Оценка эффективности для неопределенных операций

ai			п				Ца,)
	"i	П2				"к
а\	кп	кп
а2	к2х	к22			к2 к
ат		km2			ктк

Условия оценки эффективности систем для неопределенных операций можно представить в виде табл. 4.3, в которой обозна­чены:

а. - вектор управляемых параметров, определяющий

свойства системы (г = 1, ... , т); rij - вектор неуправляемых .параметров, определяющий

состояние обстановки (J = I, ... , к); ку - значение эффективности системы a_t для состояния

обстановки Пр K{a_t) - эффективность системы a_i.

Каждая строка таблицы содержит значения эффективности одной системы для всех состояний обстановки rij, а каждый стол­бец - значения эффективности для всех систем а_{ при одном и том же состоянии обстановки. В случае задания состояний обстанов­ки одним параметром матрица эффективности может быть пред­ставлена диаграммой (рис. 4.4).

В неопределенной операции могут быть известны множество состояний обстановки и эффективность систем для каждой из них, но нет данных, с какой вероятностью может появиться то или иное состояние.

В зависимости от характера неопределенности операции мо­гут делиться на игровые и статистически неопределенные. В иг­ровых операциях неопределенность вносит своими сознательны­ми действиями противник. Для исследования игровых операций используется теория игр. Условия статистически неопределенных операций зависят от объективной действительности, называемой природой.

Рис. 4.4. Диаграмма эффективности систем а. для условий

Природа рассматривается как незаинтересованная, безразличная к операции сторона (она пассивна по отношению к лицу, принимающему решение). Такие операции могут исследо­ваться с применением теории статистических решений.

Если операция, проводимая системой, уникальна, то для раз­решения неопределенности при оценке систем используются субъективные предпочтения ЛПР. По этой причине единого кри­терия оценки эффективности для неопределенных операций не существует. Разработаны лишь общие требования к критериям и процедурам оценки и выбора оптимальных систем. Основными требованиями являются:

1. оптимальное решение не должно меняться с перестановкой строк и столбцов матрицы эффективности;

2. оптимальное решение не должно меняться при добавлении тождественной строки или тождественного столбца к матрице эффективности;

3. оптимальное решение не должно меняться от добавления постоянного числа к значению каждого элемента матрицы эф­фективности;

оптимальное решение не должно становиться неоптималь­ным, а неоптимальное оптимальным в случае добавления новых систем, среди которых нет ни одной более эффективной системы;

4)оптимальное решение не должно становиться неоптималь­ным, а неоптимальное оптимальным в случае добавления новых систем, среди которых нет ни одной более эффективной системы

5) если системы a_t и а. оптимальны, то вероятностная смесь этих систем тоже должна быть оптимальна.

В зависимости от характера предпочтений ЛПР наиболее ча­сто в неопределенных операциях используются критерии:

• среднего выигрыша;

• Лапласа;

• осторожного наблюдателя (Вальда);

• максимакса;

• пессимизма-оптимизма (Гурвица);

• минимального риска (Сэвиджа).

МОДУЛЬ 5- ОСНОВЫ УПРАВЛЕНИЯ

Лекция 13- Аксиомы по теории управления. Принцип необходимого разнообразия Эшби

Для управления необходимо выполнение ряда естественных условий, которые сформулируем в виде аксиом.

Аксиома 1. Наличие наблюдаемости объекта управления. В теории управления ОУ считается наблюдаемым в состоянии z(t) на множестве моментов времени Т, при входном воздействии л:(/) и отсутствии возмущений, если уравнение наблюдения динами­ческой системы, представленное в виде

yV) m z\t)],

где y*(t) - некоторая реализация выходного процесса, доступная для реги­страции, имеет единственное решение

z*(t) = z(t) е Z .

Если это утверждение справедливо для любого z(t) е Z, то объект считается полностью наблюдаемым.

Это выражение означает, что определение любого из состоя­ний ОУ (т.е. его наблюдаемость) реализуется только в том слу­чае, если по результатам измерения выходных переменных у *(t) при известных значениях входных переменных х(() может быть получена оценка z *(t) любой из переменных состояния z(t).

Такая задача в теории систем известна как задача наблюдения. В организационно-технических системах управления эта задача реализуется функцией контроля текущего состояния ОУ и воз­действий внешней среды. Без этой информации управление или невозможно, или неэффективно.

Аксиома 2. Наличие управляемости - способности ОУ пе­реходить в пространстве состояний Z из текущего состояния в требуемое под воздействиями управляющей системы. Под этим можно понимать перемещение в физическом пространстве, из­менение скорости и направления движения в пространстве состо­яний, изменение структуры или свойств ОУ. Если состояние ОУ не меняется, то понятие управления теряет смысл.

Аксиома 3. Наличие цели управления. Под целью управле­ния понимают набор значений количественных или качествен­ных характеристик, определяющих требуемое состояние ОУ.

Если цель неизвестна, управление не имеет смысла, а измене­ние состояний превращается в бесцельное блуждание. Цель ото­бражается точкой, в которую надо перевести систему из суще­ствующего состояния, или траекторией перевода ОУ в требуемое состояние в виде, например, аддитивной свертки

п

max F— Еад

/=1

с ограничениями типа Ъ_1У1<с,

/=1

где y_i - i-я характеристика;

a_f - важность (вес) i-й характеристики;

Ь., - расход ресурсов на поддержание i-й характеристики в требуемом состоянии;

с - общее количество ресурсов.

Аксиома 4. Свобода выбора - возможность выбора управ­ляющих воздействий (решений) из некоторого множества допус­тимых альтернатив. Чем меньше это множество, тем менее эф­фективно управление, так как в условиях ограничений оптималь­ные решения часто остаются за пределами области адекватнос­ти. Если имеется единственная альтернатива, то управление не требуется. Если решения не влияют на изменение состояния ОУ, то управления не существует.

Аксиома 5. Наличие критерия эффективности управления. Обобщенным критерием эффективности управления считается степень достижения цели функционирования системы.

Кроме степени достижения цели качество управления можно оценивать по частным критериям: степени соответствия управ­ляющих воздействий требуемым состояниям ОУ, качеству при­нимаемых решений, точности управления. Для оценки систем управления военного назначения вводятся требования к управ­лению по показателям устойчивости, непрерывности (длитель­ности цикла управления), оперативности и скрытности.

Аксиома 6. Наличие ресурсов (материальных, финансовых, трудовых и т.д.), обеспечивающих реализацию принятых реше­ний. Отсутствие ресурсов равносильно отсутствию свободы вы­бора. Управление без ресурсов невозможно.

Принцип необходимого разнообразия Эшби

Из аксиом управления следует, что управление заключается в ограничении разнообразия состояний управляемого объекта. Это означает, что энтропия объекта управления должна быть равна нулю Н( Y) = 0. Иными словами, неопределенность относительно состояний объекта управления в управляющей системе должна полностью отсутствовать и объект управления должен находиться в строго определенном состоянии с вероятностью, равной еди­нице.

