- •Математическая экономика
- •230700 «Прикладная информатика»
- •Содержание
- •Предисловие
- •1.Модельповедения потребителя
- •Предпочтения потребителей
- •1.2. Функция полезности
- •1.3. Поверхности и кривые безразличия
- •1.4. Предельный анализ и эластичность
- •Перекрестная эластичность спроса по цене
- •Эластичность спроса по доходу
- •Предельная норма замещения
- •1.5. Модель поведения потребителя
- •1.6. Геометрическая интерпретация задачи максимизации полезности
- •1.7. Аналитическое решение задачи максимизации полезности
- •I способ. Приведение функции к одной переменной
- •II способ. Использование функции Лагранжа
- •1.8. Эффект компенсации. Уравнение Слуцкого
- •2. Модель поведения производителей
- •2.1. Производственная функция
- •2.2. Реакция производителей на изменение условий
- •2.3. Функции издержек
- •Задача на минимизацию издержек
- •2.4. Модели установления равновесной цены Дискретная паутинообразная модель рынка с запаздыванием предложения
- •Модель спроса и предложения Гудвина
- •Паутинообразная модель
- •Модель Эванса
- •3. Модели поведения фирмы на конкурентных рынках
- •3.1. Построение модели
- •3.2. Несовершенная конкуренция
- •3.3. Совершенная конкуренция
- •3.4. Монополия
- •3.5. Задача на максимизацию прибыли
- •4. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
- •4.1. Балансовые соотношения
- •4.2. Линейная модель многоотраслевой экономики
- •4.3. Продуктивные модели Леонтьева
- •Вопросы для самоконтроля
- •Список литературы
- •Математическая экономика
- •230700 «Прикладная информатика»
- •650992, Г. Кемерово, пр. Кузнецкий, 39
4.2. Линейная модель многоотраслевой экономики
На основании анализа экономики США в период перед Второй мировой войной В. Леонтьевым был установлен важный факт: в течение длительного времени величины - коэффициенты прямых затрат – меняются очень незначительно и потому могут рассматриваться как постоянные числа. (Технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время, и, следовательно, объём потребления j–й отраслью продукции i–й отрасли при производстве своей продукции в объеме единиц есть технологическая константа).
, , (53)
это коэффициенты прямых затрат. Показывают затраты продукции i–й отрасли на производство единицы продукций j–й отрасли.
Допущение. Для производства продукции j-й отрасли в объёме единиц нужно использовать продукциюi-ой отрасли объема гдепостоянное число. При таком допущении технология производства принимается линейной, а само это допущение называетсягипотезой линейности.
Согласно гипотезе линейности:
. (54)
Тогда уравнения (52) можно переписать в виде системы уравнений:
(55)
Введем в рассмотрение соответственно - вектор-столбец объемов производственной продукции (вектор валового выпуска); вектор-столбец объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления); матрицу коэффициентов прямых затрат (технологическую или структурную матрицу):
; ; (56)
Тогда система уравнений (55) в матричной форме примет вид:
(57)
Соотношение (57) называют уравнением линейного межотраслевого баланса. Это уравнение носит название модели Леонтьева.
Уравнение межотраслевого баланса (57) можно использовать в двух целях, а именно:
с одной стороны, определение валового выпуска отраслей по заданному конечному спросуи известных технологических возможностях, то есть расходных коэффициентах;
с другой стороны, решение обратной задачи, то есть определение объемов конечного спроса ,на каждыйi-й продукт по известному валовому выпуску,.
Рассмотрим достижение первой цели.
Известен вектор объемов валового выпуска . Требуется вычислить вектор объемов конечного потребления
Приведем постановку и решение этой задачи в общем виде.
1. Имеем уравнение
2. Получаем решение .
Рассмотрим решение этой задачи на конкретном примере.
Пример 13. Пусть векторвыпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребленияAприn=3имеют соответственно вид
,
Требуется вычислить вектор объемов конечного потребления
Решение.
;.
Далее,
Ответ:, то есть объемы конечного продукта составляют для: первой отрасли – 110 ед.;
второй отрасли – 40 ед.;
третьей отрасли – 60 ед.
Рассмотрим достижение цели второй.
Для периода T(например, год) известен вектор конечного потребленияи матрица коэффициентов прямых затратA. Требуется определить вектор валового выпуска.
Решение этой задачи в общем виде:
1.
2.
Однако, система (57) в силу прикладного характера данной задачи имеет особенности: все элементы матрицы A, и векторовидолжны быть неотрицательными.