СЛАУ специального вида

Симметричные матрицы

LDMT - разложение

A = LU = LDMT

Theorem

Если все ведущие главные подматрицы A невырожденны, тогда существуют единственные нижние унитреугольные матрицы L и M, и единственная диагональная матрица D, такие, что A = LDMT

Доказательство.

1 LU разложение существует и оно единственно.

2Пусть D = diag(d1; d2; : : : ; dn), di = uii 6= 0. Матрица D невырожденная.

3 A = LU = LD(D 1U)

4 D 1U = MT – верхняя унитреугольная матрица.

Симметричные матрицы

LDMT - разложение

Алгоритм

Пусть известны j 1 столбцов матрицы L, j 1 элементов диагональной матрицы D и j 1 строк матрицы M:

Приравняем j-е столбцы уравнения A = LDMT

A(1 : n; j) = Lv; v = DMT ej

Решение нижней треугольной системы ("верхняя\ часть системы – строки с 1 по j) относительно v(1 : j)

L(1 : j; 1 : j) v(1 : j) = A(1 : j; j) ! v(1 : j) = : : :

Симметричные матрицы

LDLT - разложение

Theorem

Если A – симметричная невырожденная матрица, то в разложении

A = LDMT L = M.

Доказательство.

1 Рассмотрим матрицу

M 1A(M 1)T = M 1LD

Эта матрица является и симметричной (левая часть) и нижней треугольной (правая часть), следовательно она диагональна.

2 Матрица D невырождена, поэтому M 1L – диагональна

3 В то же время M 1L нижняя унитреугольная, следовательно M 1L = E

Симметричные матрицы

LDLT - разложение

Пример

Решение СЛАУ

v

z}|{

L D LT x = b;

|{z}

u

Lu = b ! Dv = u ! LT x = v ! x

Симметричные, положительно определенные системы

Положительно определенная матрица

Для вещественной положительно-определенной матрицы

8 x 2 Rn; x 6= 0 : xT Ax > 0

Theorem

Если матрица A 2 Rn n является положительно определенной и матрица X 2 Rn k имеет ранг k, то матрица B = XT AX 2 Rk k также положительно определена [3].

Следствия:

1Если A – положительно определенная матрица, то все её главные подматрицы положительно определенные, все диагональные элементы положительны.

2Если A – положительно определенная матрица, то разложение A = LDMT существует и матрица D = diag(d1; d2; d3; : : : dn) имеет положительные диагональные элементы.