5_УМК
.PDFf (x, y) = x sin 1 sin 1 + y sin 1 sin 1 . При фиксированном y, y ≠ 0 первое сла-
|
|
x |
|
|
|
|
y |
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sin |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
sin |
1 |
|
|
||||||||
гаемое x sin |
|
|
|
|
→ 0 |
при x → lim x sin |
|
|
|
|
= 0 |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x |
→0 |
|
|
|
|
y |
|
|
||||||
Во втором слагаемом произведение y sin |
1 |
является постоянным, отличным |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||
от нуля, если y ≠ |
|
1 |
(n Z), а сомножитель sin |
1 |
не имеет предела при x → 0 : в |
|||||||||||||||
πn |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
сколь угодно малой окрестности точки x = 0 функция sin |
1 |
принимает все зна- |
|
x |
|||
|
|
чения от -1 до 1. Следовательно, второе слагаемое y sin |
1 |
sin |
1 |
, а значит, и вся |
|||
x |
y |
||||||
|
|
|
|
|
|||
функция f (x, y) не имеет предела при x → 0 и фиксированном y , y ≠ 0; |
1 |
. |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
πn |
Таким образом, указанный внутренний предел не существует, а поэтому не суще-
ствует повторный предел lim lim f (x, y). Аналогично доказывается, что не суще-
y→0 x→0
ствует другой повторный предел lim lim f (x, y).
x→0 y→0
2.3 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
Функция u = f (M) называется непрерывной в точке M 0 , если:
1) f (M) определена в точке M 0 и некоторой ее окрестности;
2) существует предел lim f (M);
M→M0
3) этот предел равен значению функции в точке M 0 ,
т.е.
lim f (M) = f (M 0 ).
M→M0
Точка M 0 называется точкой разрыва функции u = f (M), если для нее не
выполняется хотя бы одно из данных условий. Точки разрыва данной функции могут располагаться как отдельно (изолированные точки разрыва), так и заполнять целые линии (линии разрыва).
Функция u = f (M) называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.
51
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.13 Исследовать на непрерывность функцию u = |
x − y |
. |
|
x 3 − y3 |
|||
|
|
Решение. Данная функция является дробно-рациональной функцией переменных x и y . Она не определена в тех точках, где знаменатель дроби равен ну-
лю (x 3 − y3 = 0), т.е. функция не определена на прямой y = x .
Таким образом, прямая y = x есть линия разрыва данной функции. В остальных точках плоскости (x, y) функция определена. Отметим, что в любой точке M1 (a, a) (a ≠ 0), лежащей на прямой y = x и не совпадающей с точкой O(0;0) существует предел функции:
lim |
x − y |
|
= lim |
|
1 |
= |
1 |
. Поэтому точки M1 (a, a) при a ≠ 0 мож- |
|||||||
x 3 − y3 |
|
− xy + y2 |
a 2 |
||||||||||||
x→a |
|
x→a x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y→a |
|
|
|
y→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но |
назвать |
|
точками |
устранимого |
разрыва функции, |
т.к. если |
положить |
||||||||
u(a, a ) = |
1 |
|
, то функция станет непрерывной в точке M1 (a, a). |
|
|
|
|||||||||
a 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В точке O(0;0) |
имеем lim f (x, y) = lim |
|
|
= ∞ , т.е. эта точка |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x→0 x 2 − xy + y2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
y→0 |
y→0 |
|
|
|
|
|
|||
является точкой разрыва 2-го рода данной функции. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ПРИМЕР 2.14 Исследовать на непрерывность функцию u = |
x 2 + 2y + 4 |
|||||||||||||
|
|
|
. |
||||||||||||
|
y2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x |
Решение. Функция u = f (x, y) непрерывна как отношение многочленов во всех точках, кроме тех, где знаменатель обращается в нуль. Таким образом, точки разрыва 2-го рода расположены на линии y2 − 2x = 0 y2 = 2x , т.е. на параболе.
ПРИМЕР 2.15 Исследовать на непрерывность функцию u = cos 1 . x − y
Решение. Данная функция сложная: u = cos ϑ, где ϑ = 1 . Функция x − y
cos ϑ непрерывна при любом значении аргумента ϑ. Точки разрыва надо искать
для функции ϑ = 1 , в этих точках будет разрывна и вся сложная функция u. x − y
Функция ϑ = 1 , очевидно, терпит разрыв вдоль прямой y = x . При прибли- x − y
жении точки M(x, y) к одной из точек прямой y = x функция u = cos 1 x − y
52
производит бесконечно много колебаний в пределах [−1,1] и, следовательно, никакого предела не имеет.
