Методичка.ЛинАл

6. Даны векторы e1; e2, образующие ортогональный базис унитарного пространства. Найти (a; b); jaj; jbj, если: p

a = (1 + i)e1 + (2 ¡ i)e2; b = (1 + i)e1 + (2 + i)e2; je1j = 1= 2; je2j = 1.

7. Найти систему линейных уравнений, определяющую ортогональное дополнение линейного подпространства, заданного в некотором ортонормиро-

3. Даны два базиса: e1; e2; e3 и e01; e02; e03. Найти координаты вектора x в

базисе e01; e02; e03, если: e01 = e1 + e2 + e3; e02 = 3e1 + 4e3; e03 = e3; x = 3e1 ¡ 2e2 + e3.

4. Является ли унитарным пространство C2, если паре векторов x = (x1; x2); y = (y1; y2) поставлено в соответствие число:

а) x1y¹2;

б) (3 + i)x1y¹2 + (3 ¡ i)x2y¹1?

5. В евклидовом пространстве многочленов степени не выше первой, рас-

¡1

g1 = 1; g2 = x построить ортонормированный.

6. Даны векторы e1 и e2, образующие ортонормированный базис. Найти

(a; b); jaj; jbj, если a = 5e1 ¡ (3 + 4i)e2; b = 3ie1 + (i ¡ 2)e2.

7. Линейное подпространство L арифметического пространства со стандартным скалярным произведением образовано векторами, компоненты которых удовлетворяют однородной системе линейных уравнений:

x1 +x2 +x3 +x4 = 0. Найти ортогональную проекцию y на L и ортогональную составляющую z, относительно L вектора x = (1; ¡2; 3; ¡4).

41

Вариант 15

1. Является ли комплексным линейным пространством множество всех многочленов от одной переменной с комплексными коэффициентами:

4.Является ли унитарным пространство Cn, если паре векторов

x = (x1; x2; : : : ; xn); y = (y1; y2; : : : ; yn) поставлено в соответствие число

3x1y¹1 + 4x2y¹2, а)n = 2, б)n ¸ 3?

5.В евклидовом пространстве V3 даны два ортогональных вектора a и b.

Найти вектор c такой, при котором векторы a; b; c образуют ортогональный базис, если: a = 2i + 3j ¡ k; b = ¡i + j + k.

ным произведением найти базис в ортогональном дополнении подпространства, заданного системой линейных уравнений:

Вариант 16

1. Является ли вещественным линейным пространством множество всех вещественных функций, непрерывных во всех точках [a,b] числовой оси, кро-

ме x0 2 [a; b]?

2. Найти размерность и базис линейной оболочки системы столбцов: a = (1 1 1 1)T ; b = (1 1 1 3)T ; c = (3 ¡ 5 7 2)T ; d = (1 ¡ 7 5 ¡ 2)T .

3. Найти матрицу перехода от базиса a1; a2, к базису b1; b2 по указанным расположениям этих векторов в базисе e1; e2:

a1 = e1 + 4e2; a2 = 3e1 + 5e2; b1 = 7e1 + e2; b2 = e2.

4.Является ли унитарным пространство C2, если паре векторов x = (x1; x2); y = (y1; y2) поставлено в соответствие число:

а) ix1y¹2 + ix2y¹1;

б) x1y¹1 + (1 + i)x1y¹2 + (1 ¡ i)x2y¹1 + 3x2y¹2?

5. При помощи процесса ортогонализации построить ортонормированный базис в линейной оболочке заданных векторов комплексного арифметическо-

42

го пространства со стандартным скалярным произведением: (2 ¡ i; i);

(4 ¡ i; 2 ¡ 3i).

6. Даны векторы e1; e2; e3, образующие ортогональный базис. Найти

(a; b); jaj; jbj, если a = 2e1 ¡ 3e2 + e3; b = e1 + 4e2 ¡ e3; je1j = 3; je2j = 2; je3j = 4.

