Optics ebook-ver

Оптика

За E будет обозначаться комплексное значение под оператором взятия действительной части. Пусть задана плоская монохроматическая волна

E = eei(!t Kr)

H = hei(!t Kr)

Вектор nk называется волновым вектором и обозначается K, где n вектор нормали к

волновому фронту, направленный в сторону распространения волны. Значения дивергенций для E и H

div E = (exKx + eyKy + ezKz)ei(!t Kr)

div H = (hxKx + hyKy + hzKz)ei(!t Kr)

Роторы расписываются с учетом того, что

@

@xiExj = iexj Kxi ei(!t Kr)

На примере rot E

Абсолютно аналогично выводится соотношение [nh] = e. Из выражений для дивергенций следует (eK) = 0 и (hK) = 0. Эти равенства говорят о том, что вектора E и H не только перпендикулярны направлению движения (которое совпадает с направлением вектора K), но и взаимноперпендикулярны.

8Энергия света.

Пусть волна определяется заданными векторами E и H.

Результатом подстановки значений роторов в соотношение

H rot E E rot H = div[EH]

Является выражение

10

Оптика

! объемная плотность электромагнитной энергии. Вектор c[EH]=4 обозначается S и на-

зывается вектором Умова-Пойнтинга. Интегрирование предыдущего выражения в новых обозначениях

Интеграл в левой части уравнения заменяется по теореме Остроградского-Гаусса на поверхностный по границе @V . Этот резуьтат, известный также как теорема Пойнтинга,

представляет собой закон сохранения энергии для электромагнитых полей. Согласно ему, электромагнитная энергия в некоторой области расходуется на джоулево тепло и на поток вектора Пойнтинга через границу области.

При рассмотрении случая тока точечных зарядов в среде плотность тока в точке представится следующей функцией

X

j(r) = qiri (r ri)

Здесь это дельта-функция Дирака, обладающая следующим свойством

Z

f(x) = f(r) (r x)dr

1

Если положить, что для точечных зарядов верны законы Ньютона

d

mdtri = qiEi

То второе слагаемое в (8.1)

За T обозначена кинетическая энергия системы точечных зарядов. Если координаты не зависят от времени (система отсчета фиксирована), то взятие частной производной по t в первом слагаемом (8.1) формально можно заменить на дифференцирование. Интеграл ! по объему представляет собой потенциальную энергию поля W , поэтому

dI

dt(W + T ) = S dn

@V

Вектор Пойнтинга плоской монохроматической волны сонаправлен с волновым вектором.

S = 4c [EH] = 4c [E[nE]] = 4c E2n = c!n

11

Оптика

9Энергетические характеристики световых пучков.

Удобно характеризовать энергию электромагнитной волны либо объемной плотностью энергии, либо вектором Умова-Пойнтинга. Однако для определения мгновенного значения любой из этих величин требуются значения векторов E и H, прямое измерение которых

невозможно.

Интенсивностью I будет называться среднее значение вектора Умова-Пойнтинга по времени hSi. Для монохроматической плоской волны в вакууме интенсивность будет рассчи- тываться следующим образом.

Ex = A Cos(kz !t)

Hy = A Cos(kz !t)

В общем случае волны не всегда являются монохроматическими, поэтому значение интенсивности будет меняться в пространстве и во времени.

Мощностью волны P называется интеграл интенсивности по всему объему пространства.

Z

P = I dV

R3

называются величины, соотнесенные к единице площади площадки, на которую падает световой пучок. Так эффективная интенсивность определяется следующим образом

dP Ieff = dS

10 Энергетические характеристики источников.

Реальные источники не являются точечными и тем более не испускают монохроматические волны, поэтому характеризовать их удобнее величинами, опирающимися не на интенсивность испускаемых световых пучков, а на поток всю энергию источника, испускаемую в единицу времени.

dW

= dt

Силой света называется поток энергии, испускаемый источником в направлении телесного угла d

d

I = d

В СИ единицей силы света является кандела. Одна кандела это сила света, испускаемого в заданном направлении источником монохроматического излучения частотой 540 1012

Гц, энергетическая сила света которого составляет 1=683 часть Вт. Единицей потока в СИ является люмен, равный произведению 1 Кд на 1 стерадиан.

