Расчёт переходных процессов в Mathcad
Цель работы: закрепить навыки и умения методов анализа переходных процессов, основанных на решении обыкновенных дифференциальных уравнений.
Введение
В электрических цепях происходят включения и отключения активных и пассивных ветвей, короткие замыкания отдельных участков, оперативные переключения и т.д. В результате таких изменений, называемых коммутацией, в цепи возникают переходные процессы, которые заканчиваются спустя некоторое время. Анализ переходных процессов состоит в решении линейных дифференциальных уравнений, полученных для после коммутационной схемы. Например, при включении цепи R, L на синусоидальное напряжение справедливо следующее дифференциальное уравнение
,
(1)
где i - ток , L - индуктивность, R - сопротивление,Um – амплитуда напряжения источника питания, ω – угловая частота, ψ – фаза включения. Это дифференциальное уравнение имеет точное аналитическое решение
,
(2)
где
- полное сопротивление,
- сдвиг фаз между напряжением и током.
На рис. 1, 2 приведены результаты решения этих уравнений при различных фазах включения. Моделирование показывает, что при определённых условиях примерно через полпериода после включения цепи ток достигает почти удвоенной амплитуды принуждённого тока.
Аналогичные процессы происходят и при включении цепи RC на синусоидальное напряжение. В этом случае справедливы следующие уравнения:
(3)
Здесь
,
а
.
Здесь также при определённых условиях примерно через полпериода после включения цепи напряжение на ёмкости достигнет почти удвоенной амплитуды принуждённого режима. При этом в первый момент после замыкания при нулевых начальных условиях внешнее напряжение окажется приложенным к резистору R, что объясняет возникновение больших толчков тока при включении ненагруженной кабельной сети.
Более сложный характер имеют переходные процессы при включении цепи RLC на синусоидальное напряжение. В зависимости от того, какой контур – апериодический или колебательный – в цепи могут быть перенапряжения, броски тока и сверхтоки, а также затухающие биения.
Рис. 1
Рис. 2
Порядок выполнения работы
1. Для цепи RL и RC решить дифференциальные уравнения (1, 3) и построить графики переходных процессов по уравнениям (2, 3) в одних координатных осях. Считать, что ω = 314 c-1; R = 10 Ом; L = 0,2 Гн; C = 50 мкФ, Um = 381 B. Фазу включения выбрать из условия:
-
для цепи RL
-
для цепи RC
2. Решить дифференциальное уравнение
,
предварительно рассчитав свободную составляющую напряжения на ёмкости. Построить графики переходных процессов.
Вопросы для самопроверки
Почему в электрических цепях возникают переходные процессы?
Приведите примеры математических моделей пассивных линейных элементов – двухполюсников?
Какие опасные явления могут возникать во время переходныхпроцессов в электрических цепях постоянного и переменного така?
Какие численные методы решения дифференциальных уравнений целесообразно использовать при анализе переходных процессов в цепях переменного и постоянного тока?
5. Что такое жесткие дифференциальные уравнения?
Литература
Макаров Е.Г. Инженерные расчёты в Mathcad. Учебный курс. – Спб.: Питер, 2003. – 448с.: ил.
Гурский Д.А. Вычисления в MathCAD / Д.А. Гурский. – Мн.: Новое знание, 2003. – 814с.: ил.
Кирьянов Д.В. Самоучитель Mathcad 12. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004. – 576с.: ил.
Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 464с.: ил.
Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9 / Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. – M.: НТ Пресс, 2006. – 496с.: ил. – (Самоучитель).