Если управляемый объект характеризуется одним показате­лем качества У и может находиться в п состояниях У\>У2> — >У¹_п

с вероятностями р(у[), р(у¹₂)> — > Р(У_п) > ^т0 сообщение Y о том, в

каком из состояний находится объект в системе с полной инфор­мацией, будет содержать количество информации, равное его эн­тропии

mY) = -ip(y'_i)log₂p(y'_i). i=i

Для оценки состояний объекта, характеризуемого т показа­телями качества у i, требуется провести суммирование и по j, j - 1,2,..., т.

Энтропия H(Y) является мерой первоначальной неопределен­ности состояния объекта управления. Чем больше число различ­ных состояний объекта и чем меньше отличаются друг от друга их вероятности, тем больше энтропия объекта управления. При п равновероятных состояниях р_{ = 1 /п значение энтропии макси­мально: ЩУ)^ = logyi.

С получением сведений об объекте управления неопределен­ность его состояния для управляющей системы уменьшается. Количество взаимной информации в сообщениях, предназначен­ных для уточнения состояния (уменьшения энтропии) объекта управления, определяют как разность:

I(Y, Y') = H(Y)~ H(Y/Y'), где Я( Y/Y')- условная энтропия объекта после получения сообщения У.

Если полученное сообщение полностью характеризует состоя­ние объекта, то оно полностью снимает неопределенность (Н (Y/Y') = 0) и несет количество информации, равное #(У).

Из теории информации также известно, что количество ин­формации обладает двумя важными свойствами: положительно­стью и симметричностью. Первое свойство свидетельствует о том, что количество информации всегда больше или равно нулю (7> 0). Согласно второму свойству количество взаимной информации 1(А, В), которое содержит принятое сообщение о посланном, рав­но количеству взаимной информации 1(В, А), которое содержит посланное сообщение о принятом

1(А, В) = 1(В, А).

Указанные характеристики информации позволяют провес­ти анализ управляющих воздействий относительно их соответ­ствия состояниям управляемого объекта. Иначе, определить пре­делы управления.

Пусть существует система с управлением, в которой решает­ся задача стабилизации - поддержание заданного состояния при случайных воздействиях внешней среды. Система описывается множеством возможных состояний объекта управления Y = , / = 1, 2, ... , п, и множеством возможных управляющих воздей­ствий X = {Xj},j =1,2,..., т.

Для определения пределов управления рассмотрим три воз­можных варианта:

1. Отсутствие управления.

2. Идеальное управление (управление с полной информацией).

3. Реальное управление (управление с неполной информа­цией).

   1. Отсутствие управления. Если управление отсутствует, то управляемый объект может принимать любое из состояний Y и характеризуется максимальной энтропией

Я(У) =- Х>(л)1о₈₂ Р(уд = я(У)_тах.

1=1

2. Идеальное управление. Если управление идеальное, управ­ляемый объект будет все время находиться в заданном состоянии с вероятностью, равной единице, и поэтому энтропия управляе­мого объекта равна нулю.

Проиллюстрируем это утверждение. Пусть для заданной сис­темы при условии воздействий X вероятность первого состояния

п

р(У\) = 1, а вероятности остальных состояний Следо-

/=2

вательно,

#( Y/X) = ) • log₂ р( Ух)} + {£ Piy_t) ■ log₂ P(y_t)} =

1=2

= -{1 • log₂1} + {0 • £ log₂ ply,)} = - {1 • 0} + {0} = 0.

/=2

3. Реальное управление. При управлении в реальных условиях имеют место отклонения состояния управляемого объекта отно­сительно заданного. Это определяется тем, что управляющая си­стема в общем случае подвержена внешним воздействиям, не об­ладает полной информацией о состоянии среды N и объекта управления Y(N'<z N иУ с У). Это приводит к тому, что управ­ляющие воздействия не полностью соответствуют требуемым воз­действиям. В этом случае можно сделать вывод, что энтропия объекта управления в реальных условиях может изменяться в пределах

0 < #(Y/X) < H(Y)_max.

Качество управления может определяться количеством вза­имной информации 1(Х, У) в управляющих воздействиях X отно­сительно состояний управляемого объекта Y, вычисляемой как разность между безусловной и условной энтропией

H(Y)_m^-H( YIX) = I(X, У), (4.1)

что соответствует уменьшению энтропии управляемого объекта на величину, равную полученной информации.

С другой стороны, количество взаимной информации I(X, Y) в управляющих воздействиях X относительно состояний управ­ляемого объекта Y может быть выражено как разность энтропии управляющей системы ЩХ) и условной энтропии управляющей системы после получения сообщения о состоянии управляемого объекта #(А7У):

I(X, Y) = Я(X) - H(X/Y). (4.2)

Подставив выражение (4.2) в правую часть выражения (4.1), получим

Я(У)_тах - Я( Y/X) = Н(Х) - H(X/Y). (4.3)

После переноса Я( У)_тах из левой части выражения (4.3) в пра­вую часть и замены знаков получим

Я( Y/X) = Я( У)_тах - Н(Х) + Я(Л7У

Выражение (4.4), определяющее предельные возможности уп­равления, показывает, что для повышения качества управления, т.е. уменьшения энтропии Н (Y/X), необходимо:

• уменьшать разнообразие состояний управляемого объекта Я(Г);

• увеличивать разнообразие управляющих воздействий Н(Х), приближая его к разнообразию состояний управляемого объек­та Я( Г);

• уменьшать неоднозначность управляющих воздействий относительно состояний объекта управления Я(Л7У), что возмож­но при наличии полной информации об управляемом объекте и внешней среде.

Иными словами, нужно стремиться к тому, чтобы на каж­дое возможное состояние управляемого объекта имелось свое уп­равляющее воздействие, чтобы существовала возможность исполь­зования управляющих воздействий в зависимости от состояния и чтобы всякий раз обеспечивался выбор того воздействия, кото­рое соответствует состоянию объекта управления. Выражение (4.4) отражает фундаментальный принцип кибернетики, извест­ный как принцип необходимого разнообразия (принцип У. Рос­са Эшби) и формулируемый кратко так: «Разнообразие управля­ющей системы должно быть не меньше разнообразия объекта управления».

Согласно данному принципу с увеличением сложности объек­та управления сложность управляющей системы должна увели­чиваться. При управлении нужно располагать возможно более точной и полной информацией об управляемом объекте и внеш­ней среде.

Из этого принципа следует, что энтропию объекта управле­ния (многообразие состояний регулируемых переменных) мож­но понизить до желаемого уровня (что и является целью регули­рования), только увеличив энтропию управляющей системы (мно­гообразие регулирующих переменных) по меньшей мере до соот­ветствующего минимума.

Принцип утверждает, что производительность любого физи­ческого устройства как регулятора не превышает его производи­тельности как канала связи.

К сожалению, условная энтропия #( Y/X) не может считаться исчерпывающей характеристикой качества управления даже в теоретическом плане. Дело в том, что значение энтропии зави­сит

лишь от распределения вероятностей, но не от самих значе­ний случайной величины. Между тем довольно часто более важ­ны сами значения случайных отклонений, а не их вероятности. Кроме того, возможности управления ограничиваются и некото­рыми другими факторами, например временем обработки инфор­мации в управляющем объекте и передачи ее по каналам прямой и обратной связи.

