4 курс / Лучевая диагностика / ЯМРТ или МРТ
.pdf
Пары Фурье
Для более полного понимания преобразования Фурье над ЯМР функциями, необходимо знать несколько общих пар Фурье. Парой Фурье являются две функции - частотная характеристика и соответствующая временная характеристика. Вот несколько пар Фурье, используемых в МРТ. Амплитуда пар Фурье опущена, так как она не существенна в МРТ.
Постоянное значение на всем отрезке времени. DC смещения по постоянному току или константу.
Дельта-функция в нуле.
Действительная часть: cos(2
t), мнимая: -sin(2
t) действительный: cos(2
t), мнимый: -sin(2
t)
Дельта-функция на 
.
Щеточная функция (Серии дельта-функций, разделенных T). Расческа функции (серии дельта-функций, разделенных Т.)
61
Расческа с разделением функций 1 / T.
Экспоненциальное затухание: e-at для t > 0. e-at при t > 0
Лоренцевой
RE: a/(a2 + 4?2?2) IM: -2??/(a2 + 4?2?2)
Мнимой части показано увеличенное в 10 раз по амплитуде. Стоит отметить, что ширина (?) действительной пик лоренцевой связано с по
? = a/? .
Прямоугольный импульс, начинающийся в 0 и длящийся T секунд.
62
Рекомендовано к покупке и изучению сайтом МедУнивер - https://meduniver.com/
Sinc RE: (sin(2
t))/(2
t) IM: -(sin2(
t))/(
t)
Гауссиан: exp(-at2).
Гауссиан: exp(-
2
2/a)
Теорема о свертке
Для ученого, занимающегося магнитным резонансом, наболее важной теоремой касающейся преобразовании Фурье является теорема свертки. Теорема свертки гласит о том, что преобразование Фурье над двумя свернутыми функциями пропорционально результатам преобразований Фурье над каждой функцией в отдельности, и наоборот.
Если f(
) = FT( f(t) ) и h(
) = FT( h(t) ),
тогда f(
) g(
) = FT( g(t) 
f(t) ) и f(
) 
g(
) = FT( g(t) f(t) )
Станет понятнее, если посмотреть на представленные рисунки. В окошке для анимации мы попытаемся провести преобразование Фурье над синусоидой, которая то включается, то выключается.
63
По теореме о свертке получается функция sinc с частотой исходной синусоиды.
Другим применением теоремы о свертке является подавление шума. При помощи теоремы о свертке можно увидеть, что свертывание ЯМР-спектра с функцией Лоренца есть то же, что умножение временной компоненты сигнала на экпоненциальнозатухающую функцию.
64
Рекомендовано к покупке и изучению сайтом МедУнивер - https://meduniver.com/
Числовое преобразование Фурье
В магнитно-резонансных томографах компьютер регистрирует не непрерывный спад свободной индукции, а спад разбитый на равные интервалы (дискретно). Каждый отрезок имеет дискретные амплитуду и временные значения. Компьютер производит преобразование Фурье над сериями дельта-функций, различающимися по интенсивности.
Оригинал непрерывного FID.
Дискретную FID смотреть FT алгоритм в компьютере.
Ошибка дискретизации
Проблема (или артефакт) наложения в магнитно-резонансной томографии есть изображение одной половины отображаемого объекта на противоположной стороне. С точки зрения одномерных частотных компонент спектра, наложение является следствием наличия низкочастотных вершин на противоположной (неверной) стороне спектра.
Теорема о свертке может объяснить эту проблему, которая возникает при регистрации поперечной намагниченности на слишком медленной скорости. Вначале посмотрим, как выглядит подвергнутый преобразованию Фурье должным образом регистрируемый спад свободной индукции.
65
При фазочувствительной детекции ширина изображения равняется инвертированной частоте дискретизации (ширина зеленой рамки на иллюстрации).
Если частота дискретизации меньше, чем ширина спектра, происходит наложение.
