Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Плотников А.Н. Статистическое моделирование

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

1.45 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

X1 и Х2, что эквивалентно независимости событий A1 {X1<х1} и А2 {Х2<х2}, функция совместного распределения факторизуется и для ее определения достаточно знать функции распределения компонент

F(x1,x2)=F(x1)F(x2). (1.2.13)

Точно так же факторизуется и плотность совместного распределе-

ния:

f (x , x		) =	∂2 F (x , x	2	)	=	∂F (x ) ∂F (x		2	)	= f	(x ) f		(x		). (1.2.14)
	2		1					1					2		2
1			∂x1∂x2				∂x1	∂x2			1	1

Функция распределения СВ Y=X1+X2 представляет собой интеграл

G( y) = ∫ f (x1, x2 )dx1dx2 = ∫−∞∞ f1(x1)dx1∫−∞y−x1 f2 (x2 )dx2 ,

D(y)

(1.2.15)

где D(y) - область плоскости х1оx2, определяемая из условия х1+х2<у (рис. 1.2.1).

x2 y

О	x1

D( y)

Рис. 1.2.1. Область интегрирования для определения ПР суммы двух СВ

Дифференцируя (1.2.15) по у, находим плотность распределения суммы:

g( y) = dG( y) =	∞
g( y) = dG( y) =	∫	f (x ) f			( y − x )dx ,		(1.2.16)
dy	∫	1	1	2	1	1
		1	1	2	1	1
	−∞
или, учитывая симметрию функции Y=X1+Х2,
g(y) = ∞∫ f1 (y − x2 )f2 (x2 )dx2 .							(1.2.17)
−∞

Интеграл (1.2.16) и эквивалентный ему (1.2.17) называется сверткой и обозначается символом

g=f1*f2.		(1.2.18)
При композиции двух дискретных СВ интегралы (1.2.16) и (1.2.17)
преобразуются в суммы:
n1	n1
P( y) = ∑P1(x1(i) )P2 ( y − x1(i) ) = ∑P1( y − x1(i) )P2 (x2		(i) ) . (1.2.19)
i =1	i=1
В примере, приведенном в предыдущем пункте, был использован

тот факт, что сумма двух нормальных величин также является нормальной, среднее значение и дисперсия которой равны соответственно

сумме	средних и сумме дисперсий слагаемых: μ = μ1+μ2 ,
σ 2 = σ1	2 + σ 2 2 . То же самое справедливо для любого числа независи-

мых нормальных СВ. При этом плотность распределения суммы из n слагаемых будет представлять собой результат n-кратной последовательной свертки. Суммы непрерывных СВ с распределением, отличным от нормального, уже не сохраняют закон распределения слагаемых, даже если слагаемые распределены одинаково. Однако с увеличением числа слагаемых сумма всякий раз достаточно быстро нормализуется, что напрямую следует из центральной предельной теоремы.

Для иллюстрации центральной предельной теоремы рассмотрим сумму независимых СВ с равномерным распределением на отрезке

n
[0;1]Υn = ∑Χi . Последовательно производя преобразования (1.2.16),
i =1
получим для ПР gn ( y) следующие рекуррентные соотношения:
g (y) =	1, y [0,1];	(1.2.20)
1
	0, y [0,1];

y
gn+1( y) = ∫gn (x)dx.	(1.2.21)

y−1

Графики функций g2 ÷ g4 изображены на рис. 1.2.2.

21	22

1
0.8		2			3
		2			3
0.6
						4
0.4
0.2
0	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4

Рис. 1.2.2. Нормализация суммы случайных слагаемых R(0,1)

Как видно, последовательность gn достаточно быстро приближается к кривой плотности нормального распределения с параметрами

μ =

σ 2 =

. Если ввести нормированную величину

= (Y

−

)

, то при n ≥ 6 получим кривую, практически неот-

−

z 2

личимую от стандартной нормальной кривой Гаусса: ϕ0

(z) =

2π

6. В п. 1.1 была найдена плотность распределения квадрата стандартной нормальной СВ. Используя соотношение (1.2.16), найдем плотность распределения суммы квадратов двух независимых стан-

