- •Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика с.П. Королева
- •1. Цель и задачи работы
- •2. Методика и порядок расчета
- •3. Примеры расчета
- •4. Оценка уровня надежности
- •Учебное издание примеры расчета характеристик надежности авиационной техники Методические указания
- •443086, Г. Самара, Московское шоссе, 34.
3. Примеры расчета
Пример 1. Определить закон распределения неисправностей насосов-регуляторов двигателя НК-8-2У.
Дано: время наблюдения Тa=1000 часов;
число изделий N=383;
число неисправных изделий n=16;
время наработки до отказов отдельных экземпляров ti: 50, 70, 150, 220, 250, 400, 480, 500, 590, 640, 660, 790, 880, 910, 940, 980 часов.
Группировка данных. Интервал наработки 0...1000 часов разбиваем на разряды по правилу Старджена:
k = 1 +3,3*lg16=4,97
Число разрядов принимаем равным 5 c величиной ti=200 ч.
Расчет эмпирических характеристик надежности. По формулам (2) вычисляем в каждом разряде значения fi*(t), i*(t) и Pi*(t). Результаты расчетов представляются в табличном виде (таблица 1).
Следует помнить, что Nиi - это разность между числом объектов N, над которыми велось наблюдение, и числом объектов, отказавших на начало интервала i. Например, для четвертого интервала Nи4=383-3-2-4=374.
Таблица 1. Расчет эмпирических характеристик
№ инт. |
ti-1, час |
ti, час |
ti, час |
ni |
fi*=ni/Nti, 1/час |
i*=ni/Nиiti, 1/час |
Pi*=fi*(t)/i*(t) |
1 |
0 |
200 |
200 |
3 |
3.915*10-5 |
3.915*10-5 |
1.0 |
2 |
200 |
400 |
200 |
2 |
2.61*10-5 |
2.63*10-5 |
0.9922 |
3 |
400 |
600 |
200 |
4 |
5.22*10-5 |
5.28*10-5 |
0.9886 |
4 |
600 |
800 |
200 |
3 |
3.915*10-5 |
4.02*10-5 |
0.9739 |
5 |
800 |
1000 |
200 |
4 |
5.22*10-5 |
5.40*10-5 |
0.9667 |
Выбор теоретического закона распределения. По данным таблицы 1 строятся гистограммы эмпирического распределения (рисунок 2).
а) б)
в)
Рисунок 2. Гистограммы эмпирического распределения
а) плотность распределения; б) интенсивность отказов;
в) вероятность безотказной работы
Насос-регулятор является сложным объектом, состоящим из множества элементов, вероятность отказов которых достаточно мала. Следовательно, можно выдвинуть гипотезу, что отказы насоса-регулятора распределены по экспоненциальному закону. Этому предположению не противоречит и внешний вид гистограмм.
Определение параметров закона распределения. Экспоненциальный закон распределения является однопараметрическим, т.е. для его полного определения необходимо найти один параметр - интенсивность отказов . В настоящем примере осуществлен план наблюдений [NUT], следовательно, параметр можно вычислить с использованием метода максимума правдоподобия по выражению (4)
Отсюда, среднее время наработки до отказа Тср=1/=1/4,088*10-5=24460 ч.
