- •Министерство образования и науки рф
- •2. Сведения из теории
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Простейший поток
- •2.3. Описание функционирования марковского процесса с непрерывным временем
- •2.4. Процессы размножения и гибели
- •Запишем нормировочное условие
- •Решая систему дифференциальных уравнений (3) с учетом начальных условий, можно определить значения интересующих нас вероятностей.
- •2.5. Кодирование систем массового обслуживания
- •2.6. Решение системы дифференциальных уравнений
- •3.Выполнения лабораторной работы
- •3.1. Граф состояний
- •3.2. Математическая модель стационарного режима
- •3.3. Стационарные характеристики смо
- •3.4.Математическая модель нестационарного режима
- •3.5. Нестационарные характеристики смо
3.3. Стационарные характеристики смо
На основе полученных значений вероятностей пребывания системы в состояниях определяем показатели эффективности стационарного режима:
–вероятность того, что машина не работает;
–вероятность того, что машина занята рубкой;
–вероятность того, что машина занята рубкой и одно бревно ожидает в очереди;
–вероятность того, что машина занята рубкой и два бревна ожидают в очереди.
Рассмотрим другие показатели эффективности работы системы массового обслуживания.
Пусть – число машин, занятых рубкой. Это есть случайная величина с возможными значениями: 0, 1. Вероятности этих значений соответственно равны
,
.
Тогда среднее число машин, занятых рубкой, есть математическое ожидание случайной величины , которое равно
.
Следовательно, среднее число работающих машин равно 0,90.
Пусть – число машин, свободных от рубки. Это есть случайная величина с возможными значениями: 0, 1. Вероятности этих значений соответственно равны
,
.
Тогда среднее число машин, свободных от рубки, есть математическое ожидание случайной величины , которое равно
.
Следовательно, среднее число простаивающих машин равно 0,10. Общее число занятых и свободных от рубки машин равно
.
Коэффициент загрузки машин равен отношению среднего числа загруженных машин к общему числу машин в цехе, т.е.
.
Тогда в процентах .
Коэффициент простоя машин равен отношению среднего числа машин, свободных от рубки, к общему числу машин в цехе, т.е.
.
Тогда в процентах .
Пусть – число бревен в очереди. Это есть случайная величина с возможными значениями: 0, 1,2. Вероятности этих значений соответственно равны
,
,
.
Тогда среднее бревен в очереди есть математическое ожидание случайной величины , которое равно
.
Таким образом, среднее число бревен, находящихся в очереди на рубку, равно 1,19, т.е. более одного бревна.
3.4.Математическая модель нестационарного режима
Обозначим через вероятность пребывания системы в момент временив состоянии,. Это – переходные вероятности, изменяющиеся со временем. Согласно правилу, нестационарный режим описывается следующей системой дифференциальных уравнений, составленной по графу состояний, изображенному на рис.4:
. (14)
Решение этой системы должно удовлетворять начальному условию
, , (15)
означающему, что в момент времени система находится в состоянии: бревен в цехе нет, рубительные машины простаивают и очередь отсутствует. Контролем правильности решения системы является условие нормировки
, (16)
которое означает, что для любого момента времени сумма вероятностей постоянна и равна .
Решение задачи (14)-(15) получим в Excel на Листе 2 методом Эйлера, как показано в табл.6.
Таблица 6
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
Н | |||||||
1 |
|
4,46 |
Решение системы дифференциальных уравнений | ||||||||||||
2 |
|
2,7 |
t |
| |||||||||||
3 |
h |
0,1 |
0 |
|
|
|
|
| |||||||
4 |
|
|
0,1 |
0,554 |
0,446 |
0 |
0 |
1 | |||||||
5 |
|
|
0,2 |
0,427336 |
0,373748 |
0,198916 |
0 |
1 | |||||||
6 |
|
|
0,3 |
0,337656104 |
0,350444 |
0,223183752 |
0,08871654 |
1 | |||||||
7 |
|
|
0,4 |
0,281681256 |
0,31038 |
0,243635499 |
0,16430302 |
1 | |||||||
8 |
|
|
0,5 |
0,239854075 |
0,279559 |
0,251983877 |
0,22860264 |
1 | |||||||
… |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… | |||||||
79 |
|
|
7,6 |
0,101135415 |
0,167061 |
0,275959559 |
0,45584431 |
1 | |||||||
80 |
|
|
7,7 |
0,101135415 |
0,167061 |
0,275959559 |
0,45584431 |
1 |
В ячейки B1 и B2 поместим значения интенсивностей и. В ячейкуB3 поместим значение шага интегрирования . Примем. Блок ячеекC3 : G3 зарезервируем для записи времени начала функционирования системы и начальных вероятностей, взятых из (15). В блоке ячеекC4 : G4 поместим формулы Эйлера, по которым рассчитываются вероятности для текущего момента времени по известным вероятностям для предыдущего момента времени. Эти формулы приведены в табл.7.
Таблица 7
C4 |
C3 + $B$3 |
D4 |
D3 + $B$3 * (-$B$1 * D3 + $B$2 * E3) |
E4 |
E3 + $B$3 * ($B$1 * D3 – ($B$2 + $B$1) * E3 + $B$2 * F3) |
F4 |
F3 + $B$3 * ($B$1 * E3 – ( $B$2 + $B$1) * F3 + $B$2 * G3) |
G4 |
F3 + $B$3 * ($B$1 *F 3 – $B$2 *G 3) |
Протягивая эти формулы вниз, получим решение системы уравнений.
В табл.6 колонка I служит для контроля правильности введенных соотношений, а также для контроля правильности выбора шага интегрирования. В клетку I3 запишем формулу
= СУММ( D3 : G3 ),
которую протянем вниз. Для принятого шага элементы этой колонки равны «единице». А это означает правильность решения системы дифференциальных уравнений (14).
Вероятности с ростом временистремятся к своим стационарным значениям, не зависящим от времени и полученным в п.3.2. Поэтому, таблицу вероятностей вычисляем, пока ни будут выполняться соотношения:
, ,,.
Как следует из табл.2, указанные соотношения выполняются с точностью до трех знаков после запятой уже для момента времени .
Графическая иллюстрация вероятностей из табл.6 приведена на рис.5.
Рис.5. Вероятности состояний системы
Рис.5 свидетельствует о достаточно быстром вхождении процесса в стационарный режим, при котором вероятности практически не изменяются, а графики становятся параллельными оси времени.