Optics ebook-ver

Оптика

и рассмотрим прямоугольные треугольники 4AOS и 4AP O. Отложим на SP отрезки

SE = SA и P F = P A, тогда

14D2 + a2 = (a + OE)2 a2 + 2bOE 14D2 + b2 = (b + OF )2 b2 + 2bOF

F E = F O + OE = D2 + D2 = D2 a + b 8a 8b 8 ab

Пренебрежения приняты с учетом малости диаметра отверстия относительно расстояний a и b. Так как F E это разница между радиусом максимально возможной сферы сечения

на зоны Френеля и минимально возможной, то, очевидно, число зон Френеля

Рассмотрим также ситуацию обратную: на пути источника к точке наблюдения находится непрозрачный диск. Если он закрывает только первую зону Френеля для точки наблюде-

íèÿ, òî

E E1 XEi = E21

Таким образом, интенсивность в точке наблюдения почти не меняется. Полученное светлое пятно называется пятном Пуассона.

Если мы закроем все только нечетные или только четные зоны Френеля, то получим в несколько раз большую интенсивность в точке наблюдения. На этом принципе построены зонные пластинки.

Выражение ( ) можно переписать следующим образом

что формально совпадает с уравнением линзы. Rm2 =m называется также фокусом зонной пластинки.

19 Теория дифракции Кирхгофа.

Рассмотрим однородную среду, в которой распространяется световое поле, описываемое

волновым уравнением

1 @2EE v2 @2t = 0

20

Оптика

Будем считать волну монохроматической, тогда

E(r; t) = (r)ei!t

(r) + k2 (r) = 0

Введем мнимую сферическую волну (r) = (1=r)e ikr, исходящую из точки наблюдения P . Окружим нашу точку наблюдения малой сферой f радиуса R. А получившуюся сферу, в свою очередь, произвольной замкнутой поверхностью F . Далее рассмотрим вектор

a = (r ) (r )

По теореме Остроградского-Гаусса для него получаем

ZZ

(a ds) = (ra)dv

@F F

ZZ

В то же время

ra = r2 r2 = 0

Таким образом, приходим к равенству

ZZ

Сменим ориентацию поверхности @F таким образом, чтобы нормаль была направлена внутрь области. Это поменяет знак интеграла

Z Z

(r ds) (r ds) = (r ds) (r ds)

@F @f

Представим ds как nds, где n вектор нормали, совпадающий по направлению с вектором R. Тогда

Для второго интеграла получаем выражение

21

Оптика

В котором устремим к нулю радиус вспомогательной сферы R. Функции можно приближенно заменить на их значения в точке P , тогда интегрирование заменится умножением на площадь сферы:

Существенное отличие данного интеграла от интеграла Френеля состоит в том, что точ- ка наблюдения в рассматриваемом случае находится внутри области F . Далее выведем

формулу, которая по структуре будет более похожа на интеграл Френеля.

Пусть r радиус сферы f с центром в точке наблюдения, которая охватывает источники. Источники окружим поверхностью F . В соответствии с предыдущим соотношением напряженность светового поля в точке наблюдения выражается

Рассмотрим некоторую точку A поверхности @f и определим напряженность поля в этой точке. Она будет создаваться, очевидно, источниками внутри F

Далее обозначим aj = rj r и разложим последнюю полученную сумму по малому параметру 1=r.

С учетом этого соотношения перепишем интеграл по @f

Частная производная по r равна нулю, действительно

Теперь покажем, что интеграл стремится к нулю при r ! 1

22

Оптика

Так напряженность в точке наблюдения определяется только интегралом по поверхности F .

Частная производная по направлению нормали выражается через угол между векторами r и n

Подставляем полученное выражение в интеграл

Функцию в скобках, деленную на 4 , обозначим за K( ; r). В таком случае мы получим

интеграл Френеля

Z e ikr

(P ) = K( ; r) r dF

@F

20 Дифракция на прямоугольной щели.

Пусть на прямоугольную щель падает плоская волна. Рассмотрим цилиндрические поверхности разного радиуса с осью, проходящей через точку наблюдения P . Зонами Шустера

называются зоны, получающиеся сечением цилиндрическими поверхностями. Найдем размеры зон Шустера для бесконечно протяженной прямоугольной щели. За xn обозначим расстояние от центра щели O до границы зоны с номером n, радиус цилиндрического

сечения обозначим за rn, расстояние PO за b.

rn2 = b2 + x2n

rn2 rn2 1 = x2n x2n 1

(rn rn 1)(rn + rn 1) b x2n x2n 1 = b

p

Òàê êàê x0 = 0, мы приходим к соотношению xn = nb .

Найдем уравнение для кривой векторной диаграммы. Интеграл Френеля для щели

ZZ

E = e ikrdS = e ik(r b)eikbdS

SS

Введем декартову систему координат на щели, в таком случае

23

Оптика

Положим, длина щели ly очень велика, тогда

R

В интеграле по переменной x сделаем замену kx2 ! b s2. В силу симметрии задачи про- ведем интегрирование от 0 до конечного значения параметра s.

rs

Таким образом

rs

Получившиеся из формул Эйлера два интеграла X(s) и Y (s) описывают зависимость амплитуды от параметра s, они называются интегралами Френеля.

Для построения фазовой диаграммы удобно рассматривать E . Получившаяся диаграмма называется спиралью Корню.

Спираль бесконечно обвивается вокруг двух симметрично расположенных фокусов. Положение которых:

Параметр s играет роль длины дуги спирали, в самом деле

dX2(s) + dY 2(s) = ds2

21 Дифракция Фраунгофера на щели.

