 ft (0,0)dx dy + 2 fϑ (0,0)(dx2 + dy2 ), где t = x y, ϑ = x2 + y2 ;

d2u = − sin f (x) ef ( x) f ′2 (x)dx2 + 2 cosf (x) ef ( x) f ′(x) f ′(y)dx dy +

+ cosf (x) ef (x) f ′ ′(x)dx2 + sin f (x) ef (x) f ′2 (y)dy2 + sin f (x) ef (x) f ′ ′(y)dy2 ,

4)d2u = ef (0)[(cosf (0) f ′ ′(0) − sin f (0) f ′2 (0))dx2 + 2 cosf (0) f ′2 (0)dx dy +

+sin f (0)(f ′ ′(0) + f ′2 (0) )dy2 ].

3.2.20

2) 29 i + 18 j, 13

r 17

1) 10 i + 6 j,11

;

3) i

− j,

;

5) − 10 j, 8;

5 i + 3 j

;

6) 32 i +

96 j, 85

;

8) 26 i + 12 j, 10

7) 3 i + 3 j,

;

9) − 28 i

+ 8 j, −

;

7 i + 9 j

, − 11 5

2 i − 2 j

, − 17

10) 11 i

+ 16 j,

;

11)

;

12)

;

125

−

13)

10 i

8 j

;

14)

4 i

;

15)

9 i + 12 j

,0.

325

3.2.21

1)			r					r			11				;				2) 4 e2 (			i + j),0;									r	r
1)			i	+ 3 j ,							11				;				2) 4 e2 (			i + j),0;								3) i		− j , 1 ;
																						r		r
				5																												2		2
				5				5					13																			2		2
						r														r	r
			r				j
			r
			i	−																i	+ j			2						6) i + j, 1;
			i	−							1								5)	i	+ j			2
4)					2			,			1			;							5	,	5		;
																						,			;
					3						15																				r
					3						15

				r				r			24				5																i	r			3			2
7)	8(i				+ j),						24				5		;		8) 12 i + 16 j, 0;											9)	i	− j,			3			2	;
7)	8(i				+ j),								5				;		8) 12 i + 16 j, 0;											9)		− j,		4					;
													5																	2				4
				r					r													r		r								r			r
10)				i	− 10					j		, −					4	;	11) − (4 i				+ j) ,−				5		;	12)		i −		2		j	,0;
10)												, −						;	11) − (4 i				+ j) ,−						;	12)							,0;
				10				3							5		15					26				26		2				2		3
																					r	r										r				r
				r						r 41											i − j				1							4(i	+ j)						12
13) 7 i + 5 j,																;			14)				,				;			15)

													5							10		3		10 15								π + 4						,		5(π + 4) ;
													5							10		3		10 15								π + 4						,		5(π + 4) ;
				3.2.25
1)											(				)		= 0;					2) точек экстремума нет;
1)		umin = u 0,0															= 0;					2) точек экстремума нет;
3)		umin = u(− 2,−1) = −2;																				4) umin = u(4 3, 4 3) = − 64 27, umax = u(0,0) = 0;
5)		umin = u(1,−1) = −6,																				6) точек экстремума нет;
5)		umax						= u(− 1,1) = 6;														6) точек экстремума нет;
		umax						= u(− 1,1) = 6;
7) точек экстремума нет;																						8) umin = u(2 3, − 4 3) = −(4 3)e−2 ;
9)		umin = u(0,0) = 0;																				10) umin = u(0,0) = 0, umax										= u(0,1) = u(0,−1) =									2	;
9)		umin = u(0,0) = 0;																				10) umin = u(0,0) = 0, umax										= u(0,1) = u(0,−1) =									e	;
																																									e

11)																																												umin = u(1																								) =
11)																																																								2e ,1						2e
	u		= u(− 1 10 ,2 10) = − 5 (2e) ,																																			12)																		2e ,1						2e
	u	min	= u(− 1 10 ,2 10) = − 5 (2e) ,																																			12)						= u(− 1																					)					1
	umax = u(1							, − 2							) =																																						2e		, − 1						2e						=								;
	umax = u(1				10			, − 2						10	) =						5 (2e)									;																							2e		, − 1						2e						=						2e		;
13) umin = u(1,1) = 3.
			3.2.26
1) umin = u(1,−1,3) = −11;																																						2) umin = u(1 2,1 2 , − 2) = −17 4;
3) umin = u(1,−2,1 2) = − 9 2;																																						4) umax = u(1 4,1 4,1 4) = 1 256;

																																																					1			1			1																			3
																																											umin						= u							,				,											= −											,

																																																						3
5) umin = u(1 4,1 4,1 4) = −1 8;																																						6)														2		3		2 3								3														e
																																																						1				1									1
																																																						1				1									1											3
																																											umax						= u								,−						,									=												.