Проверка правильности принятой гипотезы. Осуществляется с помощью критерия Пирсона, рассчитанного по выражению (11). Число разрядов при рас чете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения вариационного ряда k, так как добавляется интервал от Тa до +. Результаты расчетов представлены в таблице 2
Таблица 2. - Расчет критерия Пирсона
№ инт. |
ti-1, ч |
ti, ч |
ti, ч |
ni |
qi(ti) |
N*qi(ti) |
ni -N*qi(ti) |
Ui2 | ||
1 |
0 |
200 |
200 |
3 |
0.0081462 |
3.12 |
-0.12 |
0.00463 | ||
2 |
200 |
400 |
200 |
2 |
0.0080809 |
3.095 |
-1.095 |
0.38725 | ||
3 |
400 |
600 |
200 |
4 |
0.0080156 |
3.07 |
0.93 |
0.28205 | ||
4 |
600 |
800 |
200 |
3 |
0.0079503 |
3.045 |
-0.045 |
0.00065 | ||
5 |
800 |
1000 |
200 |
4 |
0.0078851 |
3.02 |
0.98 |
0.31822 | ||
6 |
1000 |
|
|
367 |
0.959925 |
367.65 |
-0.65 |
0.000115 | ||
|
U2=Ui2= 0.99397 |
Величина qi(ti) рассчитывается по выражению (12). Например, для второго интервала:
Число степеней свободы r в случае шести разрядов таблицы и одного параметра закона распределения, в соответствии с (14), равно 4 (r=6-1-1). Задавшись уровнем значимости =10%, по таблице 3 Приложения 2 в зависимости от P=1-и числа степеней свободы r=4находим критическое значение2кр=7,78. Подсчитанное значение U2=0,99397 не попадает в критическую область (7,78; +), следовательно, принятая гипотеза об экспоненциальном законе распределения не противоречит статистическим данным.
Определение точности оценок параметров распределения. Верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала для параметра вычисляем по формулам, приведенным в соответствующей таблице Приложения 2.
[1/ч]
[1/ч]
Для доверительной вероятности =90% и n=16 найдем значения ит.е. значения, соответствующие доверительной вероятности исоответственно, и числу степеней свободы 2*n=2*16=32 и 2*n+2=2*16+2=34 (по таблице 3 приложения 2):
;32
Подставив найденные значения, получим:
[1/ч]
[1/ч]
Таким образом, интервал (2,59*10-5; 5,85*10-5) с доверительной вероятностью 90% покрывает истинное значение параметра .
Построение графиков теоретического распределения. Построение графиков распределения производим для диапазона 0<t<20000 часов (рисунок 3). Расчетные данные сведены в таблицу 3.
Таблица 3 - Расчет теоретических характеристик
t, ч |
2000 |
4000 |
6000 |
8000 |
10000 |
12000 |
14000 |
16000 |
18000 |
20000 |
(t)*10-5 1/ч |
4,09 |
4,09 |
4,09 |
4,09 |
4,09 |
4,09 |
4,09 |
4,09 |
4,09 |
4,09 |
f(t)*10-5 1/ч |
3,77 |
3,47 |
3,20 |
2,95 |
2,72 |
2,50 |
2,31 |
2,13 |
1,96 |
1,80 |
Pн(t) |
0,8895 |
0,7913 |
0,7040 |
0,6263 |
0,5571 |
0,4956 |
0,4409 |
0,3922 |
0,3489 |
0,3104 |
P(t) |
0,9215 |
0,8491 |
0,7824 |
0,7209 |
0,6643 |
0,6121 |
0,5641 |
0,5198 |
0,4789 |
0,4413 |
Pв(t) |
0,9495 |
0,9016 |
0,8560 |
0,8129 |
0,7718 |
0,7328 |
0,6959 |
0,6608 |
0,6274 |
0,5957 |
Вычисления проводились по формулам (таблица 1 Приложения 2 ):
Рисунок 3. Графики теоретического распределения.
Пример 2. Определить закон распределения неисправностей подшипников опор двигателя НК-8-2У.
Дано: время наблюдения Тa=1000 часов;
число изделий N=352;
число неисправных изделий n=18;
время наработки до отказов отдельных экземпляров ti: 60, 110, 110, 110, 130, 170, 200, 230, 260, 280, 280, 370, 510, 570, 780, 790, 920, 1000 часов.
Группировка данных. Интервал наработки 0...1000 часов разбиваем на разряды по правилу Старджена:
k = 1 +3,3lg18=5,14.
Число разрядов принимаем равным 5 величиной ti=200 ч.
Расчет эмпирических характеристик надежности. По формулам (2) вычисляем в каждом разряде значения fi*(t), i*(t) и Pi*(t). Результаты расчетов представляются в табличном виде (таблица 4).