Лекция 14-Типовые постановки задач системного анализа

Во второй половине XX в. при решении практических задач стали находить широкое применение математические методы. Они стали ис­пользоваться при перспективном и текущем планировании научно-ис­следовательских работ, проектировании различных объектов, управле­нии технологическими и производственными процессами, прогнозиро­вании развития социальных и производственных систем, оптимизации маршрутов перевозки грузов. Особенно часто к математическим ме­тодам прибегают при решении задач оптимизации функционирования производственных систем, при распределении материальных и трудо­вых ресурсов и страховых запасов, при выборе местоположения пред­приятий, исследовании и оценке безопасности функционирования объек­тов повышенного риска. Постановки перечисленных задач носят опти­мизационный характер, где в качестве критериев эффективности при­меняются различные целевые функции. Как уже было отмечено, осо­бенностью постановок задач системного анализа является то обстоя­тельство, что наряду со строгим математическим аппаратом приме­няются эвристические методы, основанные на интуиции исследователя, его опыте в решении задач подобного типа. Рассмотрим некоторые постанов­ки задач, являющиеся типовыми задачами системных исследований.

Задачи распределения ресурсов

Задачи распределения ресурсов возникают, когда существует опре­деленный набор работ или операций, которые необходимо выполнить, а имеющихся в наличии ресурсов для выполнения каждой из них наилуч­шим образом не хватает. Способы распределения ограниченных ресур­сов при выполнении различных операций в системе управления могут быть различными. Для того чтобы решить задачу распределения ре­сурсов, необходимо сформулировать некоторую систему предпочтений или решающее правило. Такое правило принятия решений по определе­нию объема ресурсов, которые целесообразно выделить для каждого процесса, обычно разрабатывается с учетом оптимизации некоторой це­левой функции при ограничениях на объем имеющихся ресурсов и вре­менные характеристики.

В зависимости от условий задачи распределения ресурсов делятся на три класса.

1. Заданы и работы, и ресурсы. Требуется распределить ресурсы между работами таким образом, чтобы максимизировать некоторую меру эффективности (скажем, прибыль) или минимизировать ожидае­мые затраты (издержки производства). Например, предприятию уста­новлено производственное задание в рамках оговоренного срока. Из­вестны мощности предприятия. При изготовлении продукции изделия проходят обработку на разных станках. Естественным является огра­ничение - одновременно на одном станке может обрабатываться только одна единица продукции. Мощности предприятия ограниченны и не по­зволяют для каждого изделия использовать наилучшую технологию. Требуется выбрать такие способы производства для каждой единицы продукции, чтобы выполнить задание с минимальными затратами.

2. Заданы только наличные ресурсы. Требуется определить, какой состав работ можно выполнить с учетом этих ресурсов, чтобы обеспе­чить максимум некоторой меры эффективности. Приведем пример. Имеется предприятие с определенными производственными мощнос­тями. Требуется произвести планирование ассортимента и объема вы­пуска продукции, которые позволили бы максимизировать доход пред­приятия.

3. Заданы только работы. Необходимо определить, какие ресурсы требуются для того, чтобы минимизировать суммарные издержки. Например, составлено расписание движения автобусов пригородного и междугороднего сообщения на летний период времени. Требуется оп­ределить необходимое количество водителей, кондукторов, контролеров и прочего обслуживающего персонала, чтобы выполнить план перево­зок с минимальными эксплуатационными затратами.

Рассмотрим более детально две постановки задач, в которых воз­никает необходимость распределения ресурсов. Задачи в той постанов­ке, в которой они будут сформулированы, решаются при проектирова­нии технических объектов, в том числе автоматизированных систем обработки информации и управления.

Первая задача - задача составления титульного списка.

На начальном этапе разработки автоматизированной системы об­работки информации и управления встает проблема выбора комплекса задач, подлежащих автоматизации. В техническое задание на систему включают как задачи с известными алгоритмами решения, так и зада­чи, требующие выполнения специальных исследований, проведения на­учных разработок. Известно, что проектирование и ввод системы в эксплуатацию осуществляются поэтапно. На первом этапе автомати­зации в перечень задач, подлежащих автоматизации, включаются только те задачи, которые имеют алгоритмы для решения. Проблемные зада­чи должны составлять самостоятельную группу. В проектную разра­ботку их включают только после четкой постановки и определения ме­тодов решения и оценки эффективности. Эти задачи подлежат автома­тизации на последующих этапах, возможно, уже после ввода системы в эксплуатацию. Так формулируется перечень задач, решаемых на пер­вом этапе автоматизации.

После составления перечня задач, включаемых в первый этап раз­работки, необходимо оценить требуемый состав ресурсов на их разра­ботку и требуемое время для их внедрения. Если для разработки и вне­дрения задач первого этапа имеется достаточное количество ресурсов, и время, требуемое на их разработку, не превышает заданного срока ввода первой очереди в эксплуатацию, то занимаются распределением ресурсов по задачам, подлежащим автоматизации. Если же время, тре­буемое на разработку задач, превышает заданный срок ввода первой очереди в эксплуатацию, возникает проблема составления титульного списка, т. е. возникает необходимость ограничения перечня задач, ав­томатизируемых на первом этапе. Проблема выбора комплекса задач нз сформированного перечня в условиях дефицита времени и ресурсов на разработку всего перечня задач, выполняемых на первом этапе ав­томатизации, называется задачей составления титульного списка. Та­ким образом, формулировка задачи будет выглядеть так: требуется сформировать перечень задач, подлежащих автоматизации (титульный список), с учетом имеющихся материальных, временных, трудовых и прочих ресурсов. Данная задача относится ко второму классу задач, когда заданы ресурсы и необходимо сформировать состав работ.

Рассмотрим вторую задачу, возникающую при проектировании си­стем, - задачу определения оптимальной очередности разработ­ки.

Задача определения оптимальной очередности разработки встает перед проектировщиками на следующем этапе проектирования после составления титульного списка задач, подлежащих автоматизации. Суть задачи состоит в распределении ресурсов, выделяемых на разработку системы, между задачами и упорядочении процесса разработки задач во времени. При определении очередности разработки необходимо учи­тывать одно важное обстоятельство, а именно, зависимость задач друг от друга, т. е. тот факт, что для некоторых задач не может начаться разработка, пока не закончено проектирование задач, от результатов вне­дрения которых они зависят. Иными словами, необходимо учитывать ситуации, когда задачи связаны между собой, например, по информа­ции, т. е. выходная информация одних задач является входной для дру­гих. В качестве модели разработки такого рода проектов используется сетевая модель комплекса операций, так как сетевые модели позволя­ют отразить взаимосвязи операций проекта. Формализованная поста­новка данной задачи будет выглядеть следующим образом: необходи­мо оптимизировать некоторый функционал при выполнении ограничений на потребление ресурсов, выделенных на разработку проекта в разме­ре, не превышающем заданного объема в заданном временном интер­вале. В качестве оптимизируемого функционала чаще всего использу­ются экономические критерии. Задача в такой постановке относится к первому классу задач.

