Приравнивая правые части этих выражений, получим

.

Это каноническое уравнение прямой на плоскости.

Частные случаи этого уравнения уже обсуждались, когда рассматривали параметрические уравнения прямой. Когда q₁ = 0, q₂ ≠ 0, q(0, q₂), тогда уравнение x = x₀ можно рассматривать и как каноническое уравнение. В случае q₁ ≠ 0, q₂ = 0, q(q₁, 0), получаем y = y₀.

5. уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть даны точки А(x_A, y_A) и В(x_B, y_B). Запишем каноническое уравнение. В качестве направляющего вектора прямой (АВ) можно взять вектор с координатами (x_B – x_A, y_B – y_A). В качестве начальной точки можно выбрать любую из точек А или В. Пусть это будет точка А(x_A, y_A):

.

Полученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.

Очевидно, что если x_A=x_B=C(C=const), тоА(С,y_A),В(С,y_B) и уравнение прямой будет иметь вид:x=C (рис. 25). Еслиy_A=y_B=C, то уравнение будет:y=C (рис. 26).

6. нормальное уравнение прямой

Рассмотрим общее уравнение прямой на плоскости:

Ax + By + C = 0,

очевидно,что . Разделим уравнение на корень,

получим уравнение

.

Знак перед корнем выбираем противоположный знаку С. Учитывая, что (А, В) – координаты нормального вектора n, то деление на приводит нормаль к вектору единичной длины, коллинеарному исходному векторуn. Действительно, пусть

,

тогда модуль

.

Пусть φ – угол между вектором единичной длины n₀ и положительным направлением оси Оx (рис. 27), тогда

,

.

Учитывая, что величина всегда отрицательна, обозначим эту дробь (–p), где p > 0, уравнение при этом примет вид:

x cosφ + y sinφ – p = 0.

Геометрический смысл угла φ ясен – это угол между вектором n₀ и положительным направлением оси Оx, выясним смысл параметра p.

Найдем расстояние от прямой x cosφ + y sinφ – p = 0 до начала координат (рис. 28). Для этого запишем уравнение прямой, проходящей через начало координат, перпендикулярно данной. Очевидно, что в качестве направляющего вектора можно взять вектор n₀(cosφ, sinφ), вместо начальной точки точку О(0, 0). Воспользовавшись каноническим уравнением, получим

.

Решая систему

найдем точку пересечение этих прямых. Из первого уравнения имеем

,

подставляем во второе уравнение

=> =>

=> .

Решение системы:

Cледовательно, (p cosφ, p sinφ) – точка пересечения прямых. Найдем расстояние от точки пересечения до начала координат, получим

.

Таким образом, р – это расстояние от прямой x cosφ + y sinφ – p = 0 до начала координат. Уравнение

x cosφ + y sinφ – p = 0

называют нормальным уравнением прямой.

7. уравнение прямой с угловым коэффициентом

Рассмотрим общее уравнение прямой Ax + By + C = 0, предположим, что B ≠ 0, тогда

By = – Ax – C => .

Обозначим , для второй дроби было введено обозначение, когда рассматривалась прямая в отрезках,. Получим привычное со средней школы уравнение

y = kx + b,

называемое уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Смысл параметра bбыл выяснен ранее – это длина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. При этомb> 0, если отсекается отрезок в положительной части осиOy, иb< 0, если отрезок отсекается в отрицательной части осиOy. Как известно из школьного курса математики,k– это тангенс угла наклона, образованный прямой и положительной частью осиOx(угол считается от осиOxпротив часовой стрелки). Еслиk> 0, то угол острый, приk< 0 угол тупой (рис. 29, 30).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом можно получить и из канонического уравнения. Пусть прямая задана уравнением

.

Тогда, выражая y, получаем

q₂(x–x₀) =q₁(y–y₀) =>=>

=> .

Обозначим ,, получаем требуемое уравнение

y = kx + b.

8. примеры решения типовых задач

Рассмотрим несколько задач, иллюстрирующих связь и преимущества различных способов задания прямой на плоскости.

Пример1.

Дано: n(3, 2) – нормальный вектор, точкаM₀(–2, 6) – начальная точка (рис. 31). Запишем уравнение прямой, проходящей через точкуМ₀, перпендикулярно векторуn.

Пусть точка М(x,y) лежит на прямой, тогда вектор(x+ 2,y– 6) перпендикуляренnи, значит, их скалярное произведение равно нулю:

(n,) = 0,

3(x+ 2) + 2(y– 6) = 0,

3x+ 6 + 2y– 12 = 0,

3x+ 2y– 6 = 0.

Это общее уравнение прямой.

Перейдем к уравнению в отрезках. Для этого перенесем свободный член в правую часть:

3x+ 2y= 6.

Разделим уравнение на 6:

.

Из уравнения в отрезках видно, что отрезки, отсекаемые на осях OxиOy, соответственно равныa= 2,b= 3 (рис. 32).

Выразим из общего уравнения 3x+ 2y– 6 = 0 переменнуюy, получим

2y= –3x+ 6 => .

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом, где k= –3/2 < 0, угол α – тупой,b= 3.

Вкачестве направляющего вектора прямой можно взять векторq(–2, 3). Действительно, указанный векторq(–2, 3) перпендикулярен векторуn(3, 2), т.к. их скалярное произведение равно нулю:

(n,q) = 0 => 3 ∙ (–2) + 2 ∙ 3 = 0,

следовательно, qпараллелен прямой (рис. 33).