7. Линейное подпространство L арифметического пространства со стандартным скалярным произведением образовано векторами, компоненты которых удовлетворяют однородной системе линейных уравнений:

Найти ортогональную проекцию y на L и ортогональную составляющую z, относительно L вектора x = (8; ¡2; 8; 3).

Вариант 17

1. Является ли подмножество L элементов данного пространства его подпространством:

2.Даны векторы a = e1 + e2; b = 2e1 ¡ e2, где e1; e2 – базис. Доказать, что векторы a и b образуют базис, найти координаты вектора c = 2e1 ¡ 4e2

вбазисе a; b.

3.Найти матрицу перехода от базиса a1; a2 к базису b1; b2 по указанным разложениям этих векторов в базисе e1; e2:

a1 = e1 ¡ e2; a2 = 2e1 + 5e2; b1 = 2e1 ¡ 3e2; b2 = 5e2 ¡ 3e1.

4. Является ли унитарным пространство C2, если паре векторов x = (x1; x2); y = (y1; y2) поставлено в соответствие число:

а) 5x1y¹1 + ix2y¹2;

б) 5x1y¹1 + ix1y¹2 ¡ ix2y¹1 + x2y¹2?

5. При помощи процесса ортогонализации построить ортонормированный базис в линейной оболочке заданных векторов комплексного арифметического пространства со стандартным скалярным произведением: (1; i; 1);

(2 ¡ i; i ¡ 1; 2).

43

6. Даны векторы e1; e2; e3, образующие ортогональный базис. Найти

(a; b); jaj; jbj, если a = e1 + e2 ¡ e3; b = e1 + e2 + e3; je1j = 2; je2j = 1; je3j = 3.

7. Линейное подпространство L арифметического пространства со стандартным скалярным произведением образовано векторами, компоненты которых удовлетворяют однородной системе линейных уравнений:

Найти ортогональную проекцию y на L и ортогональную составляющую z, относительно L вектора x = (2; 3; ¡1; ¡2).

Вариант 18

1.Является ли вещественным линейным пространством множество а) всех сходящихся последовательностей; б) всех расходящихся последовательностей?

2.Даны векторы a = 2e1 +3e2 +e3; b = ¡3e1 +2e2 +4e3; c = e1 ¡e2 ¡5e3, где e1; e2; e3 – базис. Доказать, что векторы a; b; c образуют базис. Найти

координаты вектора d = 4e1 + e2 ¡ 9e3 в базисе a; b; c.

3. Найти матрицу перехода от базиса a1; a2; a3 к базису b1; b2; b3 по указанным разложениям этих векторов в базисе e1; e2; e3:

a1 = 3e1 + 2e2 + e3; a2 = e1 ¡ 2e2 + e3; a3 = 2e1 + 2e2 + 3e3; b1 = e1 + e2; b2 = e1 ¡ e3; b3 = e1 + e2 + e3.

4.Является ли унитарным пространство C2, если паре векторов x = (x1; x2); y = (y1; y2) поставлено в соответствие число:

а) 2x1y¹1 + (2 ¡ i)x1y¹2 + (2 + i)x2y¹1 + 2x2y¹2; б) x1y¹1 + ix1y¹2 ¡ ix2y¹1 + x2y¹2?

5.В ортонормированном базисе четырехмерного евклидова пространства

пара векторов задана координатными столбцами: g1 = (1; 1; 2; 0);

g2 = (1; 0; 1; ¡1). Дополнить эту систему векторов до ортогонального базиса.

6.Даны векторы e1; e2, образующие ортогональный базис унитарного пространства. Найти (a; b); jaj; jbj, если:

a= e1 + (4 + i)e2; b = ¡2e1 + (3 ¡ i)e2; je1j = 2; je2j = 3.

7.Линейное подпространство L арифметического пространства со стан-

дартным скалярным произведением образовано векторами, компоненты которых удовлетворяют однородной системе линейных уравнений:

44

Найти ортогональную проекцию y на L и ортогональную составляющую z, относительно L вектора x = (0; 1; ¡2; 3).

Вариант 19

1. Будет ли линейным пространством множество многочленов f(t) от одного переменного с действительными коэффициентами, удовлетворяющих условиям: а) f(0) = 1; б) 2f(0) ¡ 3f(1) = 0?