Светимостью источника называется полный поток, излучаемый малой площадкой ис-

точника.

d

M = dS

12

Оптика

Пусть E1 + E2 = aei!tei , тогда мнимую и действительную части суммы можно расписать отдельно

a Cos = a1 Cos 1 + a2 Cos 2

a Sin = a1 Sin 1 + a2 Sin 2

Оба уравнения возводятся в квадрат и складываются

a2 = a21 + a22 + 2a1a2(Cos 1 Cos 2 + Sin 1 Sin 2) = a21 + a22 + 2a1a2 Cos( 2 1)

Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды колебания

p

I = I1 + I2 + 2 I1I2 Cos( 2 1)

Из этого выражения следует, что равенство I = I1 + I2 выполняется только при определен-

ных условиях. Интенсивность от двух источников определяется разностью фаз колебаний в точке наблюдения. Максимально и минимально возможные интенсивности соответствен-

íî 2

p p

I = I1 + I2 è I =

p

Слагаемое 2 I1I2 Cos( 2 1) называется интерференционным членом, а явление отклонения значения результирующей интенсивности света от значения суммы интенсивностей интерференцией света. Интерференция наблюдается не всегда, так, две обычные комнатные лампы не интерферируют, так как излучают волны разных частот. Источники одной частоты также не всегда интерферируют, для наблюдения устойчивой картины распределения минимумов и максимумов интерференции необходимо, чтобы разница фаз2 1 была постоянной. Источники, для которых выполняется данное условие, называ-

þòñÿ когерентными.

12 Интерференция плоских волн.

Пусть даны две плоские волны

E1 = Cos(!t K1r + 1)

E2 = Cos(!t K2r + 2)

Если принять, что jK1j = jK2j = 2 = , разность фаз представится как Kr + ( 2 1), ãäå K = K1 K2. Пусть координатная ось Ox сонаправлена с вектором K, тогда Kr = jKj x. Условие когерентности в этом случае эквивалентно x = const, а следовательно в плоско-

стях, перпендикулярных Ox, будут наблюдаться минимумы и максимумы интенсивности.

Расстояние между двумя последовательными минимумами и максимумами соответствует различию между разницами фаз в двух плоскостях, равными одному периоду 2 : jKj x =

= 2 . В силу того, что нормы волновых векторов одинаковы, биссектриса угла между векторами является также и высотой, откуда

2 Sin 2

14

Оптика

Приближение верно при малых углах , так как Sin . x называется шириной интерференционной полосы.

Интерференция будет наблюдаться также и в плоскостях, расположенных под углом к Ox, в этом случае длина интерференционной полосы x = x= Cos .

13 Интерференция реальных источников.

Реальные источники не излучают монохроматические волны. Более того, контрастность интерференционной картины зависит от реальных размеров источников света. Контрастность уменьшается с увеличением размеров по причине наложения интерференционных картин от разных частей источника. Интерференция пропадает, если сдвиг интерференционных картин становится больше, чем четверть ширины интерференционной полосы (условие хорошей контрастности).

Немонохроматичность также влияет на контрастность интерференционных картин. Если максимумы интенсивности для одной длины волны из спектра накладываются на минимумы другой, то интерференция также не будет наблюдаться. Так как ширина картины зависит от длины волны, перекрываться интерференционные картины будут не сразу. Ис- чезновение произойдет на максимуме порядка N

N =

То есть, когда разность хода лучей > N или

> 2

Величина, стоящая в правой части неравенства называется, длиной когерентности.

14 Интерференция в тонких пленках.

Рассмотрим тонкую пленку из материала с коэффициентом преломления n. Пусть под углом на пленку падает луч и отражается от пленки. Выразим разность хода через , n и толщину пленки h.

Луч, падающий на границу пленки в точке A, частично отражается и частично проходит внутрь пленки, где отражается от внутренней границы в некоторой точке B и снова достигает поверхности в точке C, где опять преломляется и становится параллельным из-

начально отраженному лучу. На бесконечности можно пронаблюдать интерференционную картинку (например, собрать лучи линзой).

Если из точки C провести перпендикуляр CD к направлению изначально отраженного луча, то разность хода выражается через отрезки следующим образом

= (AB + CD)n AD + 2 = 2ABn AD + 2

Дополнительное слагаемое в разности хода обусловлено тем, что при отражении от опти- чески менее плотной среды волна испытывает скачок по фазе, равный .

15

Оптика

В силу того, что 4ABC равнобедренный AC = 2h Tg 0 è AB = h= Cos 0 ãäå 0 óãîë луча после преломления. Из 4ACD: AD = AC Sin . В итоге, с учетом закона Снелиуса

Что можно переписать как

= 2hpn2 Sin2 + 2

Разность хода будет оставаться постоянной только для лучей с одинаковым углом падения, поэтому получающуюся интерференционную картину называют полосами одинакового наклона.

Примером интерференции в тонких пленках может служить опыт получения колец Ньютона. Линзу с большим радиусом кривизны R прислоняют к пластинке и направляют на

не¼ параллельный пучок лучей. В отраженном и проходящем свете наблюдаются концентрические кольца, получающиеся чередованием минимумов и максимумов интерференции.

Расстояние между поверхностью линзы и пластинкой зависит от расстояния r от центра

линзы до рассматриваемой точки

p

h(r) = R R2 r2

Для линз с очень большим радиусом кривизны и для малых r можно взять лишь первое ненулевое слагаемое в разложении в ряд Тейлора вблизи точки 0

h(r)

r2

2R

Условие минимума интерференции при разности хода 2h(r)

r2 + = (2m + 1) R 2 2

Отсюда радиус темного кольца, соответствующий минимуму порядка m

p

rm = m R

15 Многолучевая интерференция.

