- •Математическая экономика
- •230700 «Прикладная информатика»
- •Содержание
- •Предисловие
- •1.Модельповедения потребителя
- •Предпочтения потребителей
- •1.2. Функция полезности
- •1.3. Поверхности и кривые безразличия
- •1.4. Предельный анализ и эластичность
- •Перекрестная эластичность спроса по цене
- •Эластичность спроса по доходу
- •Предельная норма замещения
- •1.5. Модель поведения потребителя
- •1.6. Геометрическая интерпретация задачи максимизации полезности
- •1.7. Аналитическое решение задачи максимизации полезности
- •I способ. Приведение функции к одной переменной
- •II способ. Использование функции Лагранжа
- •1.8. Эффект компенсации. Уравнение Слуцкого
- •2. Модель поведения производителей
- •2.1. Производственная функция
- •2.2. Реакция производителей на изменение условий
- •2.3. Функции издержек
- •Задача на минимизацию издержек
- •2.4. Модели установления равновесной цены Дискретная паутинообразная модель рынка с запаздыванием предложения
- •Модель спроса и предложения Гудвина
- •Паутинообразная модель
- •Модель Эванса
- •3. Модели поведения фирмы на конкурентных рынках
- •3.1. Построение модели
- •3.2. Несовершенная конкуренция
- •3.3. Совершенная конкуренция
- •3.4. Монополия
- •3.5. Задача на максимизацию прибыли
- •4. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •4.1. Балансовые соотношения
- •4.2. Линейная модель многоотраслевой экономики
- •4.3. Продуктивные модели Леонтьева
- •Вопросы для самоконтроля
- •Список литературы
- •Математическая экономика
- •230700 «Прикладная информатика»
- •650992, Г. Кемерово, пр. Кузнецкий, 39
4.3. Продуктивные модели Леонтьева
Матрица A, все элементы которой неотрицательны, называетсяпродуктивной, если для любого векторас неотрицательными компонентами существует решение уравнения вектор, все элементы которого неотрицательны. В таком случае и модель Леонтьева называется продуктивной.
Для уравнения типа (57) разработана соответствующая математическая теория исследования решения и его особенностей. Укажем некоторые ее основные моменты. Приведем без доказательства важную теорему, позволяющую устанавливать продуктивность матрицы.
Теорема.Если для матрицыAс неотрицательными элементами и некоторого векторас неотрицательными компонентами уравнение(57) имеет решениес неотрицательными компонентами, то матрицаAпродуктивна.
Иными словами, достаточно установить наличие положительного решения системы (57) хотя бы для одного положительного вектора , чтобы матрицаAбыла продуктивной. Перепишем систему (57) с использованием единичной матрицыEв виде
. (58)
Если существует обратная матрица то существует и единственное решение уравнения (58):
(59)
Матрица называется матрицейполных затрат.
Существует несколько критериев продуктивности матрицы A. Приведем два из них.
Первый критерий продуктивности. МатрицаAпродуктивна тогда и только тогда, когда матрицасуществует и ее элементы неотрицательны.
Второй критерий продуктивности. МатрицаAс неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:
,
причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.
Рассмотрим применение модели Леонтьева на примерах.
Пример 14.
В таблице 2 приведены данные по балансу за некоторый период между пятью отраслями промышленности.
Найти векторы конечного потребления и валового выпуска, а также матрицу коэффициентов прямых затрат и определить, является ли она продуктивной в соответствии с приведенными выше критериями.
Таблица 2
Данные по балансу
№ |
Отрасль |
Потребление xij |
Конечный продукт yi |
Валовой выпуск xi | ||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | ||||
1 |
Станкостроение |
15 |
12 |
24 |
23 |
16 |
10 |
100 |
2 |
Энергетика |
10 |
3 |
35 |
15 |
7 |
30 |
100 |
3 |
Машиностроение |
10 |
5 |
10 |
10 |
10 |
5 |
50 |
4 |
Автомобильная промышленность |
10 |
5 |
10 |
5 |
5 |
15 |
50 |
5 |
Добыча и переработка углеводородов |
7 |
15 |
15 |
10 |
3 |
50 |
100 |
Решение.
Данные в таблице 2 приведены в соответствии с соотношениями (52): первые пять столбцов,- шестой столбец,- последний столбец (i,j=1, 2, 3, 4, 5).
Согласно используемым обозначениям,
, ,.
Все элементы матрицы A положительны, однако нетрудно видеть, что их сумма в третьем и четвертом столбцах больше единицы. Следовательно, условия второго критерия продуктивности не соблюдены, и матрица A не является продуктивной.
Экономическая причина этой непродуктивности заключается в том, что внутреннее потребление отраслей 3 и 4 слишком велико в соотношении с их валовым выпуском.
Пример 15.
Таблица 3 содержит данные баланса трех отраслей промышленности за некоторый период. Требуется найти объем валового выпуска продукции, если конечное потребление по отраслям увеличить соответственно до 60, 70 и 30.
Таблица 3
Данные по балансу
№ п/п |
Отрасль |
Потребление |
Конечный продукт |
Валовой выпуск | ||
1 |
2 |
3 | ||||
1 |
Добыча и переработка углеводородов |
5 |
35 |
20 |
40 |
100 |
2 |
Энергетика |
10 |
10 |
20 |
60 |
100 |
3 |
Машиностроение |
20 |
10 |
10 |
10 |
50 |
Решение.
Выпишем векторы валового выпуска и конечного потребления:
, ,
Согласно формулам вычислим:
;
;
.
В результате получаем матрицу коэффициентов прямых затрат:
.
Требования: неотрицателен;неотрицателен;A– из неотрицательных элементов – выполнены.
Если существует , то существует и единственное решение уравнения
Матрица есть матрица полных затрат.
1) Матрица Aпродуктивна тогда и только тогда, когда матрицасуществует и ее элементы неотрицательны.
2) Матрица Aс неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:, причем, хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго < 1.
Вывод.Все условия выполнены. МатрицаAудовлетворяет критериям продуктивности.
Новый вектор конечного продукта должен иметь вид:
.
Компоненты неизвестногонаходятся из системы уравнений, которая, согласно (59), имеет вид:
или
; ;.
.
Выводы.Чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта сдо, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: добычу и переработку углеводородов со 100 до 152,14, то есть на 52,14%, уровень энергетики со 100 до 135,8, то есть на 35,8%, выпуск машиностроения с 50 до 92,51, то есть на 85,02%.