дартных нормальных СВ: Y = Z 2

+ Z 2

f (y)= y

e−

= e−

y y

u =

z −

∫0

2π(y − z1 )

2π ∫0

z(y − z)

2 y

−

y 1

−

−∫1

1 −

arcsin u

−1

2 e

(1.2.22)

2π

(1−u2 )

2π

При произвольном k>2, разделяя образующуюся последовательность

по четным/нечетным номерам, ПР χk2

= ∑Ζi2 по индукции получаем в

виде

i =1

−1e−

( y)

(1.2.23)

χk

Г(

∞

где Г(z) = ∫t z −1e−t dt

– гамма-функция Эйлера, обладающая следую-

щими свойствами:

Г(z +1) = zГ(z), Г(1 ) =

π , Г (1)=1.

Для целого аргумента Γ(n +1) = n!

Распределение χk2

играет очень важную роль при решении мно-

гих прикладных задач математической статистики. Среднее и дисперсия χk2 равны:

M [χk2 ]= k ;	D[χk2 ]= 2k .	(1.2.24)
В приложениях часто встречаются распределения, получающиеся
из χk2 путем его преобразования.	Например, χk =	χk2 . Плотность

распределения χk найдем, используя полученное в п. 1.1 соотношение

(1.1.2):


	x	k −1		e		−	1		x2
fχк (х) =							2
											.	(1.2.25)

			k					k
	Г(				)2					−1
								2

		2

23	24

При k = 2 возникает распределение Рэлея – распределение эксцен-

триситета параллельных осей вала и отверстия: fχ

(x) = xe

−

2 .

При k = 3 возникает распределение Максвелла – распределение ве-

личины

скорости молекулы газа в трехмерном пространстве:

fχ

(x) =

−

2 .

Среднее и дисперсия величиныχk равны:

	2Г(	k +1		)
					2		2
			2
M [χk ]=					; D[χk ]= M [χk	]− (M [χk ])		= k −
	k
	Г

	2

7. Пусть СВ X1, X2	имеют ПР совместного
fX1X 2 (x1, x2 ) , а Y = X1X 2	- их произведение. Область

творяющая условию {Y < y}, показана на рис.1.2.3.

2Г2 k 2+1

Г2 k .

распределения

D( y) , удовле-

x2			x2		= y = −a2
	x1x2 = y = a	2	x x	2	= y = −a2
	x1x2 = y = a		1	2
			D-(y)
О	x1		О		x1
О					x1
D+(y)
	а		б

Рис.1.2.3. Область интегрирования для определения произведения двух СВ

Интегрируя ПР совместного распределения по области D( y) , находим ФР Y :

				y
0		∞	∞	x1
G( y) = ∫	( ∫		f (x1, x2 )dx2 )dx1 + ∫( ∫ f (x1, x2 )dx2 )dx1 . (1.2.26)
−∞		y	0	−∞
		x1

Дифференцируя по y , находим ПР произведения:

∞

fY ( y) =

G( y) = −

∫

f (x,

)

∫

f (x,

)

. (1.2.27)

x x

−∞

Если X1 и X2 независимы и симметричны относительно нуля, то

(1.2.27) преобразуется к виду

∞

fY ( y) = 2∫ f1(x) f2 (

= 2∫ f1

) f2 (x)

)

(

(1.2.28)

Если же X1, X2 независимые положительно–определенные СВ, то

множитель 2 исчезает.

