Добавил:

tinkapunka Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Обработка сигналов в радиотехнических системах

Файл:

лекции / Математические методы в теории РТС - лекция 2 ФИНАЛ 2020

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.12.2023

Размер:

2.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Свойства ДПФ

1) Линейность {y(k)} – линейная комбинация сигналов

Спектр аналогичная линейная комбинация

Принцип суперпозиции - спектр суммы равен сумме спектров

2) y(k) – задержанная копия y(k)=x(k-k0)

m=k-k0

Амплитудный спектр не меняется

Из фазового спектра вычитается слагаемое, линейно зависящее от частоты и задержки

Свойства ДПФ

3) Спектр свертки сигналов

Спектр аналогичная линейная комбинация

X2(w)exp(jwm

)

спектр свертки равен произведению спектров

4) Спектр произведения сигналов y(k)=x1(k)*x2(k)

X2(w-w`)

спектр произведения равен свертке спектров

Основные характеристики совокупности

Функции распределения вероятностей совокупности случайных величин

= ξ(t

),ξ

= (t

),...,ξ

= ξ(t

)

(n)

(t),

(n) = (

)

,...,xn .

N - мерной функцией распределения вероятностей случайного вектора или совокупности случайных величин

n		R	(n) )
P Iξi	≤ xi	= Fξ (n)(x	(n) )
i=1

Основные характеристики совокупности	34

n-мерной плотностью вероятностей совокупности СВ

Wξ (n)(xR(n) )=

Fξ (n)(x1,..., xn ) =

∂nFξ (n)(xR(n) )

∂x1,...,∂xn

x1 xn	(n)(x1,..., xn ) dx1...dxn
∫...∫Wξ

−∞ −∞

		Wξ (n)(x1		n	(xi )
Для совокупности независимых с.в.		Wξ (n)(x1		,..., xn ) = ∏Wξ	(xi )
				i
				i=1
Для для любой с.в. xi
	∞	∞
Wξi	(xi )= ∫ ...	∫Wξ	(n) (x1,..., xn )dx1...dxn
	−∞ (кроме	xi ) −∞

Основные характеристики совокупности	35

:Числовые характеристики совокупности случайных величин

В общем случае вводятся смешанные начальный и центральный моменты совместного распределения совокупности случайных величин

				∞	∞
mk1...kn {ξ1,...,ξn }= ∫...∫x1k1 ...xnknWξ (n)(x1,...,xn )dx1...dxn ;
				−∞	−∞
			∞	∞		− m1{ξn }]kn Wξ(n) (x1,..., xn )dx1...dxn .
Mk1...kn {ξ1,...,ξn }= ∫... ∫[x1 − m1{ξ1}]k1 ...[xn						− m1{ξn }]kn Wξ(n) (x1,..., xn )dx1...dxn .
			−∞	−∞			ξ
Отсюда легко получить любые начальные и центральные моменты для каждой							ξ	i
		∞	∞			∞		i
		∞	∞			∞
mki	{ξi}= ∫...∫xikiWξ (n)(x1,..., xn )dx1...dxn = ∫xikiWξi (xi )dxi
		−∞	−∞			−∞
	∞	∞		ki		∞		ki
Mki {ξi }= ∫...∫[xi − m1{xi				}] Wξ	(n) (x1,..., xn )dx1...dxn	= ∫[xi − m1{xi }] Wξi			(xi )dxi .
	−∞	−∞				−∞

Основные характеристики совокупности	36

Числовые характеристики совокупности случайных величин

Одна из важнейших характеристик совокупности случайных величин – смешанный центральный момент вида

∞

M11{ξi ,ξ j }= ∫... ∫(xi − m1{ξi})(xj − m1{ξ j })Wξ (2)(xi , xj )dxidxj = Kij

−∞

- ковариация случайных величин

∞

(2)(xi , xj )dxidxj − m1{ξi} m1{ξ j }= m11{ξi ,ξ j }− m1{ξi} m1{ξ j }

Kij = ∫ ∫xi xjWξ

−∞

Rij =

Kij

{ξ

}

коэффициентом корреляции. Для независимых СВ

∞ ∞

(xi )Wξ j

(xj )dxidxj − m1{ξi } m1{ξ j }= m1{ξi } m1{ξ j }− m1{ξi } m1{ξ j }= 0.