																																																						3					3
																																																				2		3		2			3										3											e
			3.2.28
					a2 b2																						ab					2					a	2	b
																											ab										a		b
	1) umin =
	1) umin =				2		+ b			2		в точке															2		+ b					2 ,	a		2	+ b			2 ;
				a			+ b															a							+ b						a			+ b
	2) umin = 2								a в точке (																	a,							a),				umax = −2															в точке (−																	a, −												a) ;
	2) umin = 2						2		a в точке (													2				a,					2		a),				umax = −2													2		в точке (−														2			a, −								2				a) ;

																			1								1												1								1
	3) umax = 0,5 в точках																						,											и		−							, −								,

																					2																		2
																					2							2											2									2
																					1							1										1								1
		umin = −0,5 в точках															−								,									и						,		−							;

																					2																									2
																					2								2									2								2
			3.2.29
	1) umin = 0,4 в точке (0,4;− 0,4; 0,2) ;																																												2)				umin = 5 в точке																		(								)
			10															4			8						4																																								(								)
			10															4			8						4																																											0,0,0 ;
		umax = 7					в точке −														,			,					;
		umax = 7					в точке −												3		,			,					;
			27																3		3						3
																																																																											1			2								2
																																													4)				umin = −3 в точке −																													,							,−		,
																																													4)				umin = −3 в точке −																										3			,							,−		,
	3) нет точек экстремума;																																																																										3			3								3
	3) нет точек экстремума;																																																																		1							2					2
																																																																			1							2					2
																																															umax = 3 в точке																								,−					,							;
																																															umax = 3 в точке																				3				,−			3		,							;
																																																																			3							3					3
	5) umax = 1 в точке (1,1,1) .
			3. 2.30 d = h = 6;
			3.2.31 Smin = 48 см2																	при высоте 2 см и длинах сторон основания равных 4 см ;
			3.2.32 ρmin =										A x0 + By0														+ C z0 + D											;


																A2					+ B2 + C2
																A2					+ B2 + C2
			3.2.33					7			.


						4		2
						4		2
			3.2.34

1)	umax (1 2 ,1 2) = 1 4;																	2)	umin (18 3,18 13) = 36 13;
			(		)																		(		)					1			1		1

3)	u																	4)	u													,		=	;
		max																		min								max			3				27
																															3	3			27
			5π					3π							1		π					π							1		, k Z;
5)	u				+ πk,				+ πk					= 1 −		, u		+ πk, −						+ πk		= 1 +
				8				8														8
															2														2
		min													2		max 8												2
6)	umin (3,4) = −20, umax (− 3, − 4) = 30;																	7)	umin (− 4,1) = 9, umax (4, − 1) = −7;
					1			1			1								umin (± 3, ± 2) = −50,
	umin			±		;m				=		,
											2
					2			2
8)					2			2										9)									3		425
8)								1										9)									3		425
					1						3								u						± 4, ±			=				;
					1						3								u						± 4, ±			=				;
	umax			±			,±			=			;								max						2		4

								2
					2			2			2

			r		r
10) u		−		; −		= − r A,
			a A
	min				b A

+ b

= r A, где A =

a b

max a A

b B

3.2.35


				11					5				11				605
1)	u					, −					, −				=				;
1)	u			4		, −			2		, −				=		32		;
		min		4					2				4				32
	umin (2,2,1) = u(2,1,2) = u(1,2,2) = 4,
2)					4			4			7					4	7		4			7	4			4		112
		u					,			,			= u				,	,			= u		,		,		=				;
		u			3		,	3		,			= u				,	,			= u	3	,		,		=	27			;
			max		3			3			3					3	3			3		3	3			3		27
3)	umin (111,,) = 2,											umax (− 1,11,) = 0;
								1					1									2				1			1
4)	u			0,±							,m					=	1, u				±			, m			,m					= 2;
4)	u			0,±							,m					=	1, u				±			, m			,m					= 2;
		min							2					2						max		3				3				3
5)	umin (− 2,1, 4) = 11, umax (2, − 1, − 4) = 59.

3.3 РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание №1

Найти область определения функции и изобразить ее в координатной плоскости

1) z = − x + y;

+ y

2) z = arccos

;

, (0 < r < R );

3) z = R 2 − x 2 − y 2 +

x 2 + y 2 − r 2

4) z =

x −

;

5) z = ln

−

1 ;

6) z =

;

x − y

x + y

7) z =

y sin x;

4 x − y 2

8) z =

ln (1 − x 2 − y 2 );

+ arcsin (1 − y);

9) z = ar sin

10) z = x y +

+ x

+ y

− 9;

x 2

+ y 2

11) z =

x 2 + 2 x + y 2

;

x 2 − 2 x + y 2

x − y

12) z = arcsin

;

1 + x 2

13)z

14)z = sin (x 2 + y 2 );

15)z = ln (cos (x 2 + y 2 ));

16)z = tg (x + y);arccos ;x=

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
02.12.2018882.18 Кб2853-70 .doc
#
23.11.2018308.74 Кб37546574645.doc
#
05.12.2018367.62 Кб14589844.doc
#
17.03.2015180.12 Кб535kursovoy_proekt.docx
#
22.08.20194 Mб65_PZ_-_3__38_listy (1).docx
#
17.03.20151.51 Mб345_УМК.PDF
#
06.03.201623.67 Кб55модуль.doc.docx
#
03.09.201947.57 Кб136 БЕЗОПАСНОСТЬ И ЭКОЛОГИЧНОСТЬ ПРОЕКТА+++++.doc...docx
#
18.12.2018387.58 Кб226-10, 21-25, 36-40, 50-53.doc
#
25.09.201993.14 Кб36-10.docx
#
19.11.2018108.54 Кб26. Основы методики самостоят. зан. физ. упр..doc