Tаблица 4 - Расчет эмпирических характеристик
№ инт. |
ti-1, ч |
ti, ч |
ti, ч |
ni |
fi*=ni/Nti 1/ч |
i*=ni/Nиiti 1/ч |
Pi*=fi*(t)/i*(t) |
1 |
0 |
200 |
200 |
7 |
9,95*10-5 |
9,95*10-5 |
1.0 |
2 |
200 |
400 |
200 |
5 |
7,10*10-5 |
7,25*10-5 |
0,9801 |
3 |
400 |
600 |
200 |
2 |
2,84*10-5 |
2,94*10-5 |
0,9659 |
4 |
600 |
800 |
200 |
2 |
2,84*10-5 |
2,96*10-5 |
0,9602 |
5 |
800 |
1000 |
200 |
2 |
2,84*10-5 |
2,98*10-5 |
0,9545 |
Выбор теоретического закона распределения. По данным таблицы 4 строятся гистограммы эмпирического распределения аналогично примеру 1.
Надежность подшипников определяется усталостной долговечностью. Следовательно, можно выдвинуть гипотезу, что отказы подшипников распределены по закону Вейбулла. Это подтверждает и внешний вид гистограмм.
Определение параметров закона распределения. Закон Вейбулла является двухпараметрическим, т.е. для его полного определения необходимо найти два параметра - m и t0=1/.
Для плана наблюдений [NUT] параметры распределения можно найти графическим методом с использованием выражения (10) и задаваясь различными значениями m:
m=0.5 f1(m)=604.90 f2(m)=545.45
m=0.7 f1(m)=2396.36 f2(m)=2338.33
m=0.9 f1(m)=9505.34 f2(m)=9719.49
m=0.8 f1(m)=4772.02 f2(m)=4779.34
Графики f1(m) и f2(m) пересекаются в точке с абсциссой, соответствующей m=0,79. При решении уравнений (10) одним из методов последовательного приближения с помощью компьютера получено уточненное значение m=0,793. Соответствующее значение t0=4560, =0,000219.
Среднее время наработки до отказа определяется по формуле:
,
где Г(1/m + 1) – Гамма-функция (таблица 16 Приложения 2).
Проверка правильности принятой гипотезы. Осуществляется с помощью критерия Пирсона, рассчитанного по выражению (11). Число разрядов при расчете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения вариационного ряда k, так как добавляется интервал от Ta до +. Результаты расчетов представлены в таблице 5.
Величины qi(ti) рассчитывается по следующему выражению:
Таблица 5 - Расчет критерия Пирсона
N инт. |
ti-1, ч |
ti, ч |
ti, ч |
ni |
qi(ti) |
N*qi(ti) |
ni -N*qi(ti) |
Ui2 | |
1 |
0 |
200 |
200 |
7 |
0.01454 |
5.118 |
1,882 |
0.69187 | |
2 |
200 |
400 |
200 |
5 |
0.010519 |
3.703 |
1,297 |
0.45455 | |
3 |
400 |
600 |
200 |
2 |
0.009338 |
3.287 |
-1,287 |
0.50399 | |
4 |
600 |
800 |
200 |
2 |
0.008622 |
3.035 |
-1,035 |
0.35299 | |
5 |
800 |
1000 |
200 |
2 |
0.008111 |
2.855 |
-0,855 |
0.25614 | |
6 |
1000 |
|
334 |
0.948869 |
334.0017 |
-0.0017 |
8,99*10-9 | ||
|
U2=Ui2= 2,25956 |
Например, для третьего интервала:
q3(t3)=0.974941 - 0.965602 = 0.009338
Число степеней свободы r в случае шести разрядов таблицы и двух параметров закона распределения, в соответствии с (14), равно 3 (r=6-2-1). Задавшись уровнем значимости =10%, по таблице 3 Приложения в зависимости от P=1-и числа степеней свободы r=3находим критическое значение2кр=6,25. Подсчитанное значение U2=2,25956 не попадает в критическую область (6,25; +), следовательно, принятая гипотеза о законе распределения Вейбулла не противоречит статистическим данным.
Определение точности оценок параметров распределения. Верхние и нижние границы доверительных интервалов для параметров t0и m вычисляем по формулам, приведенным в соответствующей таблице Приложения:
;
;
Формулы для определения величин D(mи D( также представлены в Приложении 2.