2.4 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИИ
Частные производные функции u = f (x, y, z) по аргументам x, y и z соответственно определяются как соответствующие пределы (если они существуют):
∂U
∂x
∂U
∂y
∂U
∂z
= lim |
f (x + x, y, z)− f (x, y, z) |
, |
|||||
|
|
|
|||||
x→0 |
x |
||||||
= lim |
f (x, y + |
y, z)− f (x, y, z) |
, |
||||
|
|
|
|||||
y→0 |
y |
||||||
= lim |
f (x, y, z + |
z) − f (x, y, z) |
. |
||||
|
|
||||||
z→0 |
z |
При фиксированных значениях всех аргументов, кроме, например, x, функция u = f (x, y, z) становится функцией одной переменной. Производная этой функции по переменной x и есть частная производная u = f (x, y, z) по аргументу x. Поэтому вычисление частных производных производится по тем же правилам, что и вычисление производной функции одной переменной.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.16 Найти частные производные функции: u = x y (x > 0).
Решение. При вычислении частной производной функции u = x y от аргумента х рассматриваем функцию u как функцию одной переменной x, т.е. считаем
y фиксировано. Тогда функция u = x y является степенной функцией аргумента x.
∂u
По формуле дифференцирования степенной функции получаем ∂x
∂u
Аналогично, при вычислении частной производной ∂y считаем, что x-
фиксировано, и рассматриваем функцию u = x y как показательную функцию ар-
∂u = y
гумента y, поэтому ∂y x ln x .
ПРИМЕР 2.17 Найти значения частных производных функции u = 2x 3 + 3x 2 y + 6xy − y3 в точке M 0 (−1,2).
Решение. Считая y постоянной и дифференцируя u, как функцию от x, находим частную производную по x, вычисляем ее значение в точке M 0 :
∂u = 6(x 2 + xy + y); |
∂u (M |
0 ) = 6((−1)2 − 2 + 2)= 6 . |
∂x |
∂x |
|
53
Считая x постоянной и дифференцируя u, как функцию y, находим частную производную по y, вычисляем ее значение в точке M 0 :
∂u = 3(x 2 + 2x − y2 ); |
∂u (M |
0 ) = 3((−1)2 − 2 − 22 )= −15 . |
∂y |
∂y |
|
ПРИМЕР 2.18 Найти частные производные функции: u = x 2 + y2 + z 2 .
Решение. При фиксированных значениях y и z данная функция является сложной функцией аргумента x. Вычисляя производную этой функции аргумента
x, получаем |
∂u = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2x = |
|
x |
|
. Аналогично |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
∂x |
|
2 x 2 |
+ y2 + z 2 |
x 2 + y2 + z 2 |
|
|
|||||||||||||||||
∂u = |
|
y |
|
|
, |
∂u = |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
. Однако полученные формулы те- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∂y |
x 2 + y2 + z 2 |
∂z |
x 2 + y2 + z 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
ряют смысл в точке O(0;0;0), т.к. в этой точке производные данной функции не |
||||||||||||||||||||||||||
существуют. Имеем u(x,0,0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x 2 |
= |
|
x |
|
, т.е. из дифференциального исчисления |
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
функции одной переменной следует, |
что ∂u (O) не существует. Аналогично рас- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|||||
суждая можно показать, что ∂u (O) и |
∂u (O) не существуют. Заметим, что дан- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
ная функция в исследуемой точке непрерывна.
ПРИМЕР 2.19 Найти частные производные функции u = f (x, xy, xyz) по аргументам x, y и z .