Пусть свет с интенсивностью I0 падает на пленку, коэффициент отражения которой . Отраженный от внутренней границы пленки свет может отразиться неограниченное число раз. Проведем расчет интенсивности проходящего и отраженного света.

Рассмотрим луч, проходящий через пленку. Такой луч проходит границу дважды, поэтому интенсивность всегда будет отличаться от исходной на множитель (1 )2. Интенсивность

проходящего луча будет соответственно отличаться на множитель R2n за счет четного числа отражений от границы пленки. Таким образом

In0 = I0(1 )2 2n

И для отраженного луча аналогично (нечетное число отражений)

In = I0(1 )2 2n+1

16

Оптика

Так как интенсивности пропорциональны квадратам амплитуд, амплитуда для одного лу-

ча в проходящем свете

a0n = a0(1 ) n

Два соседних луча выходят из пленки с постоянной разностью фаз , которая зависит

Видно, что максимум интенсивности проходящего света наблюдается при Sin( =2) = 0.

Часть V

Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля.

Под дифракцией света понимается всякое отклонение от прямолинейного распространения света, если оно не может быть истолковано как результат отражения, преломления или изгибания световых лучей в средах с изменяющимся показателем преломления.

Принцип Гюйгенса гласит:

1)свет распространяется как волна;

2)каждая точка волнового фронта представляет собой источник вторичных волн, а огибающая вторичных волн дает новое положение волнового фронта.

Дополнение Френеля:

3) вторичные источники интерферируют, новый волновой фронт получается в результате интерференции.

В данном параграфе будут рассмотрены основные положения теории дифракции, а так же решены некоторые важные дифракционные задачи.

17

Оптика

16Математическая формулировка принципа ГюйгенсаФренеля.

Чтобы формализовать полученные принципы, рассмотрим некоторый набор точечных источников света fS1; : : : ; Sng. Окружим их некоторой выпуклой поверхностью S. Согласно

гипотезе Френеля каждый элемент поверхности S является источником волн, которые создают в точке наблюдения световое поле E.

Здесь расстояние от элемента поверхности ds до точки наблюдения P , a амплитуда колебаний источника ds, которая зависит не только от расположения элемента в пространстве, но и от угла между и ds.

17 Распространение волны точечного источника.

Рассмотрим точечный источник O, напряженность которого описывается уравнением

E0 = 1 ei(!t kr0)

r0

В качестве выпуклой поверхности S возьмем волновой фронт сферу радиуса r0. Ампли- туда источника-элемента поверхности S является значением E0 в соответствующей точке волнового фронта, домноженным на некоторый коэффициент K( ), зависящий от угла между векторами и ds.

Разобьем поверхность на кольцевые зоны. Расстояние от точки наблюдения до ближайшей точки поверхности r.

d = Sin d d или после однократного интегрирования по углу d : d = 2 Sin d ds = 2 r02 Sin d

d телесный угол, под которым наблюдается кольцо.

2 = r02 + (r + r0)2 2r0(r + r0) Cos

2 d = 2r0(r0 + r) Sin d

Следовательно

2 r2 d ds = 0

r0(r0 + r)

Вычислить точно интеграл в чистом виде не представляется возможным, так как неизвестен вид функции K( ). Воспользуемся гипотезой Френеля, которая говорит о том, что в

пределах зон, получаемых сечениями фронта сферами r + m=2, функцию K( ) приближенно можно считать постоянной.

18

Оптика

Интеграл по зоне (Френелевой зоне) с номером n

r+n 2

Поле, создаваемое первыми N зонами Френеля E = E1 + : : : + EN . Если N невелико и вклад соседних зон примерно одинаков, то E = E2 : : : EN+1. Следовательно, поле приближенно равно полусумме первой и последней зоны

1

E = 2(E1 + EN )

Однако это выражение по-прежнему не дает способа найти амплитуду колебания в точ- ке наблюдения. Второе предположение Френеля заключается в том, что функция K( ) в

точке равна нулю. Тогда вклад последней зоны можно принять равным нулю, и, следо-

В то же время значение E можно выразить непосредственно из уравнения сферической волны для точечного источника.

18Дифракция Френеля на отверстии. Зонная пластинка.

Рассмотрим следующую дифракционную задачу. Между источником света S и точкой наблюдения P расположен непрозрачный экран с круглым отверстием. Прямая SP , соеди-

няющая источник с точкой наблюдения, перпендикулярна плоскости экрана и проходит через центр отверстия O. Диаметр отверстия D, расстояние от источника до экрана a, от

экрана до точки наблюдения b. Интенсивность источника S равна I0.

Увеличивая D, будем получать в точке наблюдения минимумы и максимумы в зависимости от того, сколько зон Френеля лежит в отверстии. Возьмем точку A на краю отверстия

19