Выполним промежуточные вычисления:
n/; n/m2=28,594;
timlnti=11760,05; timlnti2=73047,74;
Тam = 239,33; lnТa=6,908; ln2Тa=47,717.
n/timlnti2+(N-n)*Тam ln2Тa] =
= 28,594+0,000219*(73047,74+(352-16)239,33*47,717)=884.9288
Для доверительной вероятности =90% z
Таким образом, интервал (-0,00027; 0,0007) с доверительной вероятностью 90% покрывает истинное значение параметра , а интервал (0,474; 1,112) - значение параметра m.
Построение графиков теоретического распределения. Построение графиков распределения производим для диапазона 0<t<20000 часов аналогично примеру 1. Следует учесть, что отрицательное значение не имеет смысла, так как при этом величина P(t) будет больше 1. Поэтому необходимо ограничить н=0 с соответствующим значением Pв(t)=1. Нижнее значение Pн(t) соответствует верхним значениям параметров в и mв.
Расчетные данные сведены в таблицу 6.
Таблица 6 - Расчет теоретических характеристик
t, ч |
2000 |
4000 |
6000 |
8000 |
10000 |
12000 |
14000 |
16000 |
18000 |
20000 |
(t)*10-5 1/ч |
3,61 |
3,12 |
2,87 |
2,71 |
2,58 |
2,48 |
2,41 |
2,34 |
2,28 |
2,24 |
f(t)*10-5 1/ч |
3,29 |
2,67 |
2,31 |
2,06 |
1,87 |
1,71 |
1,58 |
1,46 |
1,36 |
1,27 |
Pн(t) |
0.378 |
0.0008 |
1,47*10-5 |
2*10-7 |
3*10-9 |
3,6*10-11 |
4*10-13 |
4*10-15 |
4*10-17 |
4*10-19 |
P(t) |
0,9132 |
0,8544 |
0,8049 |
0,7613 |
0,7222 |
0,6865 |
0,6538 |
0,6235 |
0,5953 |
0,5690 |
Pв(t) |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
1,0 |
Пример 3. Определить закон распределения неисправностей редуктора, связанных с износом зубчатых колес
Дано: время наблюдения Тa=6000 часов;
число изделий N=174;
число неисправных изделий n=31;
время наработки до отказов отдельных экземпляров ti: 360,920,987,1002,1380,1690,1850,1920,2780,3025,3272,3670,3810,3880,7117,4190,4210,4380,4420,4500,4730,4800,4850,5050,5190,5310,5360,5590,5870,5910,5920 часов.
Группировка данных. Интервал наработки 0...6000 часов разбиваем на разряды по правилу Старджена:
k = 1 +3,3lg31=5,92.
Число разрядов принимаем равным 6 величиной ti=1000 ч.
В интервале от 2000 до 3000 часов наблюдался только один отказ, поэтому объединяем его с соседним и получаем новый интервал от 2000 до 4000 часов. Число разрядов при этом будет равно 5.
Расчет эмпирических характеристик надежности. По формулам (2) вычисляем в каждом разряде значения fi*(t), i*(t) и Pi*(t). Результаты расчетов представлены в таблице 7.
Выбор теоретического закона распределения. По данным таблицы 7 строятся гистограммы эмпирического распределения.
Выдвигаем гипотезу о нормальном законе распределения, так как именно оно характерно для отказов, связанных с износом. Это подтверждает и внешний вид гистограмм.
Определение параметров закона распределения. Нормальный закон распределения является двухпараметрическим, т.е. для его полного определения необходимо найти два параметра - mt и t.