X 2

8. Для преобразования Y =

область

D( y) показана на

рис. 1.2.4.

x2 = yx1

D(y

)

Рис.1.2.4. Область интегрирования для определения отношения двух СВ

Интегрируя, получаем ФР Y в виде

0	∞		∞	yx1
G( y) = ∫	( ∫	f (x1, x2 )dx2 )dx1 + ∫( ∫ f (x1, x2 )dx2 )dx1 .				(1.2.29)
−∞	yx1		0	−∞
Дифференцируем по y , находим ПР Y :
fY ( y) =		d	G( y) = ∞∫xf (x, yx)dx − ∫0		xf (x, yx)dx . (1.2.30)
fY ( y) =		dy	G( y) = ∞∫xf (x, yx)dx − ∫0		xf (x, yx)dx . (1.2.30)
		dy	0	−∞
Для пары независимых и положительных СВ (1.2.30) преобразует-
ся к виду			fY ( y) = ∞∫xf1(x) f2 ( yx)dx .
			fY ( y) = ∞∫xf1(x) f2 ( yx)dx .			(1.2.31)
			0

25	26

x1 , x2 ,..., xn

Пусть, Y m . Подставляя в (1.2.31) ПР (1.2.23), получим

= χ2

χ2n

m + n

m−2

fY ( y) =

, y ≥ 0.

(1.2.32)

m+n

(1+ y)

Для отношения средних квадратов Ζ =

χ2

, связанного с

Y линейным соотношением Ζ =

Y , будем иметь

m + n n

m−2

z 2

fZ (z) =

, z ≥ 0.

(1.2.33)

m+n

+ z

2 m

Соотношение (1.2.33) есть ПР диперсионного отношения Фишера

–основной инструмент дисперсионного анализа.

8.Найдем дисперсию суммы двух СВ, полагая наличие связи между ними. Используя свойства средних и дисперсий, получим

D[X +Υ] = М[Χ +Υ]2 −(μ + μ )2 = М[Χ2 ]+ М[Υ2					]− μ2	− μ2		+
			Χ	Υ	Χ		Υ
+2(М[ΧΥ]− μ μ ) = σ2			+σ2	+2(М[ΧΥ]− μ μ ).				(1.2.34)
Χ	Υ	Χ	Υ	Χ Υ
С помощью	тождественного преобразования				вида		Χ − μΧ + μΧ

получаем, что последнее слагаемое в (1.2.34) представляет собой сме-

шанный второй центральный момент 2М[(Χ − μΧ )(Υ − μΥ )].			Таким
образом, окончательно дисперсию суммы получаем в виде
σΧ2	+Υ =σΧ2 +σΥ2	+ 2cov(Χ,Υ),	(1.2.35)
где cov(Χ, Υ) = М[(Χ − μΧ )(Υ − μΥ )]-		ковариация, служащая	мерой

линейной зависимости между Х и Y. Удельная мера, или коэффициент корреляции, определяется как

ρ(Χ,Υ) = cov(Χ,Υ) .

σΧσΥ

Подставив (1.2.34) в (1.2.35), для дисперсии суммы будем иметь

σ2Χ+Υ = σ2Χ +σΥ2

+ 2ρ(Χ,Υ)σΧσΥ .

(1.2.36)

Коэффициент корреляции, очевидно, сохраняет постоянное значе-

ние при масштабировании

Χ~ = аΧ , Υ~ = bΥ , где a и b – произвольные

положительные константы.

Полагая

а =

, b =

получим

σΧ

σΥ

Χσ

Υ .

Так

как

σΧ

=σΥ =1,

Χ+Υ

=σΧ

+σΥ + 2ρ(Χ,Υ)σ

~ ~

= 2(1+ ρ(Χ,Υ)) . Левая часть последнего соотношения неотрица-

Χ+Υ

~ ~

тельна, следовательно ρ(Χ,Υ) ≤1.

Множественная ковариация системы СВ Χk задается симметричной ковариационной матрицей n×n. На главной диагонали стоят дис-

персии σ 2 = cov(Χ	k	, Х	k	) . Внедиагональные элементы представляют
k	k		k

собой соответствующие ковариации cov(Χk , X m ) . Путем деления

ковариационной матрицы на соответствующие дисперсии образуется корреляционная матрица, сохраняющая симметрию. На ее главной диагонали стоят 1, внедиагональными элементами являются коэффи-

циенты корреляции ρ(Χk , X m ) .

