№ 5

Методические указания и контрольные задания по курсу теории вероятностей

для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400

Санкт -Петербург ГУТ 2012

1

Методические указания и контрольные задания по курсу теории вероятностей для студентов заочного факультета по направлениям 210700, 220700, 230400. № 5.

Сост. Г. М. Полевая, В. С. Стукалова, Н. К. Яновская. Т. Е. Рекина, Е. Я. Раковщик. ГУТ СПб, 2012.

Методические указания содержат варианты контрольных работ по теории вероятностей для студентов заочного отделения, а также указания по их выполнению и упражнения для самопроверки.

2

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие Методические указания предназначены для самостоятельного изучения теории вероятностей студентами заочного отделения ГУТ им. проф. М. А. Бонч-Бруевича. В них подробно перечислены вопросы теоретического материала, которые следует изучить по каждой теме, указана литература, даны необходимые пояснения по возможным сложностям, разобраны примеры типовых задач. Студенту рекомендуется также самостоятельно решить задачи из приведенных упражнений и сборников задач по теории вероятностей указанных в списке литературы .

По теории вероятностей студент выполняет контрольную работу .

ПРОГРАММА КУРСА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.Основные понятия теории вероятностей. Алгебра событий. Вероятность. Несовместные и независимые события. Вероятность суммы и произведения событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Независимые испытания. Формула Бернулли

2.Случайная величина. Ряд распределения и функция распределения дискретной случайной величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

3.Основные типы случайных величин и их числовые характеристики. Биномиальный закон. Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальный закон распределения

4.Система случайных величин. Функция распределения системы двух случайных величин. Функция плотности распределения системы двух непрерывных случайных величин. Числовые характеристики системы случайных величин.

3

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Тема 1.

Предмет теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей (опыт, событие, случайное, невозможное и достоверное события, противоположные события, несовместные события, равновозможные события, полная группа событий).

Алгебра событий. Сумма и произведение событий. Несовместные и независимые события. Вероятность суммы и произведения событий.

Определение вероятности события. Частота события и статистическое определение вероятности. Случаи и классическое определение вероятности,

Напомним,что случайным событием в теории вероятности называется такое событие, которое в результате опыта может произойти или не произойти, причем это определяется причинами, не контролируемыми лицом, производящим опыт.

Например, мы бросаем на стол кубик (игральную кость). Он может показать любую грань. Выпадение 6 очков — случайное событие. Точнее, конечно, выпадение той или иной грани определяется начальным положением кубика, высотой места бросания над столом, жесткостью стола, ветром и ещё многими другими причинами, которые нами не контролируются и которые меняются от одного бросания к другому.

Другой пример. Мы замеряем уровень шума на элементе электронной схемы. Уровень может превышать либо не превышать допустимое пороговое значение; это событие случайное, хотя, конечно, зависит от конструкции прибора, условий работы и т. п.

Среди случайных событий какие-то более возможны или встречаются чаще, другие менее возможны или встречаются реже. Меру возможности или частоты появления случайного события называют вероятностью, причем условились считать вероятность числом от 0 до 1, т. е., обозначая случайное событие буквой А, а его вероятность Р(А), имеем

0≤P A ≤1 .

Вероятность некоторых событий найти легко. НЕВОЗМОЖНОЕ, т. е. практически неосуществимое событие имеет вероятность 0; оно обозначается буквой . ДОСТОВЕРНОЕ событие, т. е. появляющееся практически в любом опыте, имеет вероятность 1; оно обозначается буквой . Таким образом, P =0 ; P =1 .

Например, если опыт состоит в бросании монеты, невозможное событие — монета встала на ребро; достоверное событие — монета показала герб или цифру.

Вероятность других событий находят различными методами, с которыми мы познакомимся ниже.

Рассмотрим одну из моделей теории вероятностей, называемой «схема случаев». Говорят, что опыт укладывается в схему случаев, если исходы опыта (элементарные события, случаи) — равновозможны, попарно несовместны и в совокупности представляют собой достоверное событие. Тогда вероятность некоторого случайного события A , которое может

исходов (случаев) опыта, благоприятных событию A , а n — число всех возможных исходов опыта (случаев, элементарных событий).

Над событиями можно производить операции, которые немного напоминают действия над числами.