Kij = ∫ ∫xi xjWξi

−∞−∞

Итак, условие

Rij = 1 означает линейную зависимость случайных величин

Основные характеристики совокупности	37

Пример

Рассмотрим в качестве примера двумерное нормальное распределение

(2)		1					1			(x − a )
(2)		1					1			(x − a )
	(x1, x2 ) =													2
Wξ						exp −					1			1
							2(1− r	2	)			σ	2
								2					2
		2π 1− r	2	σ	1σ 2								1
		2π 1− r		σ	1σ 2								1

	(x − a )(x		− a		)		(x		− a		2
− 2r	(x − a )(x	2	− a	2	)	+	(x	2	− a	2	)
	1 1	2		2				2		2		,
												,
	σ1σ 2								σ 22
	σ1σ 2								σ 22

a1 = m1{ξ1};

a2 = m1{ξ2};

K12 = rσ1σ 2 ,

σ12 = M2{ξ1};

σ 22 = M2{ξ2} .

R =

σ1σ 2

= r

σ12σ 22

Для некоррелированных нормальных величин

(r = 0)

Wξ (2)(x1, x2 ) =

1 (x − a )2

1 (x

− a

(x1 ) Wξ (x2 ).

exp −

1 1

−

= Wξ

2πσ1σ 2

σ 22

2 σ12

Условные распределения	38

Вероятность P(A, Bi) – вероятность того что переданным является символ yi, а принятым некий символ yj (один из возможных передаваемых (y1,y2cyn). Тогда

	n
	P(A, Bi ) = ∑
	i=1

P(A,Bi ) = ∑P(A | Bi ) P(Bi )

i=1

P(A, Bi) — вероятность одновременного осуществления и ;

P(A | Bi)— условная вероятность при условии осуществления ;

P(B) — априорная вероятность.

P(ABk )P(Bk )= P(Bk A)P(A),

апостериорная вероятность события Bk (гипотезы) равна

формула Байеса: P(B / A)=	P(A/ Bk )P(Bk )	=	P(A/ Bk )P(Bk )
k	P(A)		n	)P(Bi
			∑P(A/ Bi	)P(Bi	)

i=1

Условные распределения	39

Понятие условных вероятностей событий распространяется и на случайные величины:

					x+	x	y
P{η ≤ y x < ξ ≤ x +	x}=	P{x < ξ ≤ x +	x, η ≤ y}		∫	∫W (2) (x, y)dxdy
		P{x < ξ ≤ x +	x, η ≤ y}	=	x		−∞		.
					x		−∞
		P{x < ξ	≤ x1}		x+ x		∞
					x+ x		∞	(2) (x, y)dxdy
					∫		∫W	(2) (x, y)dxdy
					x		−∞

условная функция распределения величины x, зависящей от

величины y		y			y
		∫W (2) (x, y)dy x			∫W (2) (x, y)dy			1	y
F (y x) = lim		−∞		==	−∞		=	1	W (2) (x, y)dy .
F (y x) = lim		∞		==	∞		=		W (2) (x, y)dy .
η	x→0	∞	(2) (x, y)dy x		∞	(2) (x, y)dy	Wξ (x)−∞∫
	x→0	∫W	(2) (x, y)dy x		∫W	(2) (x, y)dy	Wξ (x)−∞∫
		−∞			−∞

условная плотность вероятности непрерывной случайной

величины x, зависящей от y

Условие

∂Fη (y x)

W (2)(x, y)

нормировки::

Wξ (x)

∞

(2)

W (y x) =

∫Wη (y x)dy =

∫W

(x, y)dy =

∂y

Wξ (x)

−∞

Wξ (x)−∞

Wξ (x)

	Условные распределения		40
			40
аналог формулы полной вероятности для условного
распределения	∞	∞
	∞	∞
Wη (y)= ∫W		(2) (x, y)dx = ∫Wη (y x)Wξ (x)dx
	−∞	−∞

для непрерывных случайных величин x и y и аналог формулы Байеса:

Wξ (xy)= ∞ Wη (yx)Wξ (x)

∫Wη (yx)Wξ (x)dx

−∞

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке лекции

#
24.12.20231.16 Mб3Математические методы в теории РТС - лекция 1 ФИНАЛ 2020.pdf
#
24.12.20231.19 Mб2Математические методы в теории РТС - лекция 10 ФИНАЛ 2020.pdf
#
24.12.20232.09 Mб3Математические методы в теории РТС - лекция 2 ФИНАЛ 2020.pdf
#
24.12.20232.62 Mб2Математические методы в теории РТС - лекция 3 ФИНАЛ 2020.pdf
#
24.12.20234.36 Mб4Математические методы в теории РТС - лекция 4 ФИНАЛ 2020.pdf
#
24.12.20234.4 Mб3Математические методы в теории РТС - лекция 5 ФИНАЛ 2020.pdf
#
24.12.20234.19 Mб2Математические методы в теории РТС - лекция 6 ФИНАЛ 2020.pdf
#
24.12.20232.32 Mб3Математические методы в теории РТС - лекция 8 ФИНАЛ 2020.pdf