- •«Математика»
- •Содержание
- •Рекомендации по выполнению и оформлению контрольных работ
- •Введение
- •Контрольные задания Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
- •Элементы линейной алгебры
- •Введение в математический анализ
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Исследование функций с помощью производных
- •Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •Неопределенный и определенный интегралы
- •Дифференциальные уравнения
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Элементы математического программирования
- •Решения типовых задач
- •Список литературы
- •Часть 3
- •450078, Г. Уфа, ул. Чернышевского, 145; тел. (347) 241-69-85.
Введение
В каждом семестре выполняется одна контрольная работа. Студент должен решить задачи своего варианта, который определяется по последней цифре номера зачетной книжки студента, например: если № зачетной книжки заканчивается на 2, то студент выполняет задания 1.2, 2.2, 3.2, 4.2, 5.2, 6.2, 7.2. В задачах 32-36 данные в задачах определяются по последним трем цифрам номера зачетной книжки студента.
Контрольные задания Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Задача 1. Даны векторы ив некотором базисе трехмерного пространства. Показать, что векторыобразуют базис данного трехмерного пространства и найти координаты векторав этом базисе.
(1;2;3), (-1;3;2),(7;-3;5),(6;10;17).
(4;7;8), (9;1;3),(2;-4;1),(1;-13;-13).
(8;2;3), (4;6;10), (3;-2;1), (7;4;11).
(10;3;1), (1;4;2),(3;9;2), (19;30;7).
(2;4;1), (1;3;6),(5;3;1),(24;20;6).
(1;7;3), (3;4;2),(4;8;5),(7;32;14).
(1;-2;3), (4;7;2),(6;4;2),(14;18;6).
(1;4;3), (6;8;5),(3;1;4),(21;18;33).
(2;7;3), (3;1;8),(2;-7;4),(16;14;27).
(7;2;1), (4;3;5),(3;4;-2),(2;-5;-13).
Задача 2. Даны векторы . Показать, что векторыобразуют базис четырехмерного пространства и найти координаты векторав этом базисе.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
Задача 3. Даны вершины треугольника. Найти: 1) длину стороны; 2) внутренний уголв радианах с точностью до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины; 7) систему неравенств, определяющих треугольник. Сделать чертеж.
3.1. .
3.2. .
3.3. .
4.4. .
3.5. .
3.6. .
3.7. .
3.8. .
3.9. .
3.10. .
Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.
4.1. А1(4;2;5), А2(0;7;2), А3(0;2;7), А4 (1;5;0).
4.2. А1(4;4;10), А2(4;10;2), А3(2;8;4), А4 (9;6;4).
4.3. А1(4;6;5), А2(6;9;4), А3(2;10;10), А4 (7;5;9).
4.4. А1(3;5;4), А2(8;7;4), А3(5;10;4), А4 (4;7;8).
4.5. А1(10;6;6), А2(-2;8;2), А3(6;8;9), А4 (7;10;3).
4.6. А1(1;8;2), А2(5;2;6), А3(5;7;4), А4 (4;10;9).
4.7. А1(6;6;5), А2(4;9;5), А3(4;6;11), А4 (6;9;3).
4.8. А1(7;2;2), А2(5;7;7), А3(5;3;1), А4 (2;3;7).
4.9. А1(8;6;4), А2(10;5;5), А3(5;6;8), А4 (8;10;7).
4.10. А1(7;7;3), А2(6;5;8), А3(3;5;8), А4 (8;4;1).
Элементы линейной алгебры
Задача 5. Найти матрицу, обратную матрице
.
Проверить результат, вычислив произведение данной и обратной матриц.
5.1. 5.2.5.3.
5.4. 5.5.5.6.
5.7. 5.8.5.9.
5.10.
Задача 6. Дана система линейных уравнений
Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления:
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.