СУММОЙ двух событий А и В называется событие А+В , состоящее в том, что в результате опыта наступило либо А, либо В, либо А и В вместе.

4

противоположным к A .

При решении задач используются следующие соотношения:

A A= , A A= , = , = .

Рассмотрим примеры составления формул «сложных» событий. Пример 3.

Теннисист играет последовательно с тремя партнерами A , B , C . Победу над ними обозначим теми же буквами. Написать формулу события X , состоящего в том, что теннисист одержал хотя бы две победы подряд.

Решение.

Две победы подряд теннисист может одержать, выиграв либо у A и B , либо у B и C , таким образом,

X =AB BC =B A C

Пример 4.

В условиях примера 1 описать формулой следующие события: B : выпало четное число очков;

Если два события A и B таковы, что их произведение невозможное событие, т.е.

AB= , события A и B называются НЕСОВМЕСТНЫМИ. Для несовместных

Пример 5.

Вурне содержится 8 синих и 5 красных шаров. Из урны наугад вынимают одновременно четыре шара. Требуется найти вероятность того, что

все они синие; хотя бы один красный;

три красных и один синий. Решение.

Вэтой задаче опыт укладывается в схему случаев, так как в качестве исхода опыта или

5

случая рассматриваем выборку (набор) четырех шаров, взятых из общего количества имеющихся шаров (тринадцати). Мы будем различать такие выборки четырех шаров, которые отличаются друг от друга хотя бы одним шаром. Это условие обеспечивает попарную несовместность исходов опыта (составление набора из четырех шаров). Исходы опыта имеют равные возможности реализации в силу того, что все шары одинаковы и различаются только цветом. Далее, совокупность всех таких выборок является достоверным событием в рамках данного опыта.

опыта, а m — число исходов, благоприятных событию А, т. е. таких, при которых событие А происходит. Число всех возможных исходов равно n=C 134 , так как C 134 — число

наборов четырех элементов из тринадцати, отличающихся друг от друга хотя бы одним элементом. . Благоприятными являются выборки, состоящие только из синих шаров. Таких

В третьем случае благоприятными являются выборки, содержащие 3 красных и один синий шар. Чтобы составить такую выборку, следует: выбрать три красных шара из пяти (это

можно сделать C 35 способами), добрать недостающий синий шар (это можно сделать

Упражнения 1) Бросают одновременно две игральные кости. Какова вероятность что откроется

сумма, равная 6? Ответ: 365 .

6

2) В лифт восьмиэтажного дома вошли 5 человек. Каждый с равной вероятностью может выйти на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятность того, что

все пятеро выйдут на разных этажах; все выйдут на одном этаже;

раскладывая карточки в случайном порядке, получить слово «молоко». Ответ: 36!! .

Тема 2.

Условная и безусловная вероятности. Зависимые и независимые события. Теорема умножения для двух зависимых событий. Теорема умножения для двух независимых событий. Зависимость и независимость событий в совокупности. Теорема умножения для независимых в совокупности событий.

PA B =P A P B

Вболее общем случае (когда события A и B зависимы) теорема умножения

вероятностей выглядит так: P A B =P A P B / A

Понятие независимости обобщается и на большее двух количество событий: события A1 , A2 , ... , An независимы (точнее, независимы в совокупности), если для любой группы из

этих событий вероятность их произведения равна произведению вероятностей. Пример 6.

Студент знает двадцать вопросов из тридцати. В билете 3 вопроса. Найти вероятность того, что он ответит на первые два и не ответит на третий вопрос.

Решение:

На экзамене студент выбирает 3 вопроса наудачу. Обозначим через A1 , A2 , A3 события, состоящие в правильном ответе, соответственно, на первый, второй и третий

Упражнения 1) Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события:

A — выпадение герба на первой монете;

B — выпадение хотя бы одного герба;

C — выпадение хотя бы одной цифры;

D — выпадение герба на второй монете.

7

Определить, зависимы или независимы пары событий. Ответ: P C =34 ; P C / A =12 — события A и C зависимы;

P A =12 ; P A/ D = 12 — события A и D независимы;

P B = 34 ; P B /C = 23 — события C и B зависимы;

P B = 34 ; P B / D =1 — события B и D зависимы.