1.3. Закон совместного распределения выборочных значений

1. Все множество объектов, из которого производится их случайный равновероятный отбор, или, в терминах случайной величины, множество всех ее возможных значений, называется генеральной совокупностью. Группа из конечного числа n объектов, охваченных об-

следованием, называется случайной выборкой, или просто - выборкой,

а их количество n - объемом выборки. Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно точно повторяет пропорции генеральной совокупности. В вероятностной интерпретации набор выборочных значений представляет собой n «экземпляров» одной и той же СВ X, т.е. последовательность значений СВ X, полученных в результате n независимых в совокупности испы-

27	28

таний. Именно это априорное умопостроение, кажущееся, с одной стороны, несколько искусственным, а с другой стороны, почти очевидным, позволяет применять к выборочным значениям аппарат теории вероятностей. При этом следует заметить, что полная и замкнутая теория выборочных распределений построена только для выборок из нормальных совокупностей. В связи с этим в дальнейшем изложении все рассматриваемые совокупности будут априорно полагаться нормальными (если не оговорено обратное). Интерпретация выборки как

последовательности независимых реализаций одной и той же СВ по-

зволяет однозначно установить связь между законом совместного распределения выборочных значений и законом распределения исследуемой СВ X:

FX1X 2 ..X n (x1, x2 ,..., xn ) = FX (x1)FX (x2 )...FX (xn ) .

(1.3.1)

Вслучае непрерывной СВ аналогичное соотношение справедливо

идля плотности совместного распределения:

fX1X 2..X n (x1, x2 ,..., xn ) = fX (x1) fX (x2 )... fX (xn ) .

(1.3.2)

При этом, поскольку все выборочные значения равновероятны с

вероятностью

p =

, выборочное среднее, определяемое как среднее

арифметическое

x = ∑

∑xi , представляет

собой

СВ

i=1 n

n i=1

1 ∑X (i)

(n -

кратную композицию величины 1 X

с самой со-

n i =1

бой). Плотность распределения выборочного среднего можно полу-

чить, воспользовавшись тем, что СВ Un = ∑X (i) имеет ПР, представ-

i =1

ляющую собой n - кратную свертку плотности распределения СВ X:

fU n = fX * fX *...* fX .

(1.3.3)

Так как величины Un и X связаны линейным соотношением, то на основании правила линейного преобразования (п. 1.1.) получим

f		(x) = nfU n (nx) .	(1.3.4)
	X

2. Чтобы прояснить смысл соотношений (1.3.3), (1.3.4), рассмотрим следующий пример. Пусть X — стандартная нормальная СВ N (0,1) . Выборка объемом n = 2 представляет собой две независимых

СВ

X1 , X 2

плотностью

совместного

распределения

x 2

+x 2

f (x1, x2 ) =

−

2π

Свертка (1.3.3) дает следующий результат:

∞

1 2

−

u 2

∞

1 1 2

fU 2 (u)= 21π

∫ e

−

+(u −x)

dx = e2π

∫e

−

dx =

x−

−∞

−

u 2

= v =

2 x −

. Совершив второе преобразование путем

(2x) = e−x2 .

деления на 2, находим

(x) = 2 f

U 2

Выборочное среднее в данном случае имеет нормальное распреде-

ление с параметрами μ = 0 , σ =

. С увеличением объема выборки

N (0,1)

из

СКО

выборочного

среднего

уменьшается по закону

σ = 1n . При распределениях, отличных от нормального, выборочное

среднее, представляющее собой композицию нескольких СВ с одним законом распределения, достаточно быстро нормализуется с увеличением объема выборки. Этот факт, являющийся следствием центральной предельной теоремы, был проиллюстрирован в п.1.2

Математическая статистика решает как бы «обратную задачу» теории вероятностей. То есть, если при классическом определении случайного события и вероятности по известным характеристикам генеральной совокупности вычислялись вероятности выборочных значений (результатов независимых испытаний), то в практических приложениях, наоборот, по имеющимся в распоряжении «наблюденным» выборочным значениям оцениваются неизвестные числовые характеристики и законы распределения генеральной совокупности.

