Случайные величины Часть 1

Пуассоновской называется целочисленная случайная величина, множество возможных значений которой

{0,1, 2,..., n,...} {xk k, k 0,1, 2,...},

а вероятности, с которыми значения принимаются, задаются формулой:

Число a 0 называется параметром пуассоновской случайной величины. Закон распределения имеет вид:

и называется пуассоновским законом распределения.

Условие нормировки при этом следует из разложения экспоненты в ряд Тейлора:

(Записать аналитическое выражение для функции распределения и построить ее график самостоятельно).

Сокращенное обозначение для пуассоновской случайной величины:

X(a) .

2.4.Непрерывные случайные величины. Плотность вероятностей

Определение. Случайная величина X , заданная на вероятностном пространстве ( , , P) , называется непрерывной или имеющей непрерывный

закон распределения, если существует такая функция f X (x) f (x) , что для любого x функция распределения F (x) случайной величины X допускает представление:

x

F (x) f (u)du . (2.3)

При этом функция f (x) называется плотностью вероятностей

(плотностью распределения вероятностей, плотностью распределения) случайной величины X .

Замечание. Для существования интеграла (2.3) предполагается, что плотность вероятностей f (x) является функцией непрерывна всюду, за

исключением, может быть, конечного числа точек. Из определения следует:

11

1. Если случайная величина X является непрерывной, то ее функция распределения F (x) непрерывна на всей числовой прямой.

(Это следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом). Следствие. Если случайная величина X является непрерывной, то

2. Если случайная величина X является непрерывной, то ее функция распределения F (x) является дифференцируемой во всех точках, где плотность

вероятностей f (x) непрерывна, и при этом справедливо равенство:

F (x) f (x) . (2.5)

(Этот факт также следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом).

В точках, где плотность вероятностей f (x) непрерывной не является, производная функции распределения F (x) не существует. Это означает, что в этих точках функция распределения F (x) , являясь функцией непрерывной, имеет излом, так что F (x 0) F (x 0) . Но таких точек в соответствии с

замечанием не более конечного числа и в них плотность вероятностей может быть задана произвольно (на величине интеграла (2.3) и на вероятностях событий, связанных со случайной величиной, в соответствии с (2.4) это никак не отражается).

Замечание. Говорят также, что равенство (2.5) выполняется «почти всюду» или «для почти всех x », понимая под этим справедливость равенства «везде» или «для всех x », кроме (возможно) x из некоторого множества нулевой меры (длины). Используя данную терминологию, можно сказать, что функция распределения непрерывной случайной величины является дифференцируемой почти всюду.

Геометрическая иллюстрация.

F(x)

Из равенства (2.5) и определения производной следует, что

12

плотность массы в точке х. Это обстоятельство и оправдывает использование термина «плотность» для функции f (x) .

Формулы (2.3) и (2.5) показывают, что между функцией распределения F (x) непрерывной случайной величины и плотностью вероятностей f (x)

существует взаимно однозначное соответствие. Поэтому по аналогии с дискретным случаем плотность вероятностей можно называть законом распределения непрерывной случайной величины или непрерывным законом распределения.

Свойства плотности вероятностей

f1). Плотность вероятностей f (x) является функцией неотрицательной:

неубывающей, то ее производная F (x) 0 . Поэтому свойство следует из равенства (2.5) ■.

f2). Площадь под графиком плотности вероятностей f (x) равна единице:

f (x)dx 1 - условие нормировки.

интервал [a,b) определяется как интеграл от плотности вероятностей по этому

a

▲ Поскольку в соответствии со свойством F6) функции распределения

a

13

Следствие. Для непрерывной случайной величины X

P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b)

и все вероятности определяются с помощью интеграла (2.6).

Графическая иллюстрация функции распределения и плотности вероятностей непрерывной случайной величины.

f (x)

P(a X b)

F(x)

x

0 x а b

Площадь под графиком f (x) равна 1.

2.5.Важнейшие непрерывные случайные величины

1.Равномерная случайная величина.

Говорят, что непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения (равномерное распределение) на отрезке [a,b] , если множество ее возможных значений [a,b] , а плотность вероятностей постоянна на этом отрезке:

f (x)

C , x [a,b]; 0 , x [a,b].

Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:

и для нее используется сокращенное обозначение: X R[a,b] .

Найдем функцию распределения F x случайной величины X R[a,b] . Для этого рассмотрим три случая:

14

1 , x b.

Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины X R[a,b] имеют вид:

f (x)

1

ва

F(x)

1

закон распределения (показательное, экспоненциальное распределение), если

15

Число 0 называется параметром показательного закона распределения, а для показательной случайной величины используется сокращенное обозначение: X E( ) .

Проверим условие нормировки:

Найдем функцию распределения случайной величины X E( ) . Для этого рассмотрим два случая:

Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины X E( ) имеют вид:

f (x)

F(x)

1

закон распределения (нормальное, гауссовское распределение) с параметрами

16

0 а x

Проверим условие нормировки:

для любых значений параметров а и 2 (при этом использовался известный в

В зависимости от изменения параметров плотность вероятностей нормального закона распределения меняется следующим образом.

Если параметр 2 фиксирован, то при изменении а кривая f (x) , не

изменяя своей формы, просто смещается вдоль оси абсцисс. Таким образом, параметр а является параметром сдвига (положения). Также параметр а характеризует среднее значение случайной величины.

f (x)

17

группируются около а, то есть степень разброса значений случайной величины около среднего значения а меньше.

и называется функцией Гаусса.

Функция распределения случайной величины X N (0,1) имеет вид:

18

f (x)

Ф(x)

Свойства функции Лапласа (x) :

1.(0) 12 ;

2.( x) 1 (x) для x 0 .

19

Геометрическая иллюстрация «Правила трех сигма».

f (x)

0, 9974

Нормальный закон распределения очень распространен и имеет чрезвычайно большое значение для практики. В этом мы убедимся, когда познакомимся с центральной предельной теоремой.

5. Случайная величина, имеющая закон распределения Коши.

Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины, распределенной по закону Коши, выглядят следующим образом:

f (x) 1

0

x

20