1. Поворотное (кориолисово) ускорение

Допустим, что диск (рис. 1) вращается вокруг оси симметрии XX с угловой скоростью и некоторая материальная точкаm, не связанная жестко с диском, движется по поверхности диска от центра вдоль радиуса с постоянной относительной скоростью V,Одновременно точка т вращается вместе с диском с угловой скоростью V. Таким образом, точка т одновременно участвует в переносном вращательном (вокруг оси XX) и относительном поступательном движениях. Участвуя в переносном движении точка т приобретает тангенциальную (касательную) скорость численно равную произведению угловой скорости вращения диска и расстоянию R от центра диска до материальной точки, т.е. R.

Участвуя в переносном и относительном движениях точка т за малый промежуток времени переместится из положенияА в положение В. За время t точка т переместилась вдоль радиуса благодаря чему ее тангенциальная скорость увеличилась и достигла величины R (так как R> R). Изменение тангенциальной скорости характеризуется ускорением W, которое можно определить так:

.

но

R2=R1+V_,

Тогда

W=(R+V rt - R/t = V rt / t = V r.

Ускорение W перпендикулярно вектору,.

рис. 1

В положении В вектор относительной скорости по абсолютной величине не изменился, но имеет другое направление, поскольку при вращении диска за время он повернулся на угол .Для удобства рассуждений векторы относительной скорости в положениях А и В обозначим соответственно V и V Найдем разность этих векторов. Для этого проведем векторы V и V из одной точки В (рис. 1). Их разность представляется вектором (из треугольникаВСD видно, что =СD).

Ускорение, соответствующее изменению относительной скорости , будет равно

При достаточно малом угол будет достаточно малом. В этом случае вектор можно считать равным дугеCD. Длина дуги определяется как произведение радиуса на угол. Тогда

=

Значит

При достаточно малых значениях можно считать, что вектор перпендикулярен вектору . Следовательно, и ускорение , перпендикулярно вектору .

Результирующая этих двух ускорений называется поворотным (кориолисовым) ускорением и равна

Таким образом, при сложном движении точки т, кроме центростремительного ускорения, появляется еще дополнительно поворотное (кориолисово) ускорение. Направление поворотного ускорения определяется поворотом вектора относительной скорости на 90° в направлении переносного вращения.

Если вектор относительной скорости не лежит в плоскости, перпендикулярной оси XX переносного вращения, то поворотное ускорение будет определяться лишь проекцией вектора на эту плоскость. Составляющая относительной скорости, параллельная вектору переносного вращения, не вызовет поворотного ускорения. Это объясняется тем, что при таких условиях переносное вращение не изменит направления относительной скорости и при перемещении точки т (вследствие относительного движения) тангенциальная скорость этой точки от переносного вращения не изменится.

Следовательно, поворотное ускорение состоит из двух частей. Первая составляющая появляется вследствие изменения величины и направления тангенциальной переносной скорости R точки m в результате ее относительного движения. Вторая составляющая появляется из-за поворота вектора относительной скорости вследствие переносного его вращения с угловой скоростью .

Выше мы рассмотрели случай сложного движения материальной точки, когда переносное движение являлось вращательным, а относительное — поступательным.

рис.2.

Если диск (рис. 2), вращающийся вокруг оси симметрии XX с угловой скоростью , одновременно поворачивается вокруг какой-либо оси (например, yy), то все материальные точки, составляющие диск, будут участвовать в сложном движении. Предположим, что поворот диска вокруг оси УУ происходит с угловой скоростью. Так как при вращении диска вокруг оси УУ расстояния материальных точек относительно осей не меняются, то это движение будет являться переносным. При вращении диска вокруг оси XX будут изменяться расстояния материальных точек диска относительно оси УУ. Поэтому это движение будет являться переносным.

Рассмотрим материальную точку т, лежащую на ободе диска. Относительная скорость движения этой точки равна

=R,

где R —радиус диска.

Когда точка лежит на оси УУ (положение А), относительная скорость ее движения перпендикулярна оси УУ (оси вращательного переносного движения) и она целиком участвует в создании поворотного ускорения . Следовательно, точкаm в положении А будет иметь поворотное ускорение. При перемещении материальной точки по окружности на угол а (см. рис. 2, положение В) в создании поворотного ускорения будет участвовать не вся скорость , а только ее составляющая V, перпендикулярная оси УУ. Величина поворотного ускорения материальной точки в положении В равна

= 2V = 2Vcos = 2R cos,

где — угол между осью переносного движения и радиусом, проведенным в рассматриваемую материальную точку. Это уравнение показывает, что поворотное ускорение изменяется по косинусоидальному закону.

При =0° или 360° (положениеА) соs=1 и=/r

При =90° (положение С) соs=0 и=0.

При =180° (положение Д) соs= -1 и= -

При =270° (положениеЕ) соs=0 и= 0.

Мы рассмотрели точку на ободе диска. Очевидно, что эти выводы будут справедливы для всех материальных точек, составляющих диск.

Таким образом, если вращающийся вокруг оси симметрии диск одновременно поворачивается вокруг какой-либо другой оси, то все материальные точки, составляющие диск, будут иметь поворотные ускорения различных величин и направлений (величина ускорения изменяется от 0 до какого-то максимального значения и наоборот).

Из рассмотренных выше примеров видно, что при наличии относительного и переносного движения рассматриваемая материальная точка m движется с поворотным ускорением . Согласно второму закону Ньютона ускорение может появиться лишь при наличии силы, а следовательно, вращающийся диск оказывает на материальную точку с массой от давление через соответствующие связи (например, через направляющую, по которой движется точка). Это давление по величине равнои направлено в сторону поворотного ускорения. Согласно третьему закону Ньютона материальная точка будет оказывать на вращающийся диск давление такой же величины, но противоположное по направлению. Силу этого давления называют силой инерции Кориолиса и обозначают:

= mW= 2mV.

По своей природе сила инерции Кориолиса является реактивной силой (реактивным сопротивлением), которую приходится преодолевать диску, чтобы сообщить точке т поворотное ускорение.