1.4 Гистограмма и полигон частот

Пусть – выборка объема, содержащаяразличных вариант, из генеральной совокупности случайной величиныс неизвестной плотностью вероятностей. Приближением (оценкой) неизвестной плотности вероятностей могут служитьгистограммаилиполигон относительных частот. Гистограмма и полигон относительных частот служат для геометрического изображения группированного вариационного ряда.

Гистограмма относительных частот представляется в виде примыкающих друг к другу прямоугольников с основаниями , равными ширине интервалов группировок, и высотами(рис. 1). Для гистограммы относительных частот площадь ступенчатой фигуры соответствует сумме вероятностей и равна. Площадь любого прямоугольника гистограммы равна вероятности попадания значений рассматриваемой случайной величины в интервал, соответствующий основанию прямоугольника.

Рис. 1 - Гистограмма и полигон относительных частот

Полигоном относительных частотназывается ломаная, соединяющая точки,, …,(рис. 1), где– середины интервалов группировки;– высоты прямоугольников гистограммы.

При увеличении объема выборки и уменьшении длин интервалов гистограмма и полигон относительных частот приближаются к графику неизвестной функции – плотности вероятности генеральной совокупности.

По виду гистограммы или полигона частот можно выдвинуть гипотезу о виде распределения генеральной совокупности. Например, если гистограмма имеет вид, представленный на рис. 2а, то можно предположить, что генеральная совокупность имеет нормальный закон распределения с плотностью вероятностей ; рис. 2б – равномерное распределения с плотностью вероятностей; рис. 2в – показательное распределение с плотностью вероятностей.

2а 2б 2в

Рис. 2Виды гистограмм

ПРИМЕР 3

Требуется построить гистограмму и полигон относительных частот для известного группированного вариационного ряда. На их основе выдвинуть нулевую гипотезу о виде распределения генеральной совокупности. В данном случае это нормальное распределение. На одном чертеже с гистограммой построить график теоретической плотности вероятностей. Сделать вывод об их визуальном совпадении.

Для удобства заполним таблицу. В таблицу занесены середины интервалов , в четвертый – относительные частоты интервалов, в пятый – высоты прямоугольников гистограммы относительных частот.

Таблица 6

Индекс	Интервал	Середина интервала		Относит. частота	Высота прямоуг.
1		-5,5		0,0404	0,0404
2		-4,5		0,1212	0,1212
3		-3,5		0,1616	0,1616
4		-2,5		0,2121	0,2121
5		-1,5		0,2323	0,2323
6		-0,5		0,1212	0,1212
7		0,5		0,1010	0,1010
8		1,5		0,0101	0,0101
Сумма			1		1

По данным таблицы построим гистограмму. Для этого в прямоугольной системе координат на оси абсцисс откладываем значения границ интервалов разбиения и на каждом из интервалов с номером строим прямоугольник с высотой.

Для такой гистограммы площадь ступенчатой фигуры соответствует сумме вероятностей и равна . Площадь каждого прямоугольника гистограммы равна вероятности попадания случайной величины в интервал, соответствующий основанию прямоугольника

Рис.3. Гистограмма относительных частот и кривая теоритической плотности вероятностей

Полигон относительных частот – ломаная, соединяющая точки ,

Гистограмма и полигон относительных частот, являющиеся статистическими оценками плотности вероятностей генеральной совокупности, схожи с кривой плотности вероятностей нормального закона. На основании этого выдвигаем нулевую гипотезу : Генеральная совокупность, из которой взята выборка, распределена по нормальному закону с параметрами,, то есть теоретическая плотность вероятностей имеет вид:

Рис.4 Полигон относительных частот

Вычислим значения теоретической плотности вероятностей в точках – середины интервалов по таблице П 2 Приложения. Результаты вычислений занесем в таблицу. Заметим, что.

Таблица 7

1	-5,5000	-2,0083		0,0531	0,0324
2	-4,5000	-1,3980		0,1501	0,0916
3	-3,5000	-0,7878		0,2925	0,1785
4	-2,5000	-0,1776		0,3927	0,2396
5	-1,5000	0,4326		0,3633	0,2217
6	-0,5000	1,0429		0,2316	0,1413
7	0,5000	1,6531		0,1017	0,0621
8	1,5000	2,2633		0,0308	0,0188
		0,0000	0,3989		0,2434

Из рисунка 3 видно, что график теоретической плотности вероятностей и гистограмма достаточно хорошо совпадают.