29	30

1.4.Выборочные оценки параметров распределения

1.При практическом применении статистических методов для анализа качества продукции, стабильности и точности технологических и измерительных процессов чаще всего приходится иметь дело со статистическим материалом ограниченного объема - 10÷100 измерений, либо сериями 5÷25 проб - малых выборок по 3÷7 измерений. Такого ограниченного материала недостаточно, чтобы найти заранее неизвестный закон распределения, хотя можно определить его важнейшие числовые характеристики: среднее и дисперсию либо параметры априорно известного закона распределения. Оценкой неизвестного параметра θ называется СВ, представляющая собой функцию выбо-

рочных значений x1, x2 ,..., xn :θˆ =ϕ(x1,..., xn ), вид которой определяет-

ся, исходя из «физического смысла» параметра θ и информации о законе распределения СВ X.

В качестве оценки математического ожидания μˆ

чаще всего ис-

пользуется выборочное среднее: μˆ = x =

x .Числовые характери-

n ∑i=1

стики

равны: M [

]= μ , D[

] =

σ 2

Несмещенная выборочная оценка дисперсии, как известно, имеет

вид

s2 =

n (x − x)2

−

x2 .

∑i=1

n −1

n −1∑i=1

Однако выборочное СКО s =

∑(xi − x)2 не является несме-

n −

1 i=1

щенной оценкой параметра σ . В этом легко убедиться, рассмотрев дисперсию s: D[S]= M [S 2 ]− (M [S])2 .

Поскольку M [S 2 ]=σ 2 , приходим к очевидному выводу, что

M [S]<σ .

Это отрицательное смещение оценки s при выборках небольшого объема может приводить к заниженной оценке средней ширины зоны рассеивания процесса, приводя тем самым к завышенной оценке числовых индексов (Ср, Срк и т.д.).

2. Для установления ПР величин Sn2 , Sn и определения несмещенной оценки Sn* рассмотрим нормированную сумму квадратов откло-

S(2n−1)

нений:

Qn =

∑(xk − x)

. Используя тождественное преоб-

k =1

в следующем виде:

разование, представим Q n

Qn =

∑[xk − μ −(x − μ)] =

∑(xk − μ)

− 2(x − μ)∑(xk − μ) +

k =1

n(x − μ)2 }=

− μ)2 −

(x − μ)2 =

1 n

(x − μ)2

−

σ 2 ∑

σ 2

σ 2 ∑

k =1

−

(x − μ)2.

(1.4.1)

Внося σ 2 и σ

под знак квадрата, убеждаемся, что каждое из

слагаемых представляет собой СВ χ12 - квадрат стандартной нормаль-

. Поскольку

адди-

ной СВ. Перепишем (1.4.1) в виде Qn

+ χ1

= χn

χm

тивна по степеням свободы ( χm2

+ χm2

= χm2

), приходим к выводу,

что

S 2 (n −1)

Qn =

= χn−1 .

(1.4.2)

σ2

Величина χт2 была рассмотрена в п.1.2. Используя формулу ли-

S 2

нейного преобразования

Y = aX

( a =

), найдем ПР

n −1

σ 2

2 (x) = f 2

(x) = (n −1) f 2

((n −1)x) =

χn

−1

χn

−1

σ2

n−1

n−1 n−3

−

(n−1)x

(n −1)

(1.4.3)

n−1

−1

31	32

Среднее

S 2

равно 1. Дисперсию найдем,

используя соотношение

σ2

σ 2

= 2(n −1)

и формулу

для

дисперсии

нормированной

СВ

−1

σаХ2

= а2σХ2 . Полагая a =

, получаем

n −1

σ 2 2 = σ

2 2

2(n −1)

(1.4.4)

n −1

χn−1

(n −1)

σ 2

n−1

Числовые характеристики выборочной дисперсии соответственно

составят:

=σ 2

σ 2

2σ 4

(1.4.5)

n −1

χ2

Для нормированного выборочного СКО

n−1

ПР найдем,

n −1

используя преобразование Y =

n−1

(n−1) x2

2(n −1)

xn−2e−

f S

(x) = 2xf

) =

(1.4.6)

