Точечные оценки параметров распределения.

Пусть неизвестен параметр распределения, любая функцияна выборкеназываетсяточечной оценкой . Оценки тоже являются случайными величинами.

Требования к оценкам.

1. Несмещенность

2. Состоятельность

3. Эффективность (по сравнению с другими оценками) – если дисперсия оценки меньше дисперсий других оценок.

Можно показать, что несмещенная оценка состоятельна, если ее выборочная дисперсия стремится к нулю при .

Оценки ищут различными методами: методом моментов, методом максимального правдоподобия, методом наименьших квадратов и др.

Оценка среднего значения ГС (математического ожидания) – выборочное среднее. .

Оценка несмещенная,т.к..

Оценка состоятельная, т.к. по закону больших чисел.

Оценки дисперсии ГС:

1. Выборочная дисперсия

Это – смещенная, состоятельная оценка.

2. Несмещенная, состоятельная оценка дисперсии

Можно показать, что .

Пример. Вычислим оценки для приведенного выше ряда распределения

xk	0	1	3	5
nk	5	2	1	2
	1/2	1/5	1/10	1/5

,

.

Интервальные оценки.

Доверительный интервал– это интервал, такой, что,

где -доверительная вероятность.

Общее правило построения доверительного интервала для любого параметра основано на центральной предельной теореме, по которой при больших n(n>50) оценкаимеет нормальное распределение с, если- несмещенная оценка, а функция распределения случайной величинысходится по вероятности прик функции стандартного нормального распределения.

Квантиль (уровня ) случайной величиныXс функцией распределенияF(x) – это такое значение случайной величиныX, что.

Обозначим квантиль нормального распределения уровня, где,- доверительная вероятность, т.е., где - функция

стандартного нормального распределения. По симметрии плотности нормального распределения . Так как.

Так как распределение случайной величины стремится к стандартному нормальному распределению, то. Отсюда получаемдоверительный интервал

.

Доверительные интервалы для параметров нормального закона распределения. Доверительный интервал для математического ожидания.

Если ГС имеет нормальное распределение, то и любая выборка распределена нормально. Известно, что сумма нормальных случайных величин тоже распределена нормально. Поэтому оценка математического ожидания – выборочное среднее – нормально распределенная случайная величина с - известно.

3. Поэтому, если известно, то, идоверительный интервал дляматематического ожиданиястроится так:

с доверительной вероятностью. Квантили проще всего искать по таблицам квантилей нормального распределения.

4. Если неизвестно,то нормированная случайная величина(вместоподставлена его оценкаs) уже не распределена нормально.Она имеет распределение Стъюдента с n-1 степенями свободы. Есть таблицы квантилей распределения Стъюдента. По доверительной вероятности определяют, по таблице квантилей определяют квантильуровня. Затем по той же схеме строятдоверительный интервал для математического ожидания .

Если n> 20, то квантиль можно искать по таблицам квантилей нормального распределения.