2.Выяснить размерность пространства вещественных матриц R3£2 и указать один из базисов этого пространства.

3.Найти матрицу перехода от базиса a1; a2; a3 к базису b1; b2; b3 по указанным разложениям этих векторов в базисе e1; e2; e3:

a1 = e1 + e3; a2 = 2e1 + e2; a3 = 3e1 + 2e2;

b1 = 3e1 + 2e2; b2 = e1 + 7e2 + e3; b3 = 4e3 ¡ e1.

4.В линейном вещественном пространстве Rn£n вещественных квадратных матриц порядка n (n ¸ 2) задана функция F (X; Y ) = trXtrY . Определить, может ли заданная функция служить скалярным произведением, а

вслучае, если не может – указать, какие из свойств евклидова скалярного умножения не выполняются.

5.Систему векторов (1; i; 1; i); (1; i; 1; ¡i) комплексного арифметического пространства со стандартным скалярным произведением дополнить до ортонормированного базиса.

6.Даны векторы e1; e2, образующие ортогональный базис унитарного про-

странства. Найти (a; b); jaj; jbj, если: p

a = (2 + i)e1 + (2 ¡ i)e2; b = (2 + i)e1 + (2 + i)e2; je1j = 1= 2; je2j = 1.

7. Подпространство L евклидова пространства является линейной оболочкой векторов, заданных в некотором ортонормированном базисе пространства координатным столбцом a = (10 ¡ 20 10)T . Найти ортогональную проекцию на L и ортогональную составляющую относительно L вектора x, заданного в том же базисе координатным столбцом (0 1 0)T .

Вариант 20

1.Будет ли линейным пространством множество многочленов f(t) от одного переменного с действительными коэффициентами, удовлетворяющих условиям: а) f(0) = 0; б)f(1) + f(2) + ¢ ¢ ¢ + f(k) = 0?

2.Выяснить размерность пространства многочленов степени не выше четвертой P4(x) и указать один из базисов этого пространства.

3.Найти матрицу перехода от базиса 1; x + 1; (x + 1)2 к базису

(x ¡ 1)2; x ¡ 1; 1 в пространстве многочленов P2(x).

4. В линейном вещественном пространстве Rn£n вещественных квадратных матриц порядка n (n ¸ 2) задана функция F (X; Y ) = det XY . Определить, может ли заданная функция служить скалярным произведением, а

45

в случае, если не может – указать, какие из свойств евклидова скалярного умножения не выполняются.

5. В унитарном пространстве C3 по данному базису построить ортонормированный: g1 = (1; 1; i); g2 = (i; 1; 1); g3 = (1; i; 1).

6. Обозначим через x1; x2 и y1; y2 координаты векторов x и y в некотором базисе комплексного линейного двумерного пространства. Найти условия на комплексные коэффициенты a11; a12; a21 и a22, необходимые и достаточные

для того, чтобы функция F (x; y) = a11x1y¹1 + a12x1y¹2 + a21x2y¹1 + a22x2y¹2 задавала унитарное скалярное произведение.

7. Подпространство L евклидова пространства является линейной оболочкой вектора, заданного в некотором ортонормированном базисе пространства координатным столбцом a = (4 3 2 1)T . Найти ортогональную проекцию на L и ортогональную составляющую относительно L вектора x, заданного в том же базисе координатным столбцом (1 ¡ 1 1 ¡ 1)T .

Вариант 21

1. Является ли подмножество L элементов данного пространства его под-

пространством: L = ff(x) j jf(x)j · 3g ½ F[a;b],

где F[a;b] – множество всех вещественных функций, область определения которых – отрезок [a; b].

2. В пространстве R4 найти два различных базиса, имеющих общие векторы e1 = (1; 1; 0; 0); e2 = (0; 0; 1; 1).

3.Найти матрицу перехода от базиса 1; 2x ¡ 3 к базису x + 1; x в пространстве многочленов P1(x).

