Закон больших чисел

Утверждение теоремы Чебышева означает, что при выполнении определённых условий среднее арифметическое случайных величин в первом приближении сходится к среднему арифметическому их математических ожиданий, т.е. случайные величины при сходятся по вероятности к .

События и вероятность

Событие - любой исход опыта, который может произойти или не произойти.

Элементарными событиями называются неразложимые и взаимоисключающие исходы опыта.

Событие называется достоверным, если при данных условиях оно обязательно наступит. Обозначение события: Ω.

Событие называется невозможным, если при данных условиях оно наступить не может. Обозначение Ø.

Два события называются несовместными, если в одном опыте они не могут произойти вместе.

Несколько событий образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.

Несколько событий наз. равновозможными, если из условий симметрии нет оснований считать, что ни одно из них является более возможным.

Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В вместе).

Произведением событий А и В называется событие С=АВ, состоящее в наступлении двух событий (т.е. А и В вместе).

Противоположным событию А (отрицание события А) называется событие Ā, происходящее тогда и только тогда, когда А не происходит.

Вероятность – число, характеризующее степень возможности события:

Р(Ω)=1; Р(Ø)=0:

0≤ Р(А) ≤1

Классическое определение вероятности. Если исходы опыта образуют полную группу несовместных равновозможных событий, то вероятность вычисляется по формуле

Р(А)=

Где n – общее число возможных исходов опыта, m – число исходов опыта, в которых происходит событие А.

Подбрасываем правильную монетку:

а. Событие Г= ; Ц = .

P( Г) = 1/2; P( Ц ) = 1/2

б. Монетку подбрасываем два раза. Определить вероятности событий А= , Б = ,

В = ,

Возможные исходы опыта: ГГ; ГЦ; ЦГ; ЦЦ.

P( А ) = 3/4; P( Б ) = 2/4 = 1/2; P( В ) = 1/4.

Оценкой вероятности является относительная частота появления события в большом числе испытаний:

Где число появлений события А в N испытаниях.

Условная вероятность

Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется.

P(А/B) =

Теорема умножения для независимых событий. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(А) Р(В)

Теорема сложения для совместных независимых событий.

Р(А) + Р(В) – Р(А) Р(В)

Задача на цепочки

_{Пример 1.10. Отдельные элементы (i) каждого блока предложенных ниже схем выходят из строя в течение определенного периода времени независимо от остальных с вероятностями pi. При выходе из строя блока соединение в этом месте нарушается. Найти вероятность обрыва соединения за этот период для каждой из схем.}

_{Рисунок. 1.2.а Рисунок.1.2. б}

_{Рисунок.1.2.в}

, .

Определение 1.22. Надежностью работы устройства за время Т называется вероятность безотказной работы за это время.

Безотказная работа и выход из строя – события противоположные.

Решение. Пусть событие состоит в отказе элемента с номером за рассматриваемый промежуток времени. Тогда , Событие соответствует обрыву соединения за то же время.

1.10.а. Для соединения на рисунок 1.2.а обрыв соответствует тому, что будут оборваны все ветви, поэтому . В силу независимости отказов отдельных элементов .

Замечание. Все вероятности в предыдущей формуле меньше 1, поэтому вероятность обрыва соединения при параллельном соединении (это называется горячим резервированием) меньше, чем самая маленькая вероятность (самый надежный элемент). Поэтому надежность при горячем резервировании больше, чем надежность самого лучшего (надежного) элемента.

1.10.б Для соединения на рисунке 1.2.б обрыв происходит, если откажет хотя бы один элемент, поэтому .

Рекомендация. Вычисление вероятности суммы трёх и более совместных событий всегда рациональнее вычислять переходом к противоположному событию.

В данной задаче противоположное событие это - прохождению сигнала через все элементы схемы

получаем

Замечание. Здесь ) надежность i-го блока, поэтому надежность всего устройства при последовательном соединении хуже (меньше), чем надежность самого ненадежного блока.

Соответственно, .

Перейдем к решению задачи со схемой рисунка 1.2.в.

1.10.в. Обозначим событие, состоящее в отказе блока параллельно соединенных элементов (все отказали)

=0.2

Тогда . Переходим к противоположному событию (сигнал проходит и через блок параллельных элементов и блоки 4 и 5).

= =0.998

тогда для вероятности обрыва соединения получаем .

0.8 работа каждого