- •Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •1. Цели и задачи дисциплины
- •2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
- •3.Трудоемкость дисциплины по видам занятий
- •4. Содержание дисциплины
- •4.1. Разделы дисциплины и виды занятий (в часах)
- •4.2. Содержание разделов
- •I семестр
- •Раздел 1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Раздел 2. Введение в математический анализ: функция, теория пределов,
- •Раздел3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Раздел 4. Функции нескольких переменных
- •II семестр Раздел 5 Элементы теории функции комплексного переменного и высшей алгебры
- •Раздел6. Неопределенный интеграл
- •Раздел7. Определенный интеграл
- •Раздел8. Кратные, криволинейные, поверхностные интегралы
- •III семестр
- •Раздел 9. Элементы теории поля
- •Раздел 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •5. Перечень практических занятий
- •I семестр
- •II семестр
- •III семестр
- •IV семестр
- •5 Самостоятельная работа студентов (срс)
- •5.3 Примерный перечень тем курсовых проектов (работ).
- •5.4 Примерный перечень тем рефератов.
- •5.5 Самостоятельное изучение тем разделов программы (материалы для самостоятельной работы студентов:умк дисциплины «Математика»).
- •6.Методические указания к самостоятельной работе студентов.
- •6.1.Векторный анализ
- •6.2.Числовые ряды Основные понятия
- •Простейшие свойства сходящихся рядов
- •Остаток ряда
- •Необходимый признак сходимости ряда
- •Положительные ряды
- •I. Признаки сравнения рядов
- •II. Признак Даламбера (в предельной форме)
- •III. Признак Коши (в предельной форме)
- •IV. Интегральный признак Коши
- •Знакопеременные ряды
- •Достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •Свойства абсолютно сходящихся рядов
- •Функциональные ряды
- •Понятие функционального ряда и его области сходимости
- •Мажорируемость функционального ряда
- •Равномерная сходимость функционального ряда
- •Степенные ряды
- •Область сходимости степенного ряда
- •Нахождение интервала и радиуса сходимости ряда
- •Условия разложения функции в ряд Тейлора
- •Разложение в ряд маклорена некоторых элементарных функций
- •I Разложение функции
- •II Разложение функции
- •III Разложение функции
- •IV Разложение функции
- •V Разложение функции
- •6.3.Комплексные числа
- •Используя правило возведения в степень, получим
- •6.4.Дифференциальные уравнения Основные понятия
- •Уравнения с разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •Уравнения Лагранжа и Клеро
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Системы дифференциальных уравнений
- •6.5.Теория вероятности
- •Оценим значение
- •6.6. Математическая статистика Вариационные ряды
- •Основные формулы
- •Выборочный метод. Общие вопросы.
- •Эмпирическая функция распределения.
- •Оценка генеральной доли признака
- •Элементы проверки статических гипотез
- •Элементы корреляционного анализа Линейная корреляция
- •Основные формулы
- •Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Статистическая гипотеза. Понятие о критериях согласия. Критерий 2 Пирсона.
- •7.Контрольные работы
- •7.1 Контрольная работа №5 Векторный анализ
- •Числовые ряды
- •Комплексные переменные
- •Дифференциальные уравнения
- •7.2Котрольная работа №6
- •7.3 Контрольная работа №7
- •7.4 Контрольная работа №8
- •Математическая статистика
- •8. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
- •9.Карта обеспеченности студентов учебниками, учебными пособиями, учебно-методическими материалами по дисциплине "Математика".