Задачи управления запасами

Одной из сфер практической деятельности, в которой успешно при­меняются методы системного анализа, является сфера управления за­пасами. Система управления запасами представляет особый интерес для системного аналитика. Это объясняется, во-первых, сложностью задач, которые приходится решать в этой сфере управления, а во-вто­рых, общностью постановки задачи, которая находит применение в си­стемах различного типа, например, производственных системах, пред­приятиях торговли и сбыта, при обосновании количества запасных из­делий и т. п. Первые системы управления запасами были разработаны применительно к обоснованию необходимой потребности в запасных частях предприятий крупных компаний. Задачи управления запасами обладают одной особенностью - с увеличением запасов увеличивают­ся расходы, связанные с их хранением, но уменьшаются потери от воз­можного их дефицита. Следовательно, одна из задач управления запа­сами заключается в минимизации суммы ожидаемых затрат, связан­ных с хранением запасов, и потерь, обусловленных их отсутствием в случае необходимости.

Основная проблема, возникающая при решении задачи управления запасами, состоите создании эффективной и надежной системы управ­ления. Общая система управления запасами представляет собой три уровня решения данной задачи.

Первый уровень предусматривает обработку, ведение учета и хра­нение информации о запасах. Основные сведения, необходимые для успешного функционирования системы управления запасами, - это ин­формация об уровне имеющихся запасов и запасов, которые будут со­зданы за счет размещения заказов, а также о заделе по заказам потре­бителя, если такие заказы имеются. Учет информации относительно любой имеющейся в запасах продукции включает в себя такие показа­тели как ее стоимость, единица измерения, источник получения, время упреждения и т. п. На первый взгляд количество различных данных о производимых или необходимых операциях невелико, однако в услови­ях функционирования крупных промышленных предприятий объем по­ступающей информации оказывается существенным. Значительно по­высить эффективность обработки и хранения информации удается пу­тем автоматизации процесса обработки данных.

Второй уровень рассматриваемой системы предполагает разработку правил принятия решения, на основе которых устанавливаются срок и размер заказа, необходимого для пополнения запасов. Каждое правило принятия решений является частной задачей оптимизации управления запасами. Задачи, которые приходится решать пользователю в практи­ческих условиях, могут отличаться по своему характеру, так как конк­ретные системы имеют различные параметры. Поэтому системному аналитику необходимо знать условия, при которых одно правило приня­тия решений оказывается предпочтительнее другого. С формальной точки зрения эти решения являются оптимальными, тем не менее, для успешного применения необходимо учитывать мнение соответствую­щих сотрудников органов управления, имеющих опыт работы и соответ­ствующую квалификацию в данном вопросе. Следует иметь в виду, что при разработке правил принятия решений более важным является со­ответствующий учет реальной обстановки, чем достижение максималь­ного показателя эффективности функционирования системы.

Третий уровень системы позволяет на основе разработанных пра­вил принятия решений построить модель системы управления запаса­ми и в соответствии с этой моделью определить стратегию функцио­нирования системы на длительную перспективу. Организация контроля за работой системы дает возможность органам управления осуществ­лять управление системой в целом, а не запасами конкретной продук­ции и в случае необходимости вмешиваться в работу системы. Прави­ла принятия решений по восстановлению уровня первоначального запа­са и сохранению уровня резервного запаса разрабатываются с помо­щью методов прогнозирования. Точность прогноза определяется уров­нем отклонения результатов прогноза от фактических данных. Каждое правило принятия решений содержит, по крайней мере, одну управляю­щую переменную, значение которой обычно задается органами управ­ления. Это делается с целью обеспечения возможности оказывать вли­яние на перераспределение материальных ресурсов между затратами, связанными с запасами, и эксплуатационными затратами. Для ряда систем актуальными являются вопросы разработки правил принятия решений по созданию запасов в условиях наличия ограничений на ре­сурсы.

Таким образом, можно сделать вывод, что задача управления за­пасами есть комплексная задача, составными частями которой явля­ются ведение информационной базы, построение моделей управления запасами, оптимизация объема создаваемого запаса и времени его по­полнения и прочие вопросы.

Математическое программирование

Методы математического программирования представляют собой класс моделей, применяемых для формализации задач планирования целенаправленной деятельности, предусматривающих распределение ограниченного количества ресурсов разных видов. Подобного рода задачи решаются в различных отраслях деятельности: в экономике, при разработке проектов, составлении расписаний, планировании во­енных операций и т.п. Модели математического программирования относятся к категории детерминированных моделей. Термин програм­мирование в применении к рассматриваемому типу задач понимается как поиск наилучших планов (от английского слова programming - со­ставление плана, программы действий). Когда говорят о задачах ма­тематического программирования, имеют в виду задачи, цель которых состоит в повышении эффективности промышленных, транспортных систем, систем управления деятельностью учебных, проектных, на­учных организаций.

Математическое программирование подразделяется на линейное, целочисленное, нелинейное, динамическое программирование. Рас­смотрим некоторые постановки задач, методы и алгоритмы их реше­ния

Математические постановки задач, приводящие к моделям линейного программирования

Задачи линейного программирования относятся к категории опти­мизационных. Они находят широкое применение в различных облас­тях практической деятельности: при организации работы транспорт­ных систем, в управлении промышленными предприятиями, при состав­лении проектов сложных систем. Многие распространенные классы задач системного анализа, в частности, задачи оптимального плани­рования, распределения различных ресурсов, управления запасами, ка­ лендарного планирования, межотраслевого баланса укладываются в рамки моделей линейного программирования. Несмотря на различные области приложения данные задачи имеют единую постановку: найти значения переменных х,, х₂,..., х_п, доставляющие оптимум заданной линейной формы z = с,.х,+ cjc₂+...+ с х_я при выполнении системы огра­ничений, представляющих собой также линейные формы.

Рассмотрим примеры конкретных постановок задач, формализация которых приводит к моделям линейного программирования. Вначале рассмотрим задачу определения оптимального ассортимента. Имеет­ся р видов ресурсов в количествах b_l,b₂,...,b_j,...,b_pnq видов изделий.

Задана матрица A = |a_tf|, где а_ц характеризует нормы расхода г'-го ре­сурса на единицуу-го изделия (/-1, 2,..., q). Эффективность выпуска единицы j-го изделия характеризуется показателем Cj, удовлетворяю­щим условию линейности. Требуется определить план выпуска изделий (оптимальный ассортимент), при котором суммарный показатель эффек­тивности принимает наибольшее значение. Обозначим количество еди­ниц j-vo изделия, выпускаемых предприятием, через x_Jt тогда матема­тическая модель задачи будет иметь следующий вид:

определить максимум линейной формы maxz = Х^СЛ

j

при ограничениях на ресурсы <b„ i = 1, 2,..., р.

j

Кроме указанных ограничений по ресурсам в модель могут быть введены дополнительные ограничения на планируемый выпуск продук­ции х. > Хр, условия комплектности изделий и т.п.

Задача линейного программирования

Постановка задачи линейного программирования. Задачи ли­нейного программирования (ЗЛП) - простейший тип оптимизационных задач.

При записи задачи линейного программирования в стандартной или канонической форме число линейно независимых уравнений, как прави­ло, меньше числа переменных (на практике всегда т<п, где т - число уравнений). Отметим некоторые свойства, касающиеся системы огра­ничений:

1. уравнения линейно независимы, если ни одно из них не может быть получено из остальных путем алгебраических преобразований, т.е. никакие из них не являются следствием остальных;

2. если число независимых уравнений больше числа переменных, то такая система не имеет решения и называется несовместимой;

3. если число независимых уравнений равно числу переменных, то такая система имеет единственное решение, которое либо оптималь­но, если все компоненты положительны, либо недопустимо, если хотя бы одна из компонент отрицательна;

4. если удается найти множество неотрицательных значений Х= (дг,, jc₂,. .., jc_n), которое является решением системы т линейных уравнений с п+т неизвестными, то такое решение называют базисным, а ненуле­вые переменные - базисными переменными.

