Лекция 8 Метод проекций. Эпюр Монжа.

1. Метод ортогонального проецирования

2. Точка

3. Прямая линия

4. Вопросы и задания

Метод ортогонального проецирования

Если информацию о расстоянии точки относительно плоскости проекции дать не с помощью числовой отметки, а с помощью второй проекции точки, построенной на второй плоскости проекций, то чертеж называют двухкартинным или комплексным. Основные принципы построения таких чертежей изложены Гаспаром Монжем - крупным французским геометром конца 18, начала 19 веков, 1789-1818 гг. одним из основателей знаменитой политехнической школы в Париже и участником работ по введению метрической системы мер и весов.

Изложенный Монжем метод ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций был и остается основным методом составления технических чертежей.

В соответствии с методом предложенным Г. Монжем рассмотрим в пространстве две взаимно перпендикулярные плоскости проекций.

Рис. 89

Одну из плоскостей проекций П₁ располагают горизонтально, а вторую П₂ - вертикально. П₁ - горизонтальная плоскость проекций, П₂- фронтальная. Плоскости бесконечны и непрозрачны.

Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти. Рассматривая ортогональные проекции, предполагают, что наблюдатель находится в первой четверти на бесконечно большом расстоянии от плоскостей проекций (рис. 89).

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью координат и обозначается x₂₁.

Так как эти плоскости непрозрачны, то видимыми для наблюдателя будут только те геометрические объекты, которые располагаются в пределах той же первой четверти.

Чтобы получить плоский чертеж, состоящий из указанных проекций, плоскость П₁ совмещают вращением вокруг оси x₁₂ с плоскостью П₂. Проекционный чертеж, на котором плоскости проекций со всем тем, что на них изображено, совмещенные определенным образом одна с другой, называется эпюром Монжа или комплексным чертежом.

Геометрические объекты делятся на: линейные (точка, прямая, плоскость), нелинейные (кривая линия, поверхность) и составные (многогранники, одномерные и двумерные обводы).

Точка

Геометрический объект любой сложности можно рассматривать как геометрическое место точек, по взаимному расположению, которых можно составить представление об объекте, а по расположению их относительно системы координат можно судить о положении его в пространстве.

Точка – одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии точка обычно принимается за одно из исходных понятий.

Точка в ортогональной системе двух плоскостей проекций

При построении проекции необходимо помнить, что ортогональной проекцией точки на плоскость является основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость. Для точки А её ортогональные проекции A₁ и А₂, которые называют соответственно горизонтальной и фронтальной проекциями.

Проекции точки всегда расположены на прямой, перпендикулярной оси х₁₂ и пересекающей эту ось в точке А_х. Справедливо и обратное, т. е. если на плоскостях проекций даны точки А₁ и А₂ расположенные на прямой, пересекающей ось х₁₂ в точке А_х под прямым углом, то они являются проекцией некоторой точки А.

Рис. 90

На эпюре Монжа проекции A₁ и А₂ расположены на одном перпендикуляре к оси х₁₂ При этом расстояние А₁А_Х - от горизонтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П₂, а расстояние А₂А_х - от фронтальной проекции точки до оси равно расстоянию от самой точки А до плоскости П₁ (рис. 90).

Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре, называются линиями проекционной связи.

Точка в ортогональной системе трех плоскостей проекций

В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью – профильную плоскость проекций П₃, расположенную перпендикулярно к П₁ и П₂. Плоскости проекций П₁, П₂ и П₃ являются основными плоскостями проекций (рис. 91).

Рис. 91

Третья плоскость, перпендикулярная и П₁, и П₂, обозначается буквой П₃ и называется профильной.

Проекции точек на эту плоскость обозначаются прописными буквами латинского алфавита или цифрами с индексом 3.

Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси Ох, Оу и Oz, которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0.

Рис. 92

Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П₁ и П₃ вращают, до совмещения с плоскостью П₂. При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают. Если существенно только само изображение предмета, а не его положение относительно плоскостей проекций, то оси на эпюре не показывают (рис. 92).

В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат х, у и z (абсцисса, ордината и аппликата).

Сформулируем основные свойства ортогональных проекций на примере точки:

1. Две проекции точки определяют её положение в пространстве.

2. Две проекции точки лежат на одной линии связи.

3. По двум проекциям точки можно построить третью.

Прямая линия

Прямая линия - одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, вдоль которой расстояние между двумя точками является кратчайшим.

Прямая линия - алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задаётся на плоскости уравнением 1 - ой степени (линейное уравнение).

Общее уравнение прямой (полное): Ах+Ву+С=0,

где А, В и С - любые постоянные, причем А и В одновременно не равны нулю. Если один из коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным.

Способы графического задания прямой линии

1.Двумя точками (А и В).

2. Двумя плоскостями (а; b).

3. Двумя проекциями.

4. Точкой и углами наклона к плоскостям проекций.

Положение прямой линии относительно плоскостей проекций

Прямая по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Прямая не параллельная ни одной плоскости проекций называется прямой общего положения.

2. Прямые параллельные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются прямыми уровня. В зависимости от того, какой плоскости проекций параллельна заданная прямая, различают:

2.1. Прямые параллельные фронтальной плоскости проекций называются фронтальными или фронталями - n.

2.2. Прямые параллельные горизонтальной плоскости проекций называются горизонтальными или горизонталями - m.

2.3. Прямые параллельные профильной плоскости проекций называются профильными - р.

3. Прямые перпендикулярные плоскостям проекций, занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. Прямая перпендикулярная одной плоскости проекций, параллельна двум другим. В зависимости оттого, какой плоскости проекций перпендикулярна исследуемая прямая, различают:

3.1. Горизонтально проецирующая прямая – m.

3.2. Фронтально проецирующая прямая – n.

3.3. Профильно проецирующая прямая – р (рис. 93).

Рис. 93