Двумерное преобразование Фурье
Методом двумерного преобразования Фурье (two-dimensional Fourier transform - 2- DFT) является преобразование Фурье, произведенное над двумерным массивом данных. Рассмотрим двумерный массив данных, показанный на рисунке.
66
Рекомендовано к покупке и изучению сайтом МедУнивер - https://meduniver.com/
Эти данные имеют два измерения: t' и t". Преобразование Фурье над данными производится сначала в одном, а затем в другом направлениях. Первая часть преобразований Фурье проводится в t' измерении для получения f' на t" множества данных.
Вторая часть преобразований Фурье производится в t" измерении для получения f' на f" множества данных.
Двумерное преобразование Фурье необходимо для проведения МРТ на современном уровне. В МРТ, данные собираются в эквиваленте t' и t" измерениям, называемом К-пространстве. Эти исходные данные преобразуются для получения изображения, которое эквивалентно описанным ранее f' на f" данным.
67
Глава 6 ПРИНЦИПЫ ОТОБРАЖЕНИЯ
Введение
Из главы 1 мы узнали, что магнитно-резонансная томография является технологией формирования изображения, которая в основном используется для отображения ЯМРсигнала атомов водорода исследуемого объекта. В медицинской МРТ радиологов больше всего интересует ЯМР-сигналы воды и липидов, которые являются основными водород содержащими компонентами человеческого организма.
Основой всей магнитно-резонансной томографии является резонансное соотношение, которое показывает, что резонансная частота спина 
пропорциональна магнитному полю Bo, воздействующему на него.
= 
Bo
Из главы по физике спина мы помним, что 
- является гиромагнитным отношением.
Например, представим, что в человеческой голове существуют лишь три небольших, четко ограниченных области с водородными спиновыми плотностями.
На самом же деле, вся голова дает сигнал. Когда эти области спинов испытывают одну и ту же силу магнитного поля, ЯМР-спектр имеет лишь один пик.
Градиент магнитного поля
Если бы каждая из трех спиновых областей испытывала разное магнитное поле, можно было бы отобразить их положения. Градиент магнитного поля - это именно то, что позволяет сделать это. Градиентом магнитного поля является изменение магнитного поля в зависимости от положения. Одномерный градиент магнитного поля - это изменение
68
Рекомендовано к покупке и изучению сайтом МедУнивер - https://meduniver.com/
относительно одного направления, тогда как двумерный градиент - изменение относительно двух. Наиболее используемым видом градиентом в магнитно-резонансной томографии является одномерный линейный градиент магнитного поля. Одномерный градиент магнитного поля вдоль оси x магнитного поля Bo означает, что магнитное поле увеличивается по направлению x. Длина вектора показывает величину магнитного поля.
Градиенты магнитного поля по направлениям x, y и z обозначаются символами Gx, Gy и Gz, соответственно.
Частотное кодирование
Точка в центре магнита, где (x,y,z) =0,0,0 называется изоцентром магнита. В изоцентре магнитное поле имеет напряженность Bo и резонансная частота равна 
o.
Если линейный градиент магнитного поля применить к гипотетической голове с тремя спин содержащими областями, эти области будут испытывать разные магнитные поля.
69
Следствием этого будет являться ЯМР-спектр с более, чем одним сигналом. Амплитуда сигнала пропорциональна числу спинов в плоскости, перпендикулярной градиенту. Этот процесс называется частотным кодированием и делает резонансную частоту пропорциональной положению спина.
= 
( Bo + x Gx ) = 
o + 
x Gx x = ( 
- 
o ) / ( 
Gx )
Этот принцип является основой всей магнитно-резонансной томографии. Для того чтобы понять как из ЯМР-спектра создается изображение, рассмотрим метод обратного проецирования.
Метод обратного проецирования
Метод обратного проецирования является формой магнитно-резонансной томографией. Она была одной из первых продемонстрированных форм магнитной томографии. Метод обратного проецирования есть дополненная описанная только что процедура частотного кодирования. При этом методе вначале объект помещается в магнитное поле.
70
Рекомендовано к покупке и изучению сайтом МедУнивер - https://meduniver.com/