Пример задачи линейного программирования. Рассмотрим двухмерную задачу линейного программирования.

Пусть требуется найти максимум линейной формы

maxF(x,,x₂) = max(x, +lx₂)

при условии

х, +х₂ <120,

0< jc, <100,

0< х₂< 75.

Изобразим область, описываемую совокупностью ограничений на плоскости jc_t ох₂ (рис. 10.1). Переменные*, их₂ неотрицательные, по­этому множество точек (дг,, дс₂), являющихся возможными решениями задачи, находятся в I квадранте. Заменим знак в дс, + х₂ <, 120 на знак равенства, получим уравнение прямой: дс, +дс₂ = 120. Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости. Все точки одной полуплоскости удов­летворяют неравенству дг, + х₂ > 120, другой - неравенству дг, + х₂ < 120.

Построив аналогичные прямые дг, =100 и дс₂ = 75, получим много­угольник, множество точек которого (*,, х₂) удовлетворяет всем нера­венствам системы ограничений. Этот многоугольник и представляет собой область допустимых решений D.

Из множества точек (*,, дс₂) многоугольника необходимо выбрать такую, в которой функция F(x_t, дс₂) = (дс, + 2дс₂) принимает максимальное

Рис. 10.1. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования

значение. Для некоторого фиксированного значения F* линейная функ­ция F*(x_}, х₂) = (х, + 2х₂) представляет собой прямую линию. Задава­ясь различными значениями F\ получим семейство параллельных пря­мых. Увеличение значений линейной функции соответствует перемеще­нию прямой параллельно самой себе вверх. Следовательно, как видно из рис. 10.1, максимальное значение целевой функции на допустимом множестве точек соответствует прямой, проходящей через точку z пе­ресечения прямых х, + х₂ = 120 и х₂ = 75.

Решив эту систему, получим х, = 45. Тогда максимальное значение функции F = тах(х, + 2х₂) = 195.

Постановки задач, приводящие к моделям теории массового обслуживания

Модели теории массового обслуживания находят применение при решении задач системного анализа в случае, когда исследуемые вели­чины имеют случайный характер. К числу таких задач относятся за­дачи управления запасами при случайном спросе, задачи организации работы предприятий торговли, связи, бытовою и медицинского обслужи­вания, организации технического обслуживания предприятий, вопросы снаб­жения запасными частями и механизмами и т.п.

Рассмотрим основные понятия теории массового обслуживания. Каждая система массового обслуживания (СМО) состоит из некото­рого числа обслуживающих объектов, называемых каналами обслужи­вания. Всякая СМО предназначена для обслуживания определенного потока заявок, поступающих в случайные моменты времени. Обслужи­вание заявки продолжается какое-то, в общем случае, случайное вре­мя, после чего канал освобождается и готов к приему следующей за­явки. Случайный характер потока заявок и времен обслуживания при­водит к тому, что в некоторые моменты времени на входе в СМО мо­жет образоваться очередь, в другие периоды времени каналы могут работать с недогрузкой или вообще простаивать.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Состояния сис­темы массового обслуживания меняются скачком в моменты реали­зации событий (поступление новой или окончание обслуживания заяв­ки, момента, когда заявка, которой надоело ждать, покидает очередь).

Задача теории массового обслуживания состоит в построении мо­делей, связывающих заданные условия работы СМО с интересующи­ми показателями эффективности системы, описывающими ее способ­ность справляться с потоком заявок. В качестве показателей могут применяться следующие: среднее число заявок, обслуживаемых в еди­ницу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания; вероятность того, что число заявок в очереди превысит некоторое число и т.д.

Во многих задачах теории массового обслуживания для определе­ния необходимого показателя эффективности достаточно знать распре­деление входящего потока, дисциплину очереди (например, случайный выбор, обслуживание в порядке поступления или с приоритетом) и рас­пределение времени обслуживания. В других задачах нужно иметь до­полнительную информацию. Например, в случае отказов в обслужива­нии нужно определить вероятность того, что поступившее требование получит отказ сразу после прибытия или через некоторое время, т.е. покинет очередь до или после присоединения к ней.

С теоретической точки зрения очереди можно рассматривать как потоки, проходящие через систему пунктов обслуживания, соединенных последовательно или параллельно. На поток оказывают влияние различ­ные факторы; они могут замедлять его, приводить к насыщению и т.д. При изучении систем массового обслуживания ключевыми характери­стиками являются такие, как интенсивность входного потока требова­ний и интенсивность обслуживания. В более общем случае могут ис­пользоваться распределение длительности интервалов времени между моментами поступления заявок на обслуживание и распределение дли­тельности обслуживания.

Для всякой системы массового обслуживания (СМО) характерна структура, которая определяется составом элементов и связями меж­ду ними. Основными элементами системы являются

• входящий поток требований,

• каналы обслуживания,

• очередь требований,

выходящий поток требований. Рассмотрим некоторые понятия теории массового обслуживания более подробно. Одно из исходных - понятие входящего потока требо­ваний, который представляет собой совокупность требований, поступа­ющих в систему и нуждающихся в обслуживании. В начальный момент времени в системе может находиться некоторое число требований. Следующее требование поступает через случайное время, которое имеет определенный закон распределения. Случайны также длитель­ности между моментами поступления последовательных требований. Промежутки между поступлениями требований во многих прикладных задачах можно считать взаимно независимыми. Однако существуют примеры, когда это предположение не выполняется. Скажем, при дви­жении потока транспорта через перекресток интервалы между прохож­дением очередных машин будут зависимыми событиями.

В систему массового обслуживания требования могут поступать из конечной или бесконечной совокупности, которая может состоять из различных категорий требований. Требования каждой из категорий могут поступать с различным распределением, по одиночке или в со­ставе группы, и занимать место в очереди в установившемся порядке. Распределение входящего потока требований может зависеть от рас­пределения выходящего потока. Например, в больницу пациенты при­нимаются только при наличии освободившихся мест.

Каждой из СМО свойственна определенная организация. По соста­ву СМО разделяют на одноканальные и многоканальные. Многоканаль­ные системы могут состоять из каналов одинаковой и разной произво­дительности (пропускной способности). СМО классифицируются по времени пребывания требования в системе до начала обслуживания. Выделяют каналы с неограниченным временем ожидания, каналы с отказами и каналы смешанного типа. В системах с неограниченным временем ожидания очередная заявка, застав все обслуживающие ка­налы занятыми, становится в очередь и дожидается до тех пор, пока один из обслуживающих каналов не освободится. В системах с отка­зами всякое вновь поступившее требование, застав все приборы заня­тыми, покидает систему. В системах смешанного типа поступившее требование, застав все приборы занятыми, становится в очередь. Но в ней оно может находиться ограниченное время, после истечения кото­рого, не дождавшись обслуживания, требование покидает систему.