Таблица 7 - Расчет эмпирических характеристик
№ инт. |
ti-1, ч |
ti, ч |
ti, ч |
ni |
fi*=ni/Nti, 1/ч |
i*=ni/Nиiti, 1/ч |
Pi*=fi*(t)/i*(t) |
1 |
0 |
1000 |
1000 |
3 |
1,724*10-5 |
1,724*10-5 |
|
2 |
1000 |
2000 |
1000 |
5 |
2,874*10-5 |
2,924*10-5 |
|
3 |
2000 |
4000 |
2000 |
6 |
1,724*10-5 |
1,807*10-5 |
|
4 |
4000 |
5000 |
1000 |
9 |
5,172*10-5 |
5,625*10-5 |
|
5 |
5000 |
6000 |
1000 |
8 |
4,598*10-5 |
5,298*10-5 |
|
Для плана наблюдений [NUT] параметры распределения можно найти методом разделяющих разбиений с использованием выражений (5) и (6).
Выберем значения наработки t1=2000 и t2=5000 ч.
Значения F*(ti)=1-P*(ti) соответственно:
F*(t1)=1 - 0,9541=0,0459; F*(t2)=1 - 0,8679=0,1321.
По таблице стандартной нормальной функции распределения (таблица 2 Приложения) находим значения квантилей Z, соответствующих значениям F*(ti):
z1=-1,68; z2=-1,115.
ч.
ч.
Проверка правильности принятой гипотезы. Осуществляется с помощью критерия Пирсона, рассчитанного по выражению ( 11 ). Число разрядов при расчете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения
Таблица 8 - Расчет критерия Пирсона
N инт. |
ti-1, ч |
ti, ч |
ti,ч |
ni |
qi(ti) |
N*q(ti) |
ni-N*qi(ti) |
Ui2 | |
1 |
0 |
1000 |
1000 |
3 |
0.0301 |
5,24 |
-2,24 |
0,95756 | |
2 |
1000 |
2000 |
1000 |
5 |
0.0158 |
2,75 |
2,25 |
1,84091 | |
3 |
2000 |
4000 |
2000 |
6 |
0.0509 |
8,86 |
-2,86 |
0,92321 | |
4 |
4000 |
5000 |
1000 |
9 |
0.0353 |
6,14 |
2,86 |
1,33218 | |
5 |
5000 |
6000 |
1000 |
8 |
0.0454 |
7,90 |
0,10 |
0,00127 | |
6 |
6000 |
|
|
143 |
0.8225 |
143,115 |
-0.115 |
0,00009 | |
|
U2=Ui2=5,05522 |
вариационного ряда k, так как добавляется интервал от Ta до +. Результаты расчетов представлены в таблице 8.
Величина qi(ti) рассчитывается по следующему выражению:
,
где Ф(…) – функция стандартного нормального распределения (таблица 2 Приложения 2).
Например, для четвертого интервала:
Число степеней свободы r в случае шести разрядов таблицы и двух параметров закона распределения, в соответствии с (14), равно 3 (r=6-2-1). Задавшись уровнем значимости =10%, по таблице 3 Приложения в зависимости от P=1-и числа степеней свободы r=3находим критическое значение2кр=6,25. Подсчитанное значение U2=5,05522 не попадает в критическую область (6,25; +), следовательно, принятая гипотеза о нормальном законе распределения не противоречит статистическим данным.
Определение точности оценок параметров распределения. Верхние и нижние границы доверительных интервалов для параметров mt и tвычисляем по формулам, приведенным в соответствующей таблице Приложения 2:
Z - квантиль нормального распределения (таблица 4 Приложения 2); для =90% Z;
k=( mt - Тa)/t; f2(k) и f3(k) находятся по таблице 15 Приложения 2 в зависимости от величины k.
и
Таким образом, интервал (3913,6; 6512,2) с доверительной вероятностью 90% покрывает истинное значение параметра t, а интервал (9105,4;12529,6) - значение параметра mt.
Построение графиков теоретического распределения. Построение графиков распределения производим для диапазона 0<t<12000 часов аналогично примеру 1. Нижнее значение Pн(t) соответствует в и mн; верхнее значение Pв(t) соответствует в и mв:
Расчетные данные сведены в таблицу 9.