4.В линейном вещественном пространстве Rn£n вещественных квадратных матриц порядка n (n ¸ 2) задана функция F (X; Y ) = tr XT DY (D – диагональная матрица порядка n с положительными элементами на главной диагонали). Определить, может ли заданная функция служить скалярным произведением, а в случае, если не может – указать, какие из свойств евклидова скалярного умножения не выполняются.

5.При помощи процесса ортогонализации построить ортонормированный базис в линейной оболочке заданных векторов комплексного арифметического пространства со стандартным скалярным произведением:

(1 + i; 2 + i; 1 ¡ i); (¡2; 4 + i; 1 ¡ i); (1; 2 + i; 2 ¡ i).

6. В арифметическом пространстве скалярное произведение задано как

функция компонент x1; x2 и y1; y2 векторов x и y:

(x; y) = 4x1y1 ¡ 2x1y2 ¡ 2x2y1 + 4x2y2.

Вычислить матрицы Грама стандартного базиса и базиса, составленного из векторов f1 = (1; 0); f2 = (1; ¡1).

7. В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти базис в ортогональном дополнении подпростран-

46

1. Является ли подмножество L элементов данного пространства его подпространством:

а) L = ©® + ln(x2 + 1) j ® 2 Rª ½ C(¡1;+1); б) L = ©ln(x2 + 1)® j ® 2 Rª ½ C(¡1;+1)?

2. Систему многочленов t5 +t4; t5 ¡3t3; t5 +2t2; t5 ¡t дополнить до базиса

54 6

e01; e02; e03. Найти координаты e02 в базисе e1; e2; e3 и координаты e1 в базисе e01; e02; e03.

4.В линейном комплексном пространстве Cn£n вещественных квадратных матриц порядка n (n ¸ 2) задана функция F (X; Y ) = tr XY T . Определить, может ли заданная функция служить скалярным произведением, а

вслучае, если не может – указать, какие из свойств унитарного скалярного умножения не выполняются.

5.При помощи процесса ортогонализации построить ортонормированный базис в линейной оболочке заданных векторов комплексного арифметического пространства со стандартным скалярным произведением:

(1; i; 1); (i; 1; 0); (¡1; 0; 1).

6. В арифметическом пространстве скалярное произведение задано как

функция компонент x1; x2 и y1; y2 векторов x и y:

(x; y) = 4x1y1 ¡ 2x1y2 ¡ 2x2y1 + 4x2y2.

Вычислить матрицы Грама стандартного базиса и базиса, составленного из

векторов f1 = (1=2; 1=2); f2 = (¡1=2; 1=2).

7. Подпространство L евклидова пространства является линейной оболочкой векторов, заданных в некотором ортонормированном базисе пространства координатными столбцами a1 = (1 ¡ 1 1 0)T ; a2 = (2 ¡ 1 0 1)T . Найти ортогональную проекцию на L и ортогональную составляющую отно-

сительно L вектора x, заданного в том же базисе координатным столбцом

(1 0 2 ¡ 2)T .

47

Вариант 23

1. Является ли подмножество L элементов данного пространства его подпространством:

а) L = f(a1; 0; a3) j ai 2 Rg ½ R3;

б) L = f(a1; a2; a3) j ai 2 R; ja1j + ja2j + ja3j 6= 0g ½ R3?

2. Проверить, образуют ли элементы e1 = (2; 2; ¡1); e2 = (2; ¡1; 2);

e3 = (¡1; 2; 2) базис в пространстве R3, и если образуют, найти координаты элемента x = (1; 1; 1) в этом базисе.

3. Найти матрицу перехода от базиса a1; a2 к базису b1; b2 по указанным разложениям этих векторов в базисе e1; e2:

a1 = 3e1 + 2e2; a2 = e1 + e2; b1 = 2e1 + e2; b2 = 5e1 + 10e2.

4. В линейном комплексном пространстве Cn£n вещественных квадрат-

делить, может ли заданная функция служить скалярным произведением, а в случае, если не может – указать, какие из свойств унитарного скалярного

5.Систему векторов 1=p3 (1; ¡1; 0; 1); 1=p3 (1; 1; ¡1; 0) арифметического пространства со стандартным скалярным произведением дополнить до ортонормированного базиса.