В системах с ожиданием используются следующие дисциплины обслу­живания:

• первым пришел - первым обслужился (данная дисциплина нахо­дит

• наиболее широкое применение и обозначается как FIFO - исполь­зуется аббревиатура английского названия first input - first output); дисциплина обслуживания по приоритетам;

• случайный выбор обслуживания.

При обслуживании по приоритетам в случае поступления в систе­му требования с более высоким приоритетом обслуживание остальных требований может прерываться либо оно может быть завершено. В редких случаях встречается дисциплина обслуживания «последним пришел - первым обслужился».

СМО классифицируют по порядку занятия свободных каналов вновь поступившими требованиями, а именно:

• каналы подключаются в строгом порядке, определяемом приори­тетом использования;

• каналы обслуживают поступившие требования в порядке освобож­дения;

• каналы занимаются в случайном порядке.

Лекция 15-Выбор и принятие решений

Характеристика задач принятия решений

Теория принятия решений представляет собой набор понятий и сис­тематических методов, позволяющих всесторонне анализировать про­блемы выбора и принятия решений, в том числе в условиях неопреде­ленности. Цель теории - совершенствование процесса принятия реше­ний.

Реализация выбора и принятия решений является одной из завер­шающих процедур системного анализа. За данной процедурой следу­ет внедрение результатов системных исследований. В процессе приня­тия решения реализуется цель системного анализа, которая была сфор­мулирована на соответствующих этапах проведения исследований: «Вы­бор является действием, придающим всей деятельности целенаправ­ленность. Именно выбор реализует подчиненность всей деятельности определенной цели или совокупности целей» [1]. Таким образом, при­нятие решений является обязательным, центральным этапом систем­ных исследований. Перед реализацией процесса выбора считаются выполненными два крайне важных этапа или процедуры системных исследований - определение целей системного анализа, для достиже­ния которых собственно и осуществляется выбор, и генерирование аль­тернатив, т.е. порождение множества альтернатив, на котором предстоит осуществить выбор. В этом случае принятие решений можно рассмат­ривать как операцию над множеством альтернатив, в результате выпол­нения которой множество сужается до подмножества выбранных аль­тернатив. В идеальной ситуации подмножество должно состоять из одной альтернативы. Эта ситуация желательна, но не всегда реализуе­ма. Итак, при выполнении процесса принятия решений осуществляется анализ альтернативных способов действия, приводящих к достижению заданных целей. Важным обстоятельством является также наличие критериев, с помощью которых осуществляется сравнение вариантов достижения целей. Задание критериев или мер эффективности позво­ляет определить степень, с которой заданные цели могут быть достиг­нуты с помощью различных способов действия. Для каждого способа действия возможные исходы описываются в единицах принятых мер эффективности.

Таким образом, для того чтобы приступить к решению задач вы­бора, необходимо сформировать и детально проанализировать пресле­дуемые системными аналитиками цели, задать исходное множество альтернатив, из которых требуется выбрать наиболее предпочтитель­ные, а также определить критерии оценки и сравнения любых альтер­натив. Но даже при выполнении всех перечисленных условий проблема выбора не тривиальна и допускает существенно различающиеся под­ходы к своему решению. Сложность решения задач выбора обусловле­на их особенностями. Рассмотрим их.

1. Многоцелевой характер задач системного анализа. При проведе­нии системных исследований приходится стремиться к достижению различных частных целей. В общем случае цели могут быть противо­речивы. Продвижение по пути достижения одной цели может приводить к ухудшению результатов по другим. В такой ситуации лицо, принима­ющее решение, неизбежно оказывается перед необходимостью выбо­ра между противоречивыми целями.

2. Воздействие фактора времени. Все важные последствия приня­того решения сразу не проявляются и нельзя указать конкретный мо­мент времени, когда можно наблюдать то или иное последствие.

3. Наличие неформализуемых понятий. Такие понятия как добрая воля, престиж, политические действия и тому подобные часто имеют место при проведении системных исследований, в особенности при ана­лизе социотехнических систем. Эти понятия являются неформализуе- мыми понятиями, которые существенно усложняют задачу принятия решений.

4. Неопределенность. Маловероятно, что в момент принятия реше­ния, т.е. выбора альтернативного действия, будут досконально извест­ны последствия каждой из альтернатив.

5. Возможность получения информации. Часто можно организовать работу по сбору информации об объекте исследования, которая может помочь в решении задачи выбора альтернативного способа действия. Однако следует учитывать, что собираемая информация всегда требу­ет затрат средств и времени и к тому же она практически всегда обла­дает ограниченной достоверностью.

6. Динамические аспекты процесса принятия решений. После того, как некоторое решение выработано и выбрана альтернатива, может оказаться, что задача не исчерпана до конца, и потребуется принять очередное решение через определенное время. Принятое решение мо­жет способствовать одним и препятствовать другим решениям, кото­рые будут приниматься в будущем. Важно распознать заранее такие динамические проблемы и увидеть, какие возможности могут открыть­ся в будущем благодаря тому или иному решению.

7. Влияние решений на структурные звенья объекта системных ис­следований. Некоторая выбранная альтернатива может повлиять на работу различных структурных элементов объекта системных иссле­дований, например коллектива исполнителей того или иного подразде­ления. Принятое решение может затруднять работу одних и способство­вать работе других коллективов исполнителей.

8. Коллективное принятие решений. Часто ответственность за вы­бор альтернативы несет не отдельное лицо, а группа исполнителей. Фактически для определенного круга задач нельзя четко разграничить функции и ответственность лиц, принимающих решение по некоторому кругу вопросов.

Сформулированные особенности задач принятия решений позволя­ют подойти к их классификации. В основу классификации задач приня­тия решений положены следующие принципы: число лиц, принимающих решение; вид показателя эффективности; уровень определенности ин­формации, на основании которой принимается решение; зависимость элементов модели проблемной ситуации от времени.

По признаку числа лиц, принимающих решение, различают задачи индивидуального, принимаемого одним лицом, и группового принятия решений, когда решения принимаются коллективным органом. При груп­повом выборе решений определяющую роль играет проблема согласо­вания индивидуальных предпочтений членов группы. Главной задачей на этом этапе является объединение предпочтений отдельных лиц в единое мнение. Степень согласованности целей при многостороннем выборе может варьироваться от полного совпадения интересов сторон {кооперативный выбор) до их противоположности (выбор в конфлик­тной ситуации). Возможны также промежуточные случаи, например компромиссный выбор, коалиционный выбор, выбор в условиях на­растающего конфликта и т.д. Решение задачи объединения предпоч­тений отдельных лиц в единое мнение можно достичь в рамках теории экспертного оценивания.

В зависимости от вида используемого показателя эффективности задачи принятия решений подразделяются на однокритериальные и мно­гокритериальные. Задачи с одним критерием называются скалярными, многокритериальные задачи - задачами с векторным критерием эф­фективности. Следует иметь в виду, что в задачах с несколькими кри­териями эффективности различные цели могут противоречить друг другу. Также необходимо учитывать, что критерии могут иметь как количественный, так и качественный характер.

По признаку степени определенности информации о проблемной ситуации различают задачи принятия решений с полностью заданной исходной информацией, требуемой для решения проблемы, и задачи в условиях наличия неопределенности. Задачи принятия решений в усло­виях определенности называются детерминированными задачами. Они характеризуются наличием полной и достоверной информации о про­блемной ситуации, критериях эффективности, ограничениях и послед­ствиях, реализующихся в процессе принятия того или иного решения.