- •10. Перечень контрольных вопросов
- •Семестр II
- •Семестр III
- •Семестр IV
III семестр
Раздел 9. Элементы теории поля
Лекция 1. |
Скалярное и векторное поля. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент скалярного поля. Поток векторного поля. Поток векторного поля через ориентированную поверхность, его свойства и физический смысл*. |
|
Поверхностные интегралы по координатам. Поток векторного поля через ориентированную поверхность, его свойства и физический смысл. |
|
Дивергенция векторного поля, ее свойства и вычисление в декартовых координатах. Физический смысл дивергенции. Формула Гаусса- Остроградского*. |
|
Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Ротор поля, его физический смысл. Формула Стокса*. Потенциальное поле, его свойства. Условие потенциальности. Способы определения потенциала. Оператор Гамильтона и Лапласа. Дифференциальные операции второго порядка*. |
Раздел 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Лекция 2. |
Понятия о дифференциальных уравнениях, их классификация. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Частное и общее решение. Основные классы уравнений, интегрируемых в квадратурах (уравнения с разделенными и разделяющимися переменными). |
|
Уравнения, интегрируемые в квадратурах (однородное, линейное, Бернулли, в полных дифференциалах). |
Лекция 3. |
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Основные понятия. Интегрирование некоторых уравнений, допускающих понижение порядка. Линейные уравнения второго порядка, однородные и неоднородные. Теоремы о структуре общего решения. |
|
Решение линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида. |
|
Метод вариации произвольных постоянных как метод нахождения общего решения неоднородного уравнения. Приложения к описанию линейных моделей*. |
|
Нормальная система дифференциальных уравнений. Матричная запись системы. Геометрический смысл решения. Фазовая плоскость (пространство), фазовая кривая. Задача Коши. Решение систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами*. |
|
Раздел 11. Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. |
Лекция 4. |
Числовые ряды. Сумма и сходимость ряда. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости ряда с положительными членами. Достаточные признаки сходимости. Признаки сравнения. |
|
Признаки Даламбера, Коши, интегральный признак Коши. |
|
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимость*. |
|
Функциональные ряды, область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов*. |
|
Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций. Применение рядов (приближенное вычисление значений функции, интегрирование функции и дифференциальных уравнений*). |
|
Ряды Фурье. Разложение периодической функции с периодом ив ряд Фурье. Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Периодическое продолжение функций четным и нечетным образом. Применение тригонометрических рядов Фурье в приближенных вычислениях*.
|
IV семестр
| |
Раздел 12. Теория вероятностей | |
Лекция 1. |
Предмет теории вероятностей. Случайные события и их виды. Различные подходы к определению вероятности: классический, статистический, аксиоматический. |
|
Элементы комбинаторики. Алгебра событий. Правило сложения вероятностей. Правило умножения вероятностей. |
|
Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные испытания. Схема Бернулли. Формула Бернулли. |
|
Понятие случайной величины. Виды случайных величин. Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Функция распределения, ее свойства. Некоторые законы распределения. Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины. |
Лекция 2. |
Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия. Типовые распределения. Нормальный закон распределения. Понятие о различных формах закона больших чисел*. Центральная предельная теорема Ляпунова*. |
Раздел 13. Основные понятия и методы математической статистики. Статистические методы обработки экспериментальных данных. | |
Лекция 3. |
Основные понятия математической статистики. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма, эмпирическая функция распределения, выборочные средняя и дисперсия. |
|
Статистические оценки числовых характеристик. Точечные оценки: Общие свойства: несмещенность, состоятельность, эффективность, достаточность. Методы получения точечных оценок неизвестных параметров распределения: метод максимального правдоподобия. |
Лекция 4. |
Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Построение доверительного интервала для математического ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной величины. Статистическая проверка статистических гипотез. Общая постановка задачи. Виды гипотез. Критическая область, уровень значимости и мощность критерия. |
|
Ошибки первого и второго рода. Непараметрические гипотезы. Проверка гипотезы о законе распределения по критерию Пирсона. Параметрические гипотезы. Проверка гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности. Понятие о критериях согласия. Проверка непараметрической гипотезы по критерию Пирсона. Статистическая и корреляционная зависимости. Уравнение регрессии. Две основные задачи теории корреляции. |
Примечание. Вопросы, помеченные в содержании лекций значком *, выносятся на самостоятельное
изучение.