2) В двух ящиках находятся детали: в первом — десять ( из них три стандартных), во втором — пятнадцать (из них шесть стандартных). Из каждого ящика вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что они стандартные.

Ответ: P=253 . Пример 7.

1.На рисунке 1. изображена электрическая схема, содержащая контакты A , B , C ,

соответствующих контактов. Замкнутость цепи эквивалентна тому, что ток проходит через части цепи I , II и III , обведенные пунктирной линией. Пусть Q I ,Q II ,QIII — события, эквивалентные прохождению тока через указанные участки. Тогда интересующее нас

P QIII =1−P QIII =1− 1−P D 1−P E ,

8

а также P QII =P C =PC , тогда

P= 1− 1−P A 1−PB PC 1− 1−P D 1−P E .

Упражнения.

1) В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашеных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные делали окажутся

окрашенными. Ответ: 2491

2)В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 6

студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных 4 отличника. Ответ: 5 11

Тема 3.

Формула полной вероятности. Формула Байеса.

n

Формула полной вероятности P A =∑ P H i P A/ H i получается как следствие

i=1

теорем сложения и умножения вероятностей. Она позволяет определить вероятность события A , которое может произойти вместе с одним из событий (гипотез) H 1 , H 2 ,... , H n , образующих полную группу несовместных событий. Напомним, что, если события образуют полную группу, то их сумма равна достоверному событию ( одно из них обязательно реализуется) и, следовательно P A1 A2 ... An =1 , а так как они несовместны, то

P A1 P A2 ... P An =1

Пример 8.

Телеграфное сообщение состоит из сигналов «Точка» и «Тире». Статистические свойства помех таковы, что искажается с среднем 25% сообщений «Точка» и 20% сообщений «Тире». Известно, что среди передаваемых сигналов «Точка» и «Тире» встречаются в соотношении 3:2. Определить вероятность того, что принят сигнал «Точка».

Решение

Событие A состоит в том, что принят сигнал «Точка». Рассмотрим гипотезы:

H1 - передавался сигнал «Точка»;

H2 - передавался сигнал «Тире».

Пример 9.

Имеется три партии изделий. В одной партии все изделия первого сорта, в другой — все изделия второго сорта, в третьей партии поровну изделий первого и второго сорта. Из

9

выбранной наудачу партии взято изделие, оказавшееся первосортным. Найти вероятность того, что это изделие из первой партии, где все изделия первого сорта.

Посмотрим, как изменятся эти вероятности после того, как стало известно, что взятое изделие оказалось изделием первого сорта. Не применяя формулу Байеса, легко догадаться,

Найдите самостоятельно P H 3 / A Пример 10.

В условиях примера 8 этой темы определить вероятность того, что принят передаваемый сигнал, если принят сигнал «Точка» Решение

Событие A , состоящее в том, что принят сигнал «Точка» произошло. Нам надо найти вероятность того, что при этом был передан этот же сигнал, т. е. сигнал «Точка», и, значит, имела место первая гипотеза:

(см. решение примера 1). Упражнения

1)Ответьте на вопрос примера 10, если был принят сигнал «Тире». Ответ: 0.68

2)Имеются две урны. В первой урне два белых и три черных шара, во второй — три белых и пять черных шаров. Из первой и второй урн наугад берут по одному шару и кладут их в третью урну. Шары в третьей урне перемешивают и берут из неё наудачу один шар. Найти

вероятность того, что этот шар белый. Ответ: P=3180 .

3) Цель находится или в пункте A с вероятностью 0.7 или в пункте B с вероятностью 0.3 . Сделано 3 выстрела по пункту A и 2 выстрела по пункту B. Вероятность поражения цели при

10

одном выстреле равна 0.1 . Какова вероятность, что цель поражена? Ответ: P= 1−0.93 0.7 1−0.92 0.3=0.328

Тема 4.

Повторные испытания. Схема Бернулли и формула Бернулли (для вероятности m успехов в n опытах: Pn ,k=C kn pk qn−k ) Интегральная теорема Лапласа. Формула Пуассона.

Поясним, что испытания Бернулли — это многократное повторение одного и того же опыта при неизменных условиях, при том дополнительном требовании, что результаты отдельых опытов независимы. В каждом опыте возможны 2 исхода, условно называемые успехом и неудачей.