Задачи принятия решений в условиях неопределенности характери­зуются наличием стохастической и нестохастической неопределеннос­ти.

Характерная особенность задач принятия решений в условиях нео­пределенности заключается в том, что исход операции зависит как от стратегии, выбираемой лицом, принимающим решения, так и от неопре­деленных факторов, не известных лицу, принимающему решения в мо­мент его выработки.

По признаку зависимости элементов модели проблемной ситуации от времени различают статические и динамические задачи. Элементы модели в динамических задачах зависят от функций времени, описы­вающих поведение динамических объектов, и тем самым значительно усложняют процедуры выработки решений.

Режим выбора может быть однократным (разовым) или повторя­ющимся, допускающим обучение на опыте.

Различные сочетания перечисленных вариантов и приводят к мно­гообразным задачам выбора, которые изучены не в одинаковой степе­ни. В зависимости от типа задач принятия решений используют различ­ные методы выработки решения. Рассмотрим некоторые методы и подходы к решению задач выбора и принятия решений.

Нечеткие модели Нечеткая и лингвистическая переменные При описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств используется понятие нечеткой и лингвистической переменных. Нечеткая переменнаяхарактеризуется тройкой <a, X, A>, где a - имя переменной, X - универсальное множество (область определения a), A - нечеткое множество на X, описывающее ограничение (то есть m A(x)) на значение нечеткой переменной a. Лингвистической переменнойназывается набор <b,T,X,G,M>, где b - имя лингвистической переменной; Т - множество его значений (терм-множество), представляющие имена нечетких переменных, областью определения, которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной; G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество TИG(T), где G(T) - множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной; М - семантическая процедура, позволяющая преобразовать новое значение лингвистической переменной, образованной процедурой G, в нечеткую переменную, то есть сформировать соответствующее нечеткое множество. Во избежание большого количества символов: символ b используют как для названия самой переменной, так и для всех его значений; для обозначения нечеткого множества и его названия пользуются одним символом, например, терм "молодой", является значением лингвистической переменной b = "возраст", и одновременно нечетким множеством М ("молодой"). Присваивание нескольких значений символам предполагает, что контекст допускает неопределенности. Пример Пусть эксперт определяет толщину изделия, с помощью понятия "маленькая толщина", "средняя толщина" и "большая толщина", при этом минимальная толщина равняется 10 мм, а максимальная - 80 мм. Формализация этого описания может быть проведена с помощью лингвистической переменной <b, T, X, G, M>, где b - толщина изделия; T - {"маленькая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"}; X - [10, 80]; G - процедура образования новых термов с помощью связок "и", "или" и модификаторов типа "очень", "не", "слегка" и др. Например, "маленькая или средняя толщина", "очень маленькая толщина" и др.; М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А1="маленькая толщина", А2 = "средняя толщина", А3="большая толщина", а также нечетких множеств для термов из G(T) соответственно правилам трансляции нечетких связок и модификаторов "и", "или", "не", "очень", "слегка", операции над нечеткими множествами вида: А З C, АИ C, , CON А = А2 , DIL А = А0,5 і ін. Вместе с рассмотренными выше базовыми значениями лингвистической переменной "толщина" (Т={"маленькая толщина", "средняя толщина", "большая толщина"}) существуют значения, зависящие от области определения Х. В данном случае значения лингвистической переменной "толщина изделия" могут быть определены как "около 20 мм", "около 50 мм", "около 70 мм", то есть в виде нечетких чисел. Функции принадлежности нечетких множеств: "маленькая толщина" = А1 , "средняя толщина"= А2, " большая толщина"= А3. Функция принадлежности: нечеткое множество "маленькая или средняя толщина" = А1ИА1. Нечеткие высказывания и нечеткие модели систем Нечеткими высказываниями будем называть высказывания следующего вида: Высказывание <b есть b'>, где b - имя лингвистической переменной, b' - ее значение, которому соответствует нечеткое множество на универсальном множестве Х. Например, высказывание <давление большое> предполагает, что лингвистической переменной "давление" предоставляется значение "большой", для которого на универсальном множестве Х переменной "давление" определено, соответственно данному значению "большой", нечеткое множество. Высказывание <b есть mb'>, де m - модификатор, которому соответствуют слова "ОЧЕНЬ", "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ", "НАМНОГО БОЛЬШЕ" и др. Сложные высказывания, образованные из высказываний вида 1. и 2. и союзов "И", "ИЛИ", "ЕСЛИ.., ТОГДА...", "ЕСЛИ.., ТОГДА.., ИНАЧЕ". Высказывания на множестве значений фиксированной лингвистической переменной Если значения фиксированной лингвистической переменной соответствуют нечетким множествам одного универсального множества Х, можно отождествлять модификаторы "очень" или "нет" с операциями "CON" и "дополнение", а союзы "И", "ИЛИ" с операциями "пересечение" и "объединение" над нечеткими множествами. Для иллюстрации понятия лингвистической переменной мы в качестве примера рассматривали лингвистическую переменную "толщина изделия" с базовым терм-множеством Т = {"маленькая", "средняя", "большая"}. При этом на Х = [10, 80] мы определили нечеткие множества А1, А2, А3, соответствующие базовым значениям: "маленькая", "средняя", "большая". В этом случае высказыванию <толщина изделия очень маленькая> отвечает нечеткое множество CONA = A2; высказыванию <толщина изделия не большая или средняя> - нечеткое множество А2И; высказыванию <толщина изделия не маленькая и не большая> А1З. Нечеткие множества в системах управления Наиболее важным применением теории нечетких множеств являются контроллеры нечеткой логики. Их функционирование несколько отличается от работы обычных контроллеров; для описания системы вместо дифференционных уравнений используются знания экспертов. Эти знания могут быть выражены с помощью лингвистических переменных, которые описаны нечеткими множествами. Общая структура нечеткого микроконтроллера Общая структура микроконтроллера, использующего нечеткую логику, показана на рис.1. Она содержит: блок фаззификации; базу знаний; блок решений; блок дефаззификации. Блок фаззификации преобразует четкие величины, измеренные на выходе объекта управления, в нечеткие величины, которые описаны лингвистическими переменными в базе знаний. Блок решений использует нечеткие условные ( if - then ) правила, заложенные в базу знаний, для преобразования нечетких входных данных в необходимые управляющие влияния, которые также носят нечеткий характер. Блок дефаззификации превращает нечеткие данные с выхода блока решений в четкую величину, которая используется для управления объектом. Рис. 15.1. Общая структура нечеткого микроконтроллера В качестве примера известных микроконтроллеров, использующих нечеткую логику можно назвать 68HC11, 68HC12 фирмы Motorola, MCS-96 фирмы Intel, а также некоторые другие. Все системы с нечеткой логикой функционируют по одному принципу: показания измерительных приборов: фаззифицируются (превращаются в нечеткий формат), обрабатываются, дефаззифицируются и в виде обычных