−

−1

σ 2

2 2

Рассмотрим структуру последовательности μSn

= μn . Для n = 2,3

∞

μn = ∫xf

(x)dx

легко

вычисляются

составляют:

μ2 =

0 σ

μ3 = 2π . Рассмотрим случай n > 3:

n−1

(n−1) x2

∞

(n −1)

xn−1e−

μn = 2∫

dx =

n−1

−1

2 Γ

n−3

n−2

−

(n−1) x2

∞

n−3

−

(n−1) x2

= − 2

(n −1)

+ 2(n − 2)∫

(n −1)

dx.

n−1

−1

2 2 Γ

Первое

слагаемое

равно

0. Второе

слагаемое

подстановкой

t =

n − 3

x ,

используя рекуррентное свойство Γ(z) ,

преобразуем к

n −1

виду

n−3

−2) n −1 ∞

−3)t 2

(n −3)

tn−3

−

dt =

n −3

∫

n−1 n −1 e

∞

n−3

(n−3)t 2

2(n − 2) n −1

(n −3)

tn−3

−

n − 2

∫

dt =

μn−2. (1.4.7)

n−1

n−3

n −3

(n −1)(n −3)

2 2 n −3 0

2 2 Γ

Заменяя в рекуррентном соотношении (1.4.7) n′ = n − 2 ( n ≥ 4 ) и используя рекуррентное свойство Гамма-функции, по индукции получаем формулу общего члена последовательности μn :

			n
			2Γ
			2Γ
μ	n	=	2		, n ≥ 2 .	(1.4.8)
μ		=	n	−1	, n ≥ 2 .	(1.4.8)
			n	−1
			n −1Γ
			n −1Γ	2
				2

Таким образом, несмещенную точечную выборочную оценку СКО получим, устранив отрицательное смещение М[S] тем же приемом, что и для s2:

	n −1
	Г		n
	Г	2	n
s* =		2	∑	(x − x)2 .	(1.4.9)
s* =				(x − x)2 .	(1.4.9)
		n		i
	2Г		i=1
	2Г		i=1
		2

33	34

В табл. 1.4.1 приведена

величина

относительной ошибки

εs = s* −* s ×100% в зависимости от объема выборки. s

Таблица 1.4.1

εs,%

20,21

11,38

7,78

6,01

4,85

4,06

3,50

3,07

2,74

2,25

1,77

1,31

3. Эффективность полученной оценки будет определяться диспер-

сией СВ

−1 2

* 2

n −1

σ 2

= M

− M

−1 ,

(1.4.10)

и при больших n имеет место асимптотика σ

Можно указать еще один способ вычисления σ

2 2

= σ 2 .

Внося

σ 2

n 2−1 в (1.4.10) под знак квадрата и используя рекуррентное свойство

Γ(z) , получаем рекуррентное соотношение:

σn2+1		1 − (n −1)σ 2		, n ≥ 2 , σ22 =	π
	=		n			−1.	(1.4.11)
		(n −1)(1 +σn2 )			2

Точные значения σn			приведены в табл. 1.4.2 в столбце σσˆ s .

4. Другой способ получения оценок параметров распределения основан на порядковых статистиках. Рассмотрим выборку непрерыв-

ной СВ объемом n, полученную при стандартных условиях из сово-

купности с ФР F (x) = P{X < x} и ПР	f	X	(x) = dFX (x)	:	x , x	2	,..., x	n	.
X		X	dx		1	2		n
			dx		yn,1, yn,2 ,..., yn,n
Выборка, упорядоченная по		возрастанию			yn,1, yn,2 ,..., yn,n

( m > k, yn,m > yn,k ) , называется вариационным рядом. Член вариационного ряда с фиксированным номером yn,k называется элементар-

ной порядковой статистикой. Каждому номеру k (1 ≤ k ≤ n) соответ-

ствует случайная величина Yn,k с законом распределения, зависящим от FX , fX ,n,k. Основным исходным пунктом при установлении закона распределения Yn,k служит биномиальное (точное полиномиальное)

распределение дискретных случайных величин.