Таблица 9 - Расчет теоретических характеристик
t, ч |
2000 |
4000 |
6000 |
8000 |
10000 |
12000 |
(t)*10-5, 1/ч |
1,92 |
3,61 |
6,09 |
9,37 |
13,46 |
18,22 |
f(t)*10-5, 1/ч |
1,83 |
3,26 |
4,99 |
6,61 |
7,56 |
8,45 |
Pн(t) |
0,8621 |
0,7823 |
0,6844 |
0,5675 |
0,4443 |
0,3300 |
P(t) |
0,9545 |
0,904 |
0,8186 |
0,7054 |
0,5616 |
0,409 |
Pв(t) |
0,9643 |
0,9049 |
0,8413 |
0,758 |
0,6517 |
0,5319 |
Определим -процентный ресурс для =99,99% и нижней оценки Pн(t) :
Квантиль, соответствующий вероятности 0,0001, определяется по таблице 2 Приложения 2:
отсюда
Отрицательное значение наработки объясняется тем, что отношение mн/в =1,5 слишком мало и распределение с такими параметрами необходимо рассматривать как усеченно-нормальное. Величина tв этом случае находится из соотношения:
где
Отсюда z=-1,399, а tч.
Пример 4. При исходных данных примера 3 проверить гипотезу о логарифмически-нормальном законе распределения.
Определение параметров закона распределения. ml и l.
Для плана наблюдений [NUT] параметры распределения можно найти методом разделяющих разбиений с использованием выражений (5) и (6).
Выберем значения наработки t1=1500 и t2=5500 ч. Значения F*(ti)=1-P*(ti) соответственно:
По таблице стандартной нормальной функции распределения (таблица 2 Приложения) находим значения квантилей z, соответствующих значениям F*(ti):
Проверка правильности принятой гипотезы. Осуществляется с помощью критерия Пирсона 2, рассчитанного по выражению (11). Число разрядов при расчете критерия на единицу больше числа разрядов разбиения вариационного ряда k, так как добавляется интервал от ta до +. Результаты расчетов представлены в таблице 10.
Таблица 10 - Расчет критерия Пирсона
№ инт. |
lnti-1 |
lnti |
ti |
ni |
qi(t) |
N*qi(t) |
ni-N*qi(t) |
Ui2 |
1 |
|
8,9077 |
1000 |
3 |
0,0082 |
1,43 |
1,57 |
1,73485 |
2 |
6,9077 |
7,6009 |
1000 |
5 |
0,0219 |
3,81 |
1,19 |
0,37125 |
3 |
7,6009 |
8,2941 |
2000 |
6 |
0,0584 |
10,16 |
-4,16 |
1,70435 |
4 |
8,2941 |
8,5172 |
1000 |
9 |
0,0285 |
4,96 |
4,04 |
3,29294 |
5 |
8,5172 |
8,6995 |
1000 |
8 |
0,0299 |
5,20 |
2,80 |
1,50414 |
6 |
8,6995 |
|
143 |
0,8531 |
148,439 |
-5,439 |
0,19932 | |
|
U2=Ui2= 8,80662 |
Величина qi(ti) рассчитывается по следующему выражению:
Например, для четвертого интервала
При уровне значимости =10%, числе степеней свободы r=3 и критическом значении 2кр=6,25. подсчитанное значение U2=8,80622 попадает в критическую область (6,25; +). Но если принять=2,5%, то 2кр=9,35 и U2=8,80622 не попадает в критическую область (9,35; +). Следовательно, можно принять гипотезу о логарифмически-нормальном законе распределения, однако, следует иметь в виду, что нормальное распределение лучше описывает рассматриваемые статистические данные.
Определение точности оценок параметров распределения. Верхние и нижние границы доверительных интервалов для параметров ml и lвычисляем по формулам, приведенным в соответствующей таблице Приложения 2:
Z - квантиль нормального распределения (таблица 4 Приложения 2); для =90% Z;
и находятся по таблице 15 Приложения 2 в зависимости от величиныk.
f2(k)=9,648 и f3(k)=4,962.
Таким образом, интервал (0,95;1,68) с доверительной вероятностью 90% покрывает истинное значение параметра l, а интервал (9,57; 10,59) - значение параметра ml.
Построение графиков теоретического распределения. Построение графиков распределения производится аналогично Примеру 3.