1.9. Интервальные оценки
ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Интервальное оценивание параметров распределения генеральной совокупности состоит в построении доверительных интервалов.
Доверительным интерваломдля параметраназывается интервал, содержащий истинное значение параметра с заданной вероятностью. Таким образом,. Числоназываетсядоверительной вероятностью, а значение–уровнем значимости.
При построении доверительных интервалов вводят в рассмотрение специально подобранную статистику , распределение которой известно. Наиболее распространенными являются статистики, имеющие нормальное, Стьюдента ираспределения.
Методика построения доверительных интервалов для отдельных параметров распределения генеральной совокупности зависит как от вида распределения, так и от знания значений остальных параметров закона распределения.
1.9.1.Рассмотрим задачу построениядоверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной дисперсии.
Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрамии. Найдем доверительный интервал для математического ожиданияв предположении, что дисперсиянеизвестна и задан уровень значимости.
Английский математик Госсет (псевдоним Стьюдент) доказал, что статистика имеет распределение Стьюдента сстепенями свободы. Так как кривая плотности вероятностей распределения Стьюдента симметрична относительно, будем искать доверительную область в виде:.
Рис. 11 - Геометрическое пояснение смысла квантилейраспределения Стьюдента
Из рисунка 11 видно, что площадь под графиком каждого из симметричных «хвостов» будет равна , тогда значения границ интервала совпадут с квантилямии.
В таблице П 4 Приложения приведены значения в зависимости от доверительной вероятностии числа степеней свободы. Можно также использовать функцию СТЬЮДРАСПОБР пакета прикладных программEXCEL.
Таким образом, получаем: или
.
Подставив в полученное неравенство значения ,,,и разрешив это неравенство относительно, получим доверительный интервал для неизвестного математического ожиданиянормально распределенной случайной величиныс неизвестной дисперсиейи заданным уровнем значимости:.
ПРИМЕР 6
Требуется построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами идля уровней значимости,ипри неизвестной дисперсии.
Общее выражение для доверительного интервала в данном случае имеет вид:
Вычислим этот интервал для различных уровней значимости.
:,,
– число степеней свободы.
Так как в таблице П4 Приложения нет числа степеней свободы , то для вычисленияможно воспользоваться следующим методом:
Статистическая функция СТЬЮДРАСПОБР пакетаEXCELдает значение квантили. Нужно иметь в виду, что вEXCELвычисляются значения двусторонних «антиквантилей». Поэтому чтобы получить значение односторонней квантили, нужно в этой функции задать вероятность(см. справку к функции СТЬЮДРАСПОБР).
В дальнейших расчетах используем значения, даваемые EXCEL.
,.
Подставим значения этих квантилей и вычисленные ранее значения и в формулу доверительного интервала:
Таким образом, неизвестное математическое ожидание с вероятностью.
Аналогично найдем доверительные интервалы для математического ожидания для уровней значимости и.
:,,,
,,
Таким образом, неизвестное математическое ожидание с вероятностью.
:,,,
,,
.
Таким образом, неизвестное математическое ожидание с вероятностью.
1.9.2.Определим теперьдоверительный интервал для неизвестной дисперсии нормально распределенной случайной величиныс неизвестным математическим ожиданием и заданным уровнем значимости α.
В этом случае рассматривается статистика , имеющая распределение сстепенями свободы, где– объем выборки.
Будем искать доверительную область в виде:
Рис. 12- Квантили распределения
Как и в предыдущем случае, будем считать площади под «хвостами» кривой распределения равными покаждая (рис. 12).
Тогда границы интервала совпадут с квантилями:
,.
В таблице П5 Приложения приведены значения в зависимости от доверительной вероятностии числа степеней свободы. Можно также использовать функцию ХИ2ОБР пакета прикладных программEXCEL.
Таким образом, получаем
.
Подставив в полученное неравенство значения ,,,и разрешив это неравенство относительно, получим доверительный интервал для неизвестной дисперсиинормально распределенной случайной величиныс неизвестным математическим ожиданием и заданным уровнем значимости:
.
Следует отметить, что если математическое ожидание генеральной совокупности известно, то доверительный интервал для дисперсии будет иметь другой вид.
Длина доверительного интервала характеризует точность оценивания и зависит от объема выборки и доверительной вероятности. Чем меньше длина доверительного интервала, тем надежнее оценка. При увеличении объема выборки длина доверительного интервала уменьшается.
ПРИМЕР 7
Требуется построить доверительный интервал для неизвестной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности с параметрами идля уровней значимости,и.
Для построения доверительного интервала для неизвестной дисперсии нормально распределенной генеральной совокупности используется статистика, имеющая распределениес степенями свободы:
.
Вычислим этот интервал для различных уровней значимости.
:,,.
Так как в таблице П5 Приложения нет числа степеней свободы , то для вычисленияможно воспользоваться следующим методом:
Статистическая функция ХИ2ОБР пакета EXCELдает следующие значения квантилей распределения «хи- квадрат»:
, .
Следует иметь в виду, что в функции ХИ2ОБР вычисляются «антиквантили» . Чтобы получить значение квантили, нужно ввести обратную вероятность.
В дальнейших расчетах используются значения квантилей, вычисленные в EXCEL.
Таким образом, неизвестная дисперсия с вероятностью.
Аналогично найдем доверительные интервалы для дисперсии для уровней значимости и.
:,,.
, .
Таким образом, неизвестная дисперсия с вероятностью.
:,,,
,,
Таким образом, неизвестная дисперсия с вероятностью.
Заметим, что выборочная дисперсия попадает во все найденные доверительные интервалы, причем, чем меньше уровень значимости, тем больше длина соответствующего доверительного интервала.