Основные аксиомы теории полезностей

Формально можно говорить о том, что полезность есть функция дохода, т.е.. Если решениеведет к одному из альтернативных уровней дохода,и, то результатом решения будет один из альтернативных уровней полезностей,и. Если известны вероятности,икаждого из трех исходов, то ожидаемая полезность решенияравна

Функция также называется функцией полезности фон Неймана-Моргенштерна.

Каждое решение, принятое в условиях неопределенности или риска, можно рассматривать как выбор лотереи по всем альтернативным уровням дохода, где каждому уровнюдохода приписана вероятность. Вероятностьесть вероятность получения дохода, когда решение сделано. Поэтому можно обозначитm лотереюмножеством пар. Таким образом, принятие решений представляется как выбор одной из альтернативных лотерей. Если субъект должен выбрать одну из двух лотерейи, то устанавливаются предпочтения субъекта:предпочтительнее,предпочтительнее,инеразличимы.

Предположим, что имеются две лотерей с одним и тем же множеством альтернатив

Тогда каждая вероятность приводит к новой лотереи

Если лотереи ине имеют одних и тех же альтернатив, то мы можем всегда взять объединениевсех возможных альтернатив и рассматриватьи, имеющие альтернативы из. При этом вероятности альтернатив из, не принадлежащихравны нулю и наоборот. Любая лотерея виданазывается составной.

Предположим теперь, что субъект предпочитает лотерею лотереи. Естественно ожидать, что если "смешать" третью лотереюси, то предпочтениекостанется неизменным. Это рассуждение определяет следующую аксиому:

Аксиома независимости. Выбор субъекта лотереи удовлетворяет аксиоме независимости, согласно которой всякий раз, когда лотереяпредпочтительнее лотереи, то для любогосоставная лотереяпредпочтительнее составной лотереидля всех лотерей.

Аксиома непрерывности. Выбор субъекта лотереи удовлетворяет аксиоме непрерывности, согласно которой всякий раз, когда последовательностьвероятностей сходится к, т.е.и лотереяпредпочтительнее лотереидля всех, топредпочтительнее лотереи.

Теорема ожидаемой полезности. Пусть- множество всех лотерей. Если функция полезности субъекта, определенная на множестве лотерей удовлетворяет аксиомам независимости и непрерывности, то существует функция полезности фон Неймана-Моргенштерна, зависящая от дохода, такая, что

для всех лотерей.

Формально выбор типа поведения может быть представлен следующим образом. Рассмотрим лотерею с двумя призами и. Также предположим, что функция полезностиявляется строго возрастающей. Ожидаемая полезность этой лотереи -, а ожидаемое денежное вознаграждение -. Выигрыш в этом случае равен

Отрицательное значение говорит о том, что

Следовательно,

Это означает, что функция полезности является выпуклой, что в свою очередь означает, что ЛПР является ищущим риска. Аналогично можно получить вогнутость функции полезности для нерасположенного рисковать субъекта. В этом случаеявляется положительным.

Пример (Определение величины страховки).Предположим, что субъект (ЛПР) имеет дом стоимостьюруб. Существует вероятность, что дом может быть разрушен наводнением или сгореть в пожаре. Предположим также, что ЛПР может купить такую страховку, что 1 руб. ее стоимости покрываетсярублями. Здесь- страховая премия. За сколько купит субъект страховку? Очевидно, что субъект купит страховку, которая совместима с его ощущением риска, т.е. соответствующую его индивидуальной функции полезности. Используя теорему ожидаемой полезности, можно утверждать, что величина страховки, которую бы заплатил субъект должна максимизировать ожидаемую полезность

Это выражение получено из следующих соображений. Если дом разрушен (вероятность ), то его хозяин получит страховкуминус число(страховые выплаты). С другой стороны, с вероятностьюдом не будет разрушен. В этом случае его стоимость будет равна. Если считать, что функцияопределена только для положительных доходов, то. Это гарантирует, что значения ожидаемой полезностинаходятся в интервале. Пусть,,. Тогда максимумзависит от типа субъекта.

Случай 1. Субъект не расположен рисковать и его функция полезности - . В этом случае

Дифференцируя по, получим

Принимая , получаем.

Случай 2. Субъект является ищущим риска и его функция полезности - . В этом случае

Ожидаемая полезность максимальна при . Это означает, что данный субъект вообще не будет покупать страховку.

Случай 3. Субъект является нейтральным к риску и . Тогда Ожидаемая полезность максимальна при.

Пример (Выбор оптимального распределения инвестиций, портфельная оптимизация).Предположим, что ЛПР имеет 10000 руб. для инвестиций в акции и облигации. Пусть акции имеют переменный доход, равномерно распределенный со средним значением 10% и среднеквадратическим отклонением 2%. Облигации приносят четкий доход 5%. ЛПР не расположен рисковать и его функция полезности -. Учитывая функцию полезности, ЛПР выбирает распределение инвестиций, которе максимизирует функцию полезности. Пусть- доля инвестиций в акции (). Ожидаемая полезность инвестора имеет вид

где - интервал возможного дохода от акций и- доход от акций.

Так как распределение дохода от акций равномерное, то и. Отсюдаи. Следовательно

Оптимальное значение равно 0.511, т.е. 51.1% денег следует вложить в акции и 48.9% - в облигации.