Пусть в одном испытании вероятность успеха равна p , 0<p<1 , а вероятность неудачи равна q=1-p. Формула Бернулли дает выражение для вероятности k успехов в серии из n

в) Противоположным для этого события будет: не получено ни одной шестерки (то есть 0 шестерок при шести бросаниях кости) . Вероятность противоположного события равна

если вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна и равна p , 0<p<1 . Теорема используется в случае, когда число испытаний - n достаточно велико, а

вероятность - p ни мала ни велика, npq 9 .

11

Пример 12.

Вероятность появления успеха в каждом из независимых испытаний равна 0.25 Найти вероятность того, что при 600 испытаниях число успехов находится между 140 и 175.

Решение

В нашем случае n=600, p=0.25, q=1− p=0.75. Следовательно

npq=600 0.25 0.75=112.5 9, np=150, npq 10.6

для вычисления вероятности указанного события используется формула Лапласа

P600 140 k 175 175−150 − 140−150 = 2.36 − −0.94 0.49 0.33=0.82

10.610.6

Формула Пуассона может использоваться в качестве хорошего приближения формулы

Пример 13.

Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Для каждого абонента вероятность позвонить на коммутатор в течение часа равна 0.01 . Какова вероятность, что в течение часа позвонят не более двух абонентов?

Решение.

Событие A={позвонят не более двух абонентов} можно представить как сумму событий

12

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги раздела «Случайные события», приведем два примера и упражнения для самопроверки. Советуем, прочитав условия примеров, решить их самостоятельно.После этого проконтролируйте себя, ознакомившись с предложенными решениями.

Пример 14.

На десяти карточках написаны буквы а, а, а, м, м, т, т, е, и, к. Найти вероятность того, что при случайном раскладывании карточек получим слово «математика».

Решить задачу по формуле по теореме умножения вероятностей. Решение

Событие A — получение слова «математика». Опыт состоит в раскладывании карточек. Исходы опыта — всевозможные варианты расположения этих десяти букв. Число всех исходов равно числу перестановок из 10, т. е. n=10! . Благоприятных исходов будет ровно один — когда получится слово «математика». В этом слове три буквы «а», которые можно переставлять между собой 3! способами, и при этом исход останется благоприятным. Аналогично 2! способами можно менять положение буквы «м», 2! — буквы «т». Поскольку каждый благоприятный вариант для одной буквы комбинируется с каждым вариантом для двух других, имеем: m=3!2!2! . Окончательно получим:

Mногие задачи на определение вероятности могут быть решены не единственным способом. С помощью теоремы умножения самостоятельно решите упражнения

Пример 15.

Три стрелка выстрелили по одному разу по мишени. Вероятность попадания для каждого стрелка равна, соответственно, p1−0.3 ; p2=0.9 ; p3=0.6

1.найти вероятность того, что попал только второй стрелок.

2.Найти вероятность того, что было ровно одно попадание.

3.Найти вероятность поражения мишени.

(В задачах 2. и 3. найти эти же вероятности для случая, когда каждый стрелок попадает в мишень с вероятностью p=0.6 ).

13

4. В мишень попала одна пуля. Найти вероятность того, что попал второй стрелок.

PC =P B1 P B2 P B3 =P A1 A2 A3 P A1 A2 A3 P A1 A2 A3

PC = p1 1− p2 1− p3 1− p1 p2 1− p3 1− p1 1− p2 p3

PC =0.3 0.1 0.4 0.7 0.9 0.4 0.7 0.1 0.6=0.306 (*)

Это решение можно оформить, используя формулу полной вероятности. В качестве гипотез

составляют полную группу событий. Полная группа событий получится, если учесть двух, трех и ни одного попаданий, но условные вероятности события C при этих гипотезах равны нулю. Окончательно получаем (*).

3. Мишень поражена, если есть хотя бы одно попадание. Обозначим это событие D . Мишень может поразить или первый, или второй, или третий стрелок, т. е. D=A1 A2 A3 . События Ai i=1,2,3 совместны, так как каждый стрелок может попасть не один, а вместе с любым другим стрелком или может быть три попадания. В этом случае удобно перейти к

4. Сравните условия задач 1. и 4.

В задаче 1. вычисляется вероятность того, что из трех стрелков попал только второй, когда еще неизвестно, какой из множества возможных результатов будет реализован (до стрельбы).

14