6.Векторы x и y евклидова пространства заданы в базисе e1; e2 коорди-умножения не выполняются.

натными столбцами xe = (1 1)T ; ye = (0 1)T соответственно и известна мат-

e1; e2 и скалярное произведение векторов x и y, если f1 = 2e1+e2; f2 = e1+e2. 7. В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скаляр-

ным произведением найти базис в ортогональном дополнении подпростран-

Вариант 24

1. Является ли подмножество L элементов данного пространства его подпространством:

а) L = f(a1; a2; a3) j ai 2 R; ai > 0g ½ R3;

б) L = f(a1; a2; a3) j ai 2 R; a1 + a2 + a3 6= 0g ½ R3?

48

2. В пространстве R4 найти два различных базиса, имеющих общие век-

торы e1 = (1; 2; 0; 0); e2 = (0; 0; 2; 1).

3. Какая из данных матриц может быть матрицей перехода от одного бази-

делить, может ли заданная функция служить скалярным произведением, а в случае, если не может – указать, какие из свойств унитарного скалярного умножения не выполняются.

5.Систему векторов 1=2 (1; 1; 1; 1); 1=2 (1; ¡1; 1; ¡1) арифметического пространства со стандартным скалярным произведением дополнить до ортонормированного базиса.

6.Векторы x и y евклидова пространства заданы в базисе e1; e2 коорди-

натными столбцами xe = (1 1)T ; ye = (1 3)T соответственно и известна мат-

e1; e2 и скалярное произведение векторов x и y, если f1 = e1 ¡e2; f2 = e1 +e2. 7. В комплексном арифметическом пространстве со стандартным скалярным произведением найти ортонормированный базис ортогонального дополнения линейной оболочки векторов (1; ¡i; 3); (2i; 2; 6i); (1¡i; ¡1¡i; 3¡3i).

Вариант 25

1. Является ли подмножество L элементов данного пространства его подпространством:

а) L = f2n j n 2 Zg ½ R;

б) L = f2n + 1 j n 2 Zg ½ R; в) L = fa j a 2 Zg ½ R?

2. Определить является ли система элементов 1; t + 1; t2 + 1; t3 + 1;

t4 + 1; t5 + 1 базисом в пространстве P5(t), и если является, то найти координаты многочлена t5 ¡ t4 + t3 ¡ t2 ¡ t + 1 в этом базисе.

3. Найти матрицу перехода от базиса a1; a2 к базису b1; b2 по указанным разложениям этих векторов в базисе e1; e2:

a1 = 2e1 ¡ 3e2; a2 = ¡e1 + 3e2; b1 = ¡4e1 + 6e2; b2 = e1 + 3e2.

4. Пусть x1; x2 и y1; y2 координаты векторов x и y в некотором базисе вещественного линейного двумерного пространства. Найти условия на вещественные коэффициенты a11; a12; a21 и a22, необходимые и достаточные для

49

того, чтобы функция F (x; y) = a11x1y1 + a12x1y2 + a21x2y1 + a22x2y2 задавала евклидово скалярное произведение.

5.Ортогональную систему векторов (1; 1; i; i); (1; ¡1; i; ¡i) комплексного арифметического пространства со стандартным скалярным произведением дополнить до ортогонального базиса.

6.Векторы x и y унитарного пространства заданы в базисе e1; e2 коор-

рицу Грама ¡e базиса e1; e2 и скалярное произведение векторов x и y, если

f1 = e1 + ie2; f2 = ¡3ie1 + 4e2.

7. Подпространство L евклидова пространства является линейной оболочкой векторов, заданных в некотором ортонормированном базисе пространства координатными столбцами a1 = (1 ¡ 1 1 1)T ; a2 = (1 4 ¡ 1 0)T . Найти ортогональную проекцию на L и ортогональную составляющую относительно L вектора x, заданного в том же базисе координатным столбцом (2 1 1 0)T .

50