Решение. Данная функция является сложной функцией переменных x, y и z:
u = f (t, ϑ, ω), где t = x , |
ϑ = xy , ω = xyz , поэтому имеем |
|||||||||||||||||||||
∂u = |
∂u |
∂t |
+ |
∂u ∂ϑ + |
|
|
∂u |
∂ω , |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∂x |
∂t ∂x |
∂ϑ ∂x |
|
|
∂ω ∂x |
|
|
|
||||||||||||||
∂u = |
∂u |
∂t |
+ |
∂u ∂ϑ + |
|
|
∂u |
∂ω, |
|
|
(2.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∂y |
∂t ∂y |
∂ϑ ∂y |
|
∂ω ∂y |
|
|
|
|||||||||||||||
∂u = |
∂u |
∂t |
+ |
∂u ∂ϑ + |
|
∂u |
∂ω . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∂z |
∂t ∂z |
∂ϑ ∂z |
|
∂ω ∂z |
|
|
|
|||||||||||||||
Вычислим |
∂t |
|
= 1, |
∂t |
|
= |
∂t |
= 0 , |
∂ϑ = y , |
∂ϑ = x , |
∂ϑ = 0, |
|||||||||||
∂x |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
∂z |
∂x |
∂y |
∂z |
|||||||||||||
|
|
|
∂ω = yz , |
∂ω = xz , |
∂ω = xy . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
Подставляя (2.2), найдем
54
∂u = |
∂u + y |
∂u |
+ yz |
∂u |
, |
∂u = x |
∂u |
+ xz |
∂u |
, |
∂u = xy |
∂u |
. |
∂ϑ |
|
∂ϑ |
|
|
|||||||||
∂x |
∂t |
|
∂ω |
∂y |
|
∂ω |
∂z |
∂ω |
|||||
|
|
|
2.5 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ |
|
|
||||||||
Пусть |
функция |
u = f (x, y, z) |
дифференцируема |
|
в точке |
M 0 = M 0 (x 0 , y0 , z0 ), т.е. ее полное приращение в этой точке можно предста-
вить в следующем виде:
f (x 0 + x, y0 + y, z 0 + z) − f (x 0 , y0 |
, z 0 ) = |
∂u |
(M |
0 ) x + |
∂u |
(M |
0 ) y + |
|||||||
|
|
|||||||||||||
|
∂u |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|||
+ |
(M 0 ) z + (α1 x + α2 y + α3 z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференциал этой функции вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
du(M 0 ) = ∂u (M 0 ) |
x + |
∂u (M 0 ) |
|
y + |
∂u (M |
0 ) z |
(2.3) |
|||||
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
Обозначим через x1 = x 0 + |
x , y1 |
= y0 + |
y , |
z1 = z0 + |
z координаты неко- |
|||||||||
торой точки M1 , т.е. M1 = M1 (x1 , y1 , z1 ), тогда из (2.3) следует |
|
|||||||||||||
|
|
f (M1 ) ≈ f (M 0 ) + |
∂u (M 0 ) |
x + |
∂u (M 0 ) |
y + ∂u (M 0 ) |
z . (2.4) |
|||||||
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
∂z |
|
Алгоритм использования дифференциала в приближенных вычислениях
Пусть требуется найти приближенное значение величины А, тогда необходимо выполнить следующие действия:
1. Представить А в виде значения некоторой функции в точке M1 :
A= f (M1 ).
2.Подобрать точку M 0 так, чтобы она была достаточно близкой к точке
M1 и значение f (M 0 ) вычислялось легко и вычислить f (M 0 ). |
|
||||
3. |
Найти |
∂u (M |
0 ), ∂u (M 0 ), ∂u (M 0 ). |
|
|
|
|
∂x |
∂y |
∂z |
|
4. |
Вычислить f (M1 ) согласно формуле (2.4). |
|
|||
|
|
|
|
Примеры решения задач |
|
ПРИМЕР |
2.20 |
Найти |
дифференциал функции u = e x 2 + y2 +z2 |
в точке |
|
M 0 (0,1,2). |
|
|
|
|
Решение.