Дифракционные задачи принято классифицировать по расстояниям источника и экрана до дифракционной щели. Если эти расстояния очень велики, говорят о дифракции в параллельных пучках дифракции Фраунгофера.

24

В задачах на дифракцию Фраунгофера рассматривают падение плоской волны на некоторое отверстие, а разности хода считают для параллельных пучков какого-либо направления. В опытах получившиеся параллельные пучки фокусируют линзой на экран, таким образом получается интерференционная картина.

Рассчитаем дифракцию на щели шириной b. Разность фаз двух пучков, падающих на расстоянии x друг от друга на щель, очевидно, kx Sin , где направление на экран. Результирующее световое поле

Ãäå I0 интенсивность в точке главного максимума, которая соответствует = 0. Условие для минимумов очевидно

m = b Sin

25

Оптика

Если свет падает не нормально, а под углом 0

kb

= 2 [Sin Sin 0]

22 Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии.

В общем случае дифракция Фраунгофера на произвольном отверстии рассчитывается интегралом

ZZ

E = e ik(sr)ds = e ik(sxrx+syry)dxdy

SS

Для примера рассмотрим прямоугольную щель a на b.

Отсюда видно, что для меньшего поперечного сечения размер щели между максимумами больше.

Для того чтобы рассмотреть дифракцию Фраунгофера на круглом отверстии, введем полярные координаты на отверстии (r; ) и на экране (r0; 0). Точки начала отсчета расположим на оси отверстия. Расстояние между точками начала отсчета обозначим вектором z.

Радиус-вектора на соответствующих плоскостях r и r0. Так, вектор от точки наблюдения до произвольной точки отверстия

r0 = (r r0) + z

В силу того, что экран параллелен плоскости отверстия, z ? r; r0, следовательно

r02 = z2 + (r r0)2

Так же, как в случае дифракции на прямоугольной щели, разложением в ряд Тейлора

можно получить

(r0 z) + z = (r r0)2 + z 2z

Запишем интеграл Кирхгофа

S

При малых углах дифракции можно считать, что Cos = 0. Расстояние до экрана мы берем достаточно большим, чтобы пренебречь слагаемым второго порядка малости по r0.

При нормальном падении волны дифференцирование по направлению вектора нормали эквивалентно домножению на ik, таким образом, вся скобка оказывается равной 2ikE.

S

26

Оптика

Для малых углов дифракции мы можем так же пренебречь (r r0)2 по сравнению с z2, то есть принять r0 z. Тогда получим следующее выражение для интеграла

При переходе к полярным координатам скалярное произведение просто можно заменить на произведение модулей на косинус угла между векторами

R2

Пренебрегаем квадратом модуля вектора r по отношению к скалярному произведению,

так как мы считаем, что отверстие достаточно маленькое, чтобы наблюдалась дифракция. Также необходимым является положение о том, что для малого отверстия изменением E

в пределах отверстия можно пренебречь, считая E(r; ) = E0, так как это позволяет взять интеграл аналитически.

R2

Интеграл в правой части представляет собой функцию Бесселя нулевого порядка, которую можно определить как

В действительности функция Бесселя порядка a 2 R определяется как решение дифференциального уравнения второго порядка

x2f00 + xf0 + (x2 a2)f = 0

Для нас важным свойством является связь между функциями Бесселя первого и нулевого

порядков

z

Z

zJ1(z) = J (x)xdx

0

Легко заметить, что

R2

00

Отсюда получается следующее выражение для амплитуды

27

!

Таким образом, распределение интенсивности при дифракции на круглом отверстии описывается функцией Бесселя, график которой изображен на рис. 2.

23 Дифракционная решетка.

спектральный прибор, предназначенный для разложения света в спектр и измерения длин волн. Рассмотрим простую решетку, состоящую из одинаковых равностоящих друг от друга параллельных щелей, сделанных в непрозрачном экране. Пусть ширина щели решетки b, а расстояние между двумя соседними щелями a. Величи-

на a + b называется периодом решетки. Выберем произвольное направление под углом к нормали решетки и рассчитаем максимумы дифракции Фраунгофера.

Разность хода двух лучей от разных щелей очевидно d Sin , а суммарное поле получается как сумма амплитуд от каждой щели

XX

E = Ej = E1e ij

jj

Ãäå E1 амплитуда колебания от первой щели, а разница фаз волн для двух соседних щелей. Сумма представляет собой сумму первых N слагаемых в геометрической прогрес-

28

Оптика

ñèè

Возводя в квадрат и приводя экспоненты к синусам по формулам Эйлера, получаем конечный результат для интенсивности

0 N 12

I = I BSin 2 C

BC

Sin 2

Так как N натуральное, максимумы будут соответствовать условию

Максимумы, соответствующие этому условию, называются главными. Следует отметить, что некоторые максимумы наблюдаться не будут, так как они попадают под условие минимума дифракции от прямоугольной щели.

Аналогично получаем условие для минимума

Таким образом, между двумя главными максимумами располагаются (N 1) минимумов. Между этими минимумами располагаются слабые максимумы, называемые добавочными.

У дифракционной решетки есть некоторый набор параметров, характеризующих качество получаемой дифракционной картины.

дифракционной решетки называется угловое расстояние между двумя максимумами, соответствующими двум разным длинам волн. Условие максимумов для света, падающего под углом

d(Sin Sin 0) = m

Получаем второе уравнение дифференцированием

d Cos d = md

Исключая порядок максимума и ширину решетки из этих двух уравнений, получаем

Дисперсионной областью называется область перекрытия спектров соседнего порядка. Положим, что на решетку падает излучение с длинами волн и + . Если соседние

максимумы перекрываются, то выполняется

m( + ) = (m + 1)

Откуда = =m.

29