Методичка.ЛинАл

Для обоснования алгоритма нужно показать, что ни один из последовательно вычисленных элементов gi не является нулевым (иначе процесс оборвался бы преждевременно) и что все элементы gi попарно отогональны.

Тогда и элементы ei образуют ортогональную систему, но при этом длина каждого из них равна единице.

Ортогональная система из n ненулевых элементов согласно теореме 14 линейно независимая и поэтому в n-мерном евклидовом пространстве является базисом.

Докажем по методу математической индукции.

21

1.Докажем для n = 1.

g1 6= 0, т.к. g1 = f1, то систему, состоящую из одного элемента, считают ортогональной.

2.Пусть выполняется при n = k.

3.Докажем для n = k + 1.

fk+1 = (fk+1; e1)e1 + : : : + (fk+1; ek)ek;

т.е. элемент fk+1 является линейной комбинацией элементов e1; e2; : : : ; ek, которые выражаются через f1; f2; : : : ; fk.

Следовательно, fk+1 является линейной комбинацией f1; f2; : : : ; fk, а следовательно, система элементов f1; f2; : : : ; fk+1 линейно зависимая. Но это противоречит условию линейной независимости системы f1; f2; : : : ; fn.

Итак, предположение о том, что gk+1 = µ, привело к противоречию.

В вычислениях удобны формулы, где сначала последовательно вычисляются элементы g1; g2; : : : ; gn, а затем проводится их нормировка, приводящая

П р и м е р 10. В евклидовом пространстве дан базис: f1 = (3; 1; 2)T ; f2 = (1; 1; 1)T ; f3 = (0; 2; 3)T :

22

По этому базису построить ортонормированный базис. Скалярное произведение задано стандартным образом

(x; y) = x1y1 + x2y2 + x3y3:

2.3 Выражение скалярного произведения через компоненты сомножителей

Пусть x; y 2 E, e1; e2; : : : ; en – базис этого пространства, x; y в этом базисе представляются:

x = x1e1 + x2e2 + : : : + xnen; y = y1e1 + y2e2 + : : : + ynen;

В матричном виде (6) перепишется следующим образом:

Матрица Грама является симметричной: ¡e = ¡Te .

Если базис e1; e2; : : : ; en ортонормированный, то ¡e = E, а (7) перепишется

следующим образом:

(x; y) = [x]Te [y]e

Пусть в пространстве E заданы два базиса: e = (e1; e2; : : : ; en);

e0 = (e01; e02; : : : ; e0n); Pe!e0 = (aij) – матрица перехода, ¡e0 = (gij0 ) – матрица Грама.

23

Согласно определению матрицы перехода:

В матричной записи это эквивалентно:

¡e0 = PeT!e0¡ePe!e0:

Теорема 18. Система элементов a1; a2; : : : ; an 2 Eлинейно зависима тогда и только тогда, когда определитель матрицы Грама этой системы равен нулю:

det¡a = 0:

Теорема 19. Определитель матрицы Грама любого базиса положителен.

П р и м е р 11. Дано вещественное евклидово пространство, где скалярное произведение задано следующим образом:

(x; y) = 4x1y1 ¡ 2x1y2 ¡ 2x2y1 + 4x2y2:

Вычислить матрицу Грама ¡e стандартного базиса

и матрицу Грама ¡f , базиса f:

Решение.

1. Вычислим матрицу Грама, воспользовавшись формулой:

24

2. Найдем ¡f двумя способами:

² Воспользуемся формулой:

¡f = PeT!f ¡ePe!f

Pe!f – это координаты базиса f в базисе e выписанные по столбцам:

² Воспользуемся формулой:

2.4 Ортогональная матрица

Квадратная матрица Q называется ортогональной, если она удовлетворяет условию

Свойства ортогональной матрицы.

²det Q = §1.

²Q¡1 = QT .

²Если Q – ортогональная, то QT – тоже ортогональная матрица.

²QQT = E.

²Пусть Q1; Q2 – ортогональные матрицы одного порядка, тогда Q1Q2 – ортогональная матрица.

²Пусть Q – ортогональная, тогда Q¡1 – тоже ортогональная матрица.

25

Если матрица ортогональная, то удобно находить к ней обратную, напри-

2.5 Ортогональное дополнение

Пусть H – линейное подпространство E. Элемент x 2 E ортогонален к линейному подпространству H, если x ортогонален любому элементу y 2 H.

Множество элементов из вещественного линейного евклидова пространства ортогональных линейному подпространству H называется ортогональным дополнением H?.

Теорема 20. Ортогональное дополнение H? является линейным подпространством.