55
|
Данная функция является сложной u = e t , где t = x 2 + y2 + z 2 , поэтому |
||||||||||||||||||||||||
∂u = ∂u |
∂t |
, |
∂u = |
∂u ∂t |
, |
|
|
∂u = |
∂u |
∂t |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∂t ∂y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∂x |
∂t ∂x |
|
∂y |
|
|
|
∂z |
|
∂t ∂z |
|
|
|
|
|
|||||||||||
Найдем |
|
∂t |
= 2x , |
∂t |
= 2y , |
|
|
∂t |
= 2z , |
∂u = et . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Имеем |
∂u = 2xe x2 +y2 +z2 |
, ∂u = 2yex 2 +y2 +z2 |
, |
|
∂u = 2zex 2 +y2 +z2 |
, |
|||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|||||||||
|
|
∂u (M 0 ) = 0 , |
∂u (M |
0 ) = 2e5 , |
|
∂u (M 0 ) = 4e5 , |
|
||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
du(M 0 ) = 2e5 dy + 4e5 dz . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ПРИМЕР 2.21 Найти дифференциал функции u = f (x + y2 , y + x 2 ) в точке |
||||||||||||||||||||||||
M(−1,1). |
|
Запишем функцию А = f (x + y2 , y + x2 ) в виде u = f (t, ϑ), |
|||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
||||||||||||||||||||||||
где |
t = x + y2 , |
ϑ = y + x 2 , поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂u = ∂u |
∂t |
+ |
∂u ∂ϑ |
и |
∂u = |
∂u |
∂t |
+ |
∂u ∂ϑ . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂ϑ ∂x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂t ∂x |
|
|
∂y |
∂t ∂y |
∂ϑ ∂y |
|
Вычислив |
|
∂t |
= 1, |
|
|
|
∂t |
= 2y , |
|
∂ϑ = 2x , |
|
∂ϑ = 1, |
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂u (M 0 ) = |
∂u (M 0 ) − 2 ∂u (M |
0 ), |
|
∂u (M |
0 ) = 2 |
∂u (M |
0 ) + ∂u (M 0 ), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
|
∂t |
|
|
|
|
|
|
|
∂ϑ |
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
∂ϑ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
du(M |
|
|
) = |
|
∂u |
(M |
|
|
) − 2 |
∂u |
(M |
|
|
|
|
|
|
∂u |
(M |
|
) + |
∂u |
(M |
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
∂t |
0 |
|
∂ϑ |
0 |
) dx + 2 |
∂t |
|
0 |
∂ϑ |
0 |
) dy . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ПРИМЕР 2.22 Найти приближенное значение величины |
1,032 +1,983 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Положим A = f (x, y) = |
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + y3 |
M1 (1.03, 1.98). Выберем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M0 (1,2), тогда f (M 0 ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
12 + 23 |
|
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
∂u = |
1 |
(x 2 + y3 )− |
|
2x = x(x 2 + y3 )− |
|
, |
|
∂u = |
3 |
x 2 (x 2 + y3 )− |
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂u (M 0 ) = |
1 |
, |
∂u (M 0 ) = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∂x |
|
|
3 |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле (2.4) найдем
56
1,032 +1,983 ≈ 3 + 1 (1,03 −1) + 2(1,98 − 2) = 2,97 . 3
2.6 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Частными производными второго порядка от функции u = f (M) называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Рассмотрим функцию двух переменных u = f (x, y) , которая имеет част-
ные производные |
∂ u , |
∂ u |
во всех точках области определения D . Частные |
|
∂ x |
∂ y |
|
производные второго порядка в этом случае записываются следующим образом:
∂ |
|
∂ u |
|
|
∂2 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= f ′′ |
(x, y); |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
∂ x 2 |
|
xx |
|
|
|
∂ x |
∂ x |
|
|
|
|
|
|
|||
∂ |
|
∂ u |
|
|
∂2 u |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= f |
′′ |
(x, y); |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∂ x ∂y |
xy |
|
|||
∂ y |
∂ x |
|
|
|
|
|
∂ |
|
∂ u |
|
∂2 u |
|
|
|
|
|
= |
|
= f ′′ |
(x, y); |
|
|
|||||
|
|
|
|
∂ y2 |
yy |
|
∂ y |
∂ y |
|
|
|
∂ |
|
∂ u |
|
∂2 u |
|
|
|
|
|
= |
|
= f ′′ |
(x, y). |
|
|
|||||
|
|
|
|
∂ y ∂x |
yx |
|
∂ x |
∂ y |
|
|
|
Аналогично определяются и записываются частные производные третьего порядка, например:
∂ |
|
∂2 u |
|
∂3u |
|
|
|
∂ |
|
∂ 2 u |
|
∂3u |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
= f |
′′′ |
(x, y); |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= f |
′′′ |
(x, y), |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
∂ x |
|
|
∂ x |
|
xxx |
|
|
|
∂ x |
|
|
∂ x |
∂y |
|
xxy |
|
||||
∂ x |
|
|
|
|
|
|
|
∂ y |
|
|
|
|
|
|
|
и высших порядков: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
∂n−1 u |
|
∂n u |
|
||||
|
|
|
|
n−1 |
|
= |
|
|
. |
(2.5) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∂ x |
|
|
∂ x |
n |
|
||
|
∂ x |
|
|
|
|
|
|
Так называемые “ смешанные” производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой , если они
|
∂2 u |
= |
∂2 u |
||
непрерывны, например: |
|
|
|
. В этом случае говорят, что данная |
|
∂ x |
∂y |
|
|||
|
|
∂ y ∂x |
функция не зависит от порядка дифференцирования.