сигналов подаются на исполнительные устройства. Рассмотрим случай управления мобильным роботом, задачей которого является объезд препятствий. Введем две лингвистические переменные: ДИСТАНЦИЯ (расстояние от робота до препятствия) и НАПРАВЛЕНИЕ (угол между продольной осью робота и направлением к препятствию). Рассмотрим лингвистическую переменную ДИСТАНЦИЯ. Ее значения можно определить термами ДАЛЕКО, СРЕДНЕ, БЛИЗКО и ОЧЕНЬ БЛИЗКО. Для физической реализации лингвистической переменной необходимо определить точные физические значения термов этой переменной. Пусть переменная ДИСТАНЦИЯ может принимать любые значения из диапазона от нуля до бесконечности. Согласно теории нечетких множеств, в таком случае каждому значению расстояния из указанного диапазона может быть поставлено в соответствие некоторое число от нуля до единицы, которая определяет степень принадлежности данного физического расстояния (допустим 40 см) до того или другого терма лингвистической переменной ДИСТАНЦИЯ. Степень принадлежности определяем функцией принадлежности М(d), где d - расстояние до препятствия. В нашем случае расстояние 40 см. Можно задать степень принадлежности до терма ОЧЕНЬ БЛИЗКО равное 0,7 , а до терма БЛИЗКО - 0,3 (рис. 2.). Конкретное определение степени принадлежности проходит только при работе с экспертами. Рис.15. 2. Лингвистическая переменная и функция принадлежности Переменной НАПРАВЛЕНИЕ, которая принимает значения в диапазоне от 0 до 360 градусов, зададим термы ЛЕВЫЙ, ПРЯМОЙ и ПРАВЫЙ. Теперь необходимо задать исходные переменные. В данном примере достаточно одной, которую назовем РУЛЕВОЙ УГОЛ. Она может содержать термы: РЕЗКО ВЛЕВО, ВЛЕВО, ПРЯМО, ВПРАВО, РЕЗКО ВПРАВО. Связь между входом и выходом запоминается в таблице нечетких правил. Таблица нечетких правил Каждая запись в данной таблице соответствует своему нечеткому правилу, например "Если дистанция близко и направление правое , тогда рулевой угол резко влево". Таким образом, мобильный робот с нечеткой логикой будет работать по следующему принципу: данные от сенсоров про расстояние до препятствия и направление к нему будут фаззифицированы, обработаны согласно табличным правилам, дефаззифицированы, и полученные данные, в виде управляющих сигналов поступают на приводы робота. Преимущества нечетких систем Коротко перечислим преимущества fuzzy-систем по сравнению с другими: возможность оперировать нечеткими входными данными: например, непрерывно изменяющиеся во времени значения (динамические задачи), значения, которые невозможно задать однозначно (результаты статистических опросов, рекламные компании и т.д.); возможность нечеткой формализации критериев оценки и сравнения: оперирование критериями "большинство", "возможно", преимущественно" и т.д.; возможность проведения качественных оценок как входных данных, так и выходных результатов: вы оперируете не только значениями данных, но и их степенью достоверности (не путать с вероятностью!) и ее распределением; возможность проведения быстрого моделирования сложных динамических систем и их сравнительный анализ с заданной степенью точности: оперируя принципами поведения системы, описанными fuzzy-методами, вы во-первых, не тратите много времени на выяснение точных значений переменных и составление описывающих уравнений, во-вторых, можете оценить разные варианты выходных значений. Применение нечетких систем Что касается отечественного рынка коммерческих систем на основе нечеткой логики, то его формирование началось в середине 1995 года. Популярными являются следующие пакеты: CubiCalc 2.0 RTC - одна из мощных коммерческих экспертных систем на основе нечеткой логики, позволяющая создавать собственные прикладные экспертные системы ; CubiQuick - дешевая "университетская" версия пакета CubiCalc ; RuleMaker - программа автоматического извлечения нечетких правил из входных данных ; FuziCalc - электронная таблица с нечеткими полями, позволяющая делать быстрые оценки при неточных данных без накопления погрешности; OWL - пакет, содержащий исходные тексты всех известных видов нейронных сетей, нечеткой ассоциативной памяти и т.д. Основными потребителями нечеткой логики на рынке СНГ являются банкиры и финансисты, а также специалисты в области политического и экономического анализа. Они используют CubiCalc для создания моделей разных экономических, политических, биржевых ситуаций. Что же касается пакета FuziCalc, то он занял свое место на компьютерах больших банкиров и специалистов по чрезвычайным ситуациям - то есть тех, для кого важна скорость проведения расчетов в условиях неполноты и неточности входной информации. Однако можно с уверенностью сказать, что эпоха расцвета прикладного использования нечеткой логики на отечественном рынке еще впереди. Сегодня элементы нечеткой логики можно найти в десятках промышленных изделий - от систем управления электропоездами и боевыми вертолетами до пылесосов и стиральных машин. Без применения нечеткой логики немыслимы современные ситуационные центры руководителей западных стран, где принимаются ключевые политические решения и моделируются разные кризисные ситуации. Одним из впечатляющих примеров масштабного применения нечеткой логики стало комплексное моделирование системы здравоохранения и социального обеспечения Великобритании (National Health Service - NHS), которое впервые позволило точно оценить и оптимизировать затраты на социальные нужды. Не обошли средства нечеткой логики и программные системы, обслуживающих большой бизнес. Первыми, разумеется, были финансисты, задачи которых требуют ежедневного принятия правильных решений в сложных условиях непредвиденного рынка. Первый год использования системы Fuji Bank принес банку в среднем $770000 на месяц (и это только официально объявленная прибыль!). Вслед за финансистами, обеспокоенные успехами японцев и потерей стратегической инициативы, когнитивными нечеткими схемами заинтересовались промышленные гиганты США. Motorola, General Electric, Otis Elevator, Pacific Gas & Electric, Ford и другие в начале 90-х начали инвестировать в разработку изделий, использующих нечеткую логику. Имея солидную финансовую "поддержку", фирмы, специализирующиеся на нечеткой логике, получили возможность адаптировать свои разработки для широкого круга применений. "Оружие элиты" вышло на массовый рынок. Среди лидеров нового рынка выделяется американская компания Hyper Logic, основанная в 1987 году Фредом Уоткинсом (Fred Watkins). Сначала компания специализировалась на нейронных сетях, однако в скором времени целиком сконцентрировалась на нечеткой логике. Недавно вышла на рынок вторая версия пакета CubiCalc фирмы HyperLogic, которая является одной из мощнейших экспертных систем на основе нечеткой логики. Пакет содержит интерактивную оболочку для разработки нечетких экспертных систем и систем управления, а также run-time модуль, позволяющий оформлять созданные пользователем системы в виде отдельных программ. Кроме Hyper Logic среди "патриархов" нечеткой логики можно назвать фирмы IntelligenceWare, InfraLogic, Aptronix. Всего же на мировом рынке представлено более 100 пакетов, которые так или иначе используют нечеткую логику. В трех десятках СУБД реализована функция нечеткого поиска. Собственные программы на основе нечеткой логики анонсировали такие гиганты как IBM, Oracle и другие. На принципах нечеткой логики создан и один из российских программных продуктов - известный пакет "Бизнес-прогноз". Назначение этого пакета - оценка рисков и потенциальной прибыльности разных бизнес-планов, инвестиционных