Теорема 21. Пусть H – линейное подпространство E, тогда

H © H? = E:

Следствие. Если H – линейное подпространство E, то для любого f 2 E существует и при том единственное разложение

где g 2 H; h 2 H?. В разложении (8)

g – ортогональная проекция элемента f на подпространство H; h – ортогональная составляющая элемента f.

Нахождение разложения (8) называется задачей о перпендикуляре. Этот термин заимствован из геометрии. Чтобы получить разложение геометрического вектора, достаточно опустить перпендикуляр из конца вектора f на плоскость.

26

Имея ввиду эту аналогию, называют

f – наклонной к подпространству H;

h – перпендикуляром, опущенным на подпространство H.

Аналогия с геометрическими векторами состоит не только в названии. Отметим несколько тех свойств g и h в разложении (8), которые имеют место и в геометрии т.к.

jhj · jfj:

Последнее неравенство свидетельствует о том, что длина перпендикуляра не превосходит длины наклонной. Равенство (9) называется теоремой Пифагора

вевклидовом пространстве

Пр и м е р 12. В евклидовом пространстве со стандартным скалярным произведением построить L? для подпространства L(a1; a2), где

a1 = (1 1 1 1)T ; a2 = (1 ¡ 1 1 1)T :

Решение.

Пусть x = (x1 x2 x3 x4)T – элемент ортогонального дополнения. Система линейных уравнений

½x1 + x2 + x3 + x4 = 0; x1 ¡ x2 + x3 + x4 = 0

01

27

0 3 1

П р и м е р 13. Найти ортогональную проекцию f = @ 6 A на подпро-

0

Умножаем последнее равенство скалярно, сначала на b1, затем на b2: Учитывая, что (b1; h) = 0; (b2; h) = 0 , так как они ортогональны, получа-

2.6 Понятие унитарного пространства

Комплексное линейное пространство U называется комплексным евклидовым пространством или унитарным, если выполняются следующие два требования:

I.Имеется правило, посредством которого двум элементам x; y 2 U ставится в соответствие комплексное число называемое скалярным произведением и обозначаемое символом (x; y).

II. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:

8x; y; z 2 U; 8¸ 2

1.(x; y) = (y; x) ;

2.(x + y; z) = (x; z) + (y; z) ;

3.(¸x; y) = ¸(x; y) ;

4.(x; x) ¸ 0, причем (x; x) = 0 , x = µ .

28

Примеры комплексных евклидовых пространств.

1.Множество комплексно-значных функций C[¤a;b] : z(t) = x(t) + iy(t), где x(t), y(t) – вещественно-значные функции, непрерывные на отрезке

[a; b].

Операции сложения этих функций и умножения их на комплексные числа заимствуем из анализа. Скалярное произведение двух любых таких функций определим соотношением

Z b

(z1(t); z2(t)) = z1(t)z2(t)dt:

a

2. Множество вектор-столбцов с комплексными координатами x; y 2 Cn; x = (x1; x2; : : : ; xn)T ; y = (y1; y2; : : : ; yn)T :

Скалярное произведение введено следующим образом

Xn

(x; y) = xiyi:

i=1

П р и м е р 14. Можно ли в унитарном пространстве квадратных

Решение. Проверим четвертую аксиому. (A; A) = a1a1 ¡b1b1 +c1c1 ¡d1d1: Неравенство (A; A) ¸ 0 выполняется только тогда, когда

ja1j2 + jc1j2 ¸ jb1j2 + jd1j2. Следовательно, ввести скалярное произведение по данной формуле нельзя.

Свойства скалярного произведения.

1.(x; y + z) = (x; y) + (x; z).

2.(x; ¸y) = ¸(x; y).

3.(x; µ) = 0.

Теорема 22 (Неравенство Коши-Буняковского в унитарном пространстве). Для 8x; y 2 Uсправедливо следующее неравенство

j(x; y)j2 · (x; x)(y; y):

29

Длина в унитарном пространстве вводится таким же образом как в веще-

Понятие ортогонального и ортонормированного базиса, процесс ортогонализации системы элементов, понятие ортогонального дополнения, ортогональной проекции элемента на подпространство без изменения определений

иобщих схем рассуждений переносится на унитарное пространство.

2.7Выражение скалярного произведения через компоненты сомножителей в унитарном пространстве

Если e1; e2; : : : ; en – ортонормированный базис, то ¡e = E и

(x; y) = [x]Te [¹y]e:

Пусть в унитарном пространстве U даны два базиса e = (e1; e2; : : : ; en) и e0 = (e01; e02; : : : ; e0n), тогда справедлива формула:

матрицу Грама ¡e базиса e1; e2 и скалярное произведение (x; y).

30