Дифференциалом второго порядка от функции u = f (x, y) называется
дифференциал от ее полного дифференциала, т.е. d 2 u = d(d u). Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков:
|
∂ |
|
∂ |
n |
|
|
|
d n u = d(d n−1 u) или d n u = |
dx + |
dy |
u , |
(2.6) |
|||
|
|
||||||
|
∂x |
∂y |
|
|
|
||
|
|
|
|
57
|
∂ |
− |
|
|
здесь |
|
оператор частной производной по переменной x при дей- |
||
∂ x |
||||
|
|
|
|
∂ u |
|
∂ |
|
∂ |
|
ствии его на функцию u получается новая функция |
; |
d = |
|
dx + |
|
dy − |
∂ x |
|
|||||
|
∂ x |
|
|
∂ y |
оператор первого дифференциала при действии его на функцию u = f(x, y)
получится |
дифференциал |
функции |
du = |
∂ u |
dx + |
||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ x |
|
|
∂ |
∂ |
n |
|
|
|
|
|
|
d n = |
|
dx + |
|
dy |
− оператор n − го дифференциала. |
||||
|
|
||||||||
|
∂x |
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При n = 2 из (2.6) получим: |
|
|
|
|||||
d 2 u = |
∂2 u |
dx 2 + 2 |
∂2 u |
dx dy + |
∂2 u |
dy2 |
, |
|
|
|
|
||||||
|
∂ x 2 |
|
∂x ∂y |
∂ y2 |
|
|||
где dx |
2 = (dx)2 , |
dy2 = (dy)2 . |
|
|
|
Примеры решения задач
ПРИМЕР 2.23 Найти частные производные функции
u = arcsin(xy + y2 z2 ) .
+∂ u dy ;
∂ y
(2.7)
Решение. u′ |
|
|
|
|
y = const |
|
= |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
z = const |
|
|
|
|
|
1 − (xy + y2 z2 )2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x = const |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
u′y |
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
x + 2yz |
2 |
|
|
|
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
z = const |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − (xy + y2 z2 )2 |
|||||||||||||
|
|
|
x = const |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
u′ = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
2y2 z |
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z |
|
|
y = const |
|
|
|
|
|
|
|
1 − (xy + y2 z2 )2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 2.24 Найти частные производные второго порядка функции
u = xy .
58
|
|
|
Решение. |
Сначала |
|
находим |
частные |
производные |
первого |
порядка |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ u |
= y x y−1 , |
|
∂ u |
= x y ln x . |
Затем вычисляем частные производные от частных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
производных первого порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂2 u |
= y(y −1)x y−2 , |
∂2 u = x y |
(lnx)2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 u |
|
== x y−1 + yx y−1 ln x = x y−1 (1 + yln x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y ∂ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂2 u |
= yx y−1 ln x + x y |
1 |
= x y−1 (1 + yln x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂10 u |
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
ПРИМЕР 2.25 Найти |
|
|
|
|
|
|
|
, если u = e |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x 2 ∂y8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Решение. |
Функция u = exy является элементарной, поэтому частная про- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
изводная 10 − го порядка не зависит от порядка дифференцирования. |
Найдем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂8 u =x8 exy |
|
, тогда согласно (2.5) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂y8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∂ |
10 |
u |
|
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
|
∂ |
8 |
u |
|
|
|
|
|
″ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
″ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
xy |
|
|
8 |
|
|
xy |
|
8 |
|
xy |
|
||||||||||||||||||
|
|
∂x |
2 |
∂ y |
8 |
|
|
= |
∂x |
2 |
|
∂ y |
8 |
|
= (x |
|
) xx e |
|
+ 2(x |
|
) x |
(e |
|
) x + x |
|
(e |
|
) |
xx |
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= exy (56x2 |
+ 16x7 y + x8 y2 ). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= 56x6 exy + 16x7 y exy |
+ x8 y2 exy |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ПРИМЕР |
2.26 |
Найти |
второй |
дифференциал |
функции |
|
u = xy |
в |
точке |
M 0 (1,0).
Решение. Полагая x = 1, y = 0 в выражениях для частных производных второго порядка данной функции, найденных в примере 2.24, получим
∂2 u (M 0 ) = 0, |
|
∂2 u |
(M 0 ) = |
∂2 u |
= 1, |
∂2 u (M 0 ) = 0. |
|
|
|
||||
∂ x2 |
|
∂ x ∂y |
∂ y ∂x |
∂ y2 |
||
Подставляя эти значения в формулу (2.7), получим d 2 u(M0 ) = 2dxdy . |
||||||
ПРИМЕР 2.27 |
Найти второй дифференциал функции u = f (x + y, xy) в |
точке M(x, y) , если x и y − независимые переменные.