Запишем каноническое уравнение прямой:

с начальной точкой М₀(–2, 6) и направляющим векторомq(–2, 3).

Приравняем полученные дроби параметру t, получим

.

Выражаем переменные xиy:

и,

получаем уравнения:

или

Это параметрические уравнения прямой.

Заметим, что точки М₀(–2, 6) иМ₁(4, –3) лежат на прямой. Запишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

=> .

Преобразовав это уравнение, получим:

–9x– 18 = 6y– 36 => 3x+ 2y– 6 = 0.

Мы получили первоначальное общее уравнение.

Разделим общее уравнение на , придем к уравнению

.

Это нормальное уравнение прямой, где , и расстояние от начала координат до прямой равно.

Пример 2.

Даны вершины треугольника А(1, 1),В(10, 13),С(13, 6). Составить уравнения медианы, высоты и биссектрисы углаА.

Медиана – прямая, проходящая через точку Аи середину противоположной стороныВС. Найдем середину стороныВСи обозначим ееА′:

;.

Получаем А′(11,5; 9,5). Запишем уравнение прямой, проходящей через две точкиАиА′:

=> .

Преобразовывая это уравнение, получим:

8,5x– 8,5 = 10,5y– 10,5 => 8,5x– 10,5y+ 2 = 0 =>

=> 17x– 21y+ 4 = 0.

Это общее уравнение медианы АА′.

Высота – прямая, проходящая через точку А, перпендикулярно прямойВС. Запишем уравнение прямойВС:

=> .

Воспользовавшись свойством пропорции, преобразуем уравнение:

–7x+ 70 = 3y– 39 => 7x+ 3y– 109 = 0.

Это общее уравнение прямой ВС.

Записать уравнение прямой, перпендикулярной данной, можно разными способами. Например, можно записать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку А(1; 1) с направляющим векторомq(7; 3). (В данном случае вектор нормалиnпрямойВСможно рассматривать как направляющий вектор высоты).

Каноническое уравнение высоты будет иметь вид:

.

Перейдем к общему уравнению:

3x– 3 = 7y– 7 => 3x– 7y+ 4 = 0.

Можно было бы получить уравнение высоты, используя уравнение с угловым коэффициентом. Две прямые, заданные уравнениями y=k₁x+b₁иy=k₂x+b₂перпендикулярны, еслиk₁∙k2 = –1. Запишем уравнение прямойВСс угловым коэффициентом:

7x+ 3y– 109 = 0 => 3y= –7x+ 109 => .

k₁= –7/3, значит,k₂= 3/7. Тогда уравнение прямой, перпендикулярнойВС, будет иметь вид

.

Значение параметра bнайдем, подставив в уравнение координаты точкиА(1; 1):

=> .

И уравнение приобретет вид .

Найдем уравнение биссектрисы. Пусть D– точка пересечения биссектрисы со сторонойВС. Из свойства биссектрисы внутреннего угла треугольника следует, что |BD| : |DC| = |AB| : |AC|. Найдем длины сторон треугольника:

,

.

Следовательно, точка Dделит отрезокВСв отношениии, значит, координатыDбудут определяться формулами:

,

.

Остается записать уравнение прямой, проходящей через две точки А(1; 1) и :

=> .

Воспользовавшись свойством пропорции, получаем

231x– 231 = 297y– 297 => 231x– 297y+ 66 = 0.

Разделим уравнение на 33, получим

7x– 9y+ 2 = 0.

Это общее уравнение биссектрисы.

Эту задачу можно было решить, используя формулу для нахождения расстояния dот точкиМ(x₁;y₁) до прямойAx+By+C= 0:

.

Биссектрису угла можно рассматривать как прямую, каждая точка которой равноудалена от сторон угла. Найдем уравнение сторон АВиАС. Для стороныАВимеем:

=>=> 12x– 12 = 9y– 9.

Разделим уравнение на 3 и приведем подобные слагаемые:

4x– 3y– 1 = 0.

Это уравнение прямой АВ. Для стороныАСаналогично получаем:

=>=> 5x– 5 = 12y– 12 =>

=> 5x– 12y+ 7 = 0.

Это уравнение прямой АС. Расстояние от произвольной точкиМ(x;y) до прямойАВ:

.

Расстояние от Мдо прямой АС:

.

Учитывая, что d_AB=d_AC, получаем

=>=>

=> 52x– 39y– 13 = ± (25x– 60y+ 35).

Одна прямая имеет вид

52x– 39y– 13 = 25x– 60y+ 35 => 27x+ 21y– 48 = 0 =>

=> 9x+ 7y– 16 = 0.

Другая прямая:

52x– 39y– 13 = –25x+ 60y– 35 => 77x– 99y+ 22 = 0 =>

=> 7x– 9y+ 2 = 0.

Мы получили два уравнения биссектрис внешнего и внутреннего углов. Найдем их точки пересечения с прямой ВС, ее уравнение было получено выше:

7x + 3y – 109 = 0.

Решаем систему:

Получаем y= –39,5,x= 32,5. Точка с координатами (32,5; –39,5) не лежит на отрезкеВС, гдеВ(10; 13) иС(13; 6). Следовательно,

9x+ 7y– 16 = 0

уравнение биссектрисы внешнего угла.

Найдем точку пересечение второй биссектрисы со стороной BС:

Как видно, точка с координатами лежит внутри отрезкаВС. Следовательно, второе уравнение и есть уравнение биссектрисы внутреннего углаА.