Используем универсальное автопреобразование U (X ) = FX (X ) (п.1.2) и рассмотрим вариационный ряд Un,k , все члены которого будут сосредоточены на отрезке [0;1] (рис.1.4.1).

Рис.1.4.1. Схема расположения вариационного ряда выборки из совокупности R(0,1)

Вариационный ряд Un,k , очевидно, разбивается на 3 группы: Ι со-


держит k −1 значение, меньшее Un,k ; ΙΙ – само значение Un,k ;			ΙΙΙ –
n − k	значений, больших Un,k . Пусть значение Un,k находится в точ-
ке t	(t = FX (Un,k )) . Тогда вероятность того, что k −1 значение ока-
жется левее точки t составит tk −1 , вероятность того, что		n − k	значе-
ний окажется правее точки t ,соответственно (1−t)n−k .		Вероятность
всей композиции будет равна произведению tk −1(1−t)n−k .		Количест-

во комбинаций, реализующих такое расположение, согласно формуле

35	36

полиномиального

распределения (см. ссылку. на

стр. 7),

составит

R(k −1,1, n − k) =

(k −1)!1!(n − k)!

Таким

образом,

функция

распределения

Un,k

составит

FU n,k (u) = P{Un,k < u} = ∫

k −1

n−k

(1−t)

dt .

(1.4.12)

(k −1)!(n − k)!

Дифференцируя

последнее

выражение

по

вспоминая, что

u = F (x) ,

= f

(x) , получаем плотность распределения Y

n,k

(x) = nCk −1F

(x)k −1[1 − F

(x)]n−k

n,k

(x) ,

(1.4.13)

n−1 X

или, используя свойство биномиальных коэффициентов Сnk ,

получаем

тождественную форму:

n,k

(x)

= kCk F

(x)k −1[1− F

(x)]n−k

(x) .

(1.4.14)

n X

В частности, для крайних членов вариационного ряда плотность

распределения получаем, полагая k =1 - для минимального:

n,1

(x) = n[1

− F (x)]n−1

(x),

(1.4.15)

и k = n - для максимального:

f	n,n	(x) = nF (x)n−1	f	X	(x) .	(1.4.16)
	n,n	X		X

В статистических приложениях большее распространение получили не сами элементарные порядковые статистики, а их композиции. Главным образом это размах Rn = Yn,n −Yn,1 и медиана выборки четно-

го объема M		=	1	(Y		+Y	n+2 ) , представляющие собой соответствен-

	n		2	n,	n	n,
							2
				2

но разность и сумму двух членов вариационного ряда (медианой вы-

борки нечетного объема служит статистика Y n+1 ).

n, 2

Для установления законов распределения размаха и медианы необходимо знать закон совместного распределения двух элементарных


порядковых статистик. Пусть их номера k и m	(m > k ). Как и в пре-
дыдущем случае, применим универсальное	автопреобразование
U (X ) = FX (X ) и используем аналогичную схему рассуждений.		В

данном случае ряд Uk окажется разбитым на 5 групп (рис. 1.4.2) численностью k −1, 1, m − k −1, 1, n − m соответственно.

Рис. 1.4.2. Схема расположения вариационного ряда выборки из совокупности R(0,1) с двумя фиксированными членами

t2=t1

Рис. 1.4.3. Схема области интегрирования для определения закона совместного распределения двух порядковых статистик

Функцию совместного распределения двух порядковых статистик получаем в виде:

Fk ,m (u1,u2 ) = P{(t1,t2 ) D} =

tk −1(t −t )m−k −1(1−t )n−m dt dt .

(k −1)!1!(m − k −1)!1!(n

− m)!∫∫D

Дифференцируя

Fk ,m (u1 ,u2 ) по

x1 и x2

и учитывая,

что

= F

) ,

du j

= f

);

j =1,2,

окончательно получаем плот-

dx j

ность распределения

fk ,m (x1, x2 ) в виде

37	38

							n! fX	(x1) fX (x2 )			k −1
f		(x , x			) =					F (x )	[F (x ) −
f		(x , x			) =	(k	−1)!(m			F (x )	[F (x ) −
	k ,m		1	2		(k	−1)!(m	− k −1)!(n − m)! X 1			X 2
− F			(x )]m−k −1[1− F (x					2	)]n−m .		(1.4.17)
	X		1				X	2

Эту схему рассуждений очевидно можно экстраполировать на любое количество членов вариационного ряда, и ПР совместного распределения всех членов вариационного ряда будет иметь вид

n
f1,2,...,n (x1, x2 ,..., xn ) = n!∏ fX (xj ) , x1 < x2 <..., xn .	(1.4.18)

j=1

5.Закон распределения выборочного размаха найдем как частный

случай	разности	между	двумя	членами вариационного		ряда:
Rn,k ,m = Yn,m −Yn,k ,		m > k .	Плотность распределения разности			двух
случайных величин имеет вид
		fRk,m ( y) = ∞∫ fk ,m (x, y + x)dx , y ≥ 0 ,			(1.4.19)
где fk ,m			−∞
где fk ,m	–ПР совместного распределения (1.4.17).
Рассмотрим два частных случая:
•	межвариационный (последовательный) размах.				Полагая в
(1.4.19)	m = k +1, 1 ≤ k ≤ n −1, получаем
		∞
fRk,k +1 ( y) = n(n −1)Cnk−−21 ∫ fX (x) fX ( y + x)FXk −1[1− FX ( y + x)]n−k −1 dx ,
		−∞
			y ≥ 0 , n ≥ 2 ;		(1.4.20)
• полный размах выборки (в дальнейшем просто размах).
Полагая в (1.4.17), (1.4.19) k =1,				m = n , получаем
			∞
	fRn ( y) = n(n −1) ∫ fX (x) fX ( y + x)[FX ( y + x) −
			−∞
		− F (x)]n−2 dx, y ≥ 0 .			(1.4.21)
			X
Статистика Rn выборки из нормальной совокупности является
одной из наиболее популярных, поэтому рассмотрим ПР					fRn	более

детально. Как обычно в подобных случаях, рассмотрим совокупность N(0,1) , поскольку Rn от μ не зависит, а при произвольном σ раз-

мах определяется умножением на σ размаха выборки из

N(0,1) (другими словами рассматривается нормированный размах

выборки из произвольной нормальной совокупности).

Приоговоренныхусловиях f

(x) =

e−

(x) =

1 +Ф (x).

2π

Подставляя n = 2,3 в (1.4.21), находим:

−

( y) =

(

)

(1.4.22)

Для n > 3 точные формулы ПР существуют только в квадратуре и для больших n нужно исследовать их асимптотическое поведение. Вид ПР Rn для n = 2 ÷ 4 , 10 представлен на рис. 1.4.4.

		2	4		10
		3	4
0.4
0.2
0	0	1	2	3	4	5	6
		Рис. 1.4.4. Плотность выборочного размаха
		в зависимости от объема выборки n

Асимптотика числовых характеристик нормированного размаха

Rσn имеет вид

μRn		≈	4ln n − ln ln n − ln 4π + 2C	≈ 2 2ln n ,	σ Rn ≈		π	. (1.4.23)
			2ln n				6ln n
	σ					σ

39	40

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.201520.1 Mб44Питтбуль.rtf
#
09.11.2019121.86 Кб3план курсовых проектов по орг торг пр.doc
#
06.09.201976.29 Кб3План развития роботов, черновик, 3 вариант.doc
#
06.05.20191.64 Mб1Планирование - Куликовских.doc
#
21.11.2018101.38 Кб2Планы семинаров по философии.doc
#
16.03.20151.45 Mб65Плотников А.Н. Статистическое моделирование.pdf
#
26.09.20196.03 Mб3По Access методичка.doc
#
28.03.201691.14 Кб36подг к егэ.doc
#
25.11.20193.19 Mб13ПОКС практич, ПКС.doc
#
16.03.201593.4 Кб26политический конфликт.rtf
#
07.06.201535.84 Кб27ПОЛИТОЛОГИЯ тесты Ермакова.doc