Решение. Запишем данную функцию в виде u = f(t,ϑ), где t = x + y ,
ϑ = x y . Используя эти обозначения, находим:
59
∂ u |
|
= f ′(t,ϑ) t′ + f ′(t,ϑ) ϑ′ = f ′(t,ϑ) + f ′ (t,ϑ) y ; |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||
∂ x |
|
t |
x |
x |
|
x |
t |
ϑ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂ u |
= f ′(t, ϑ) t ′ |
+ f ′ |
(t, ϑ) − ϑ′ = f |
′(t, ϑ) + f |
′ |
(t, ϑ) x; |
|||||||
|
|||||||||||||
∂ y |
|
t |
y |
ϑ |
|
|
y |
t |
ϑ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∂ 2 u |
= f ′ ′+ t ′ ′ y + f ′ ′ y + f |
′ ′ y 2 |
= f ′ ′+ 2 f |
′ ′ y + y 2 |
|||||||||
∂ x 2 |
|
tt |
tϑ |
|
t ϑ |
ϑ ϑ |
t t |
|
t ϑ |
|
|||
∂ 2 u |
= f ′ ′+ t ′ ′ x + f ′ ′ y + f ′ ′ x y + f ′ = f ′ ′+ t f |
|
|||||||||||
|
t ϑ |
||||||||||||
∂ x ∂ y |
tt |
tϑ |
|
|
t ϑ |
ϑ ϑ |
ϑ |
|
t t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∂ 2 u |
= f ′ ′+ t ′ ′ x + f ′ ′ x + f |
′ ′ x2 |
= f ′ ′+ 2x f ′ ′ + x2 |
||||||||||
∂ y2 |
|
tt |
tϑ |
|
t ϑ |
ϑ ϑ |
t t |
|
t ϑ |
|
Подставляя эти выражения в формулу (2.7), получаем
fϑ′ϑ′ ;
+ ϑ fϑ′ϑ′ + fϑ′ ;
fϑ′ϑ′ .
∂2 u = (f ′ ′ + 2y f ′ ′ |
+ y2 f ′ ′ )dx2 |
+ 2(f ′ ′+ t f ′ ′ + ϑ f ′ ′ |
+ f ′ ) dx dy + |
|||||||||
tt u |
ϑ ϑ |
|
ϑ ϑ |
|
t t |
|
t ϑ |
ϑ ϑ |
ϑ |
|||
+ (f ′ ′+ 2x t ′ ′ + x2 |
f ′ ′ |
+ x2 f ′ ′ ) dy2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
tt |
tϑ |
t ϑ |
ϑ ϑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.7 ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ |
||||||||||||
Пусть функция u = f (M) определена в некоторой окрестности точки M0 ; |
||||||||||||
l некоторый луч |
M0 M , |
l − длина отрезка |
|
M0 M |
|
, l0 |
-единичный вектор, |
|||||
|
|
|||||||||||
имеющий направление луча l. |
Предел |
lim |
f (M) − f (M 0 ) |
, если он существует, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
l→0 |
|
l |
|
|
называется производной функции |
u = f(M) по направлению l0 в точке M 0 и |
|||||
обозначается |
∂ u |
(M |
0 ) . В декартовой прямоугольной системе координат 0xyz : |
|||
|
||||||
|
∂ l |
|
|
|
|
|
∂u (M 0 ) = |
∂u (M 0 ) cos α + ∂u (M 0 ) cos β + |
∂u (M 0 ) cos γ , |
(2.8) |
|||
∂l |
∂x |
∂y |
∂z |
|
где l0 ={cos α, cos β, cos γ}.
Градиентом функции u = f (M) в точке M0 называется вектор, характери-
зующий направление наибольшего роста функции в этой точке и обозначается
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
grad u(M 0 ) . В декартовой прямоугольной системе координат 0xyz : |
|
|||||||
→ |
∂u |
r |
|
∂u |
r |
∂u |
r |
|
grad u(M 0 ) = |
(M 0 ) i |
+ |
(M 0 ) j + |
(M 0 )k |
(2.9) |
|||
|
∂x |
|
|
∂y |
|
∂z |
|
|
Производная функции u = f (M) в точке M 0 в направлении вектора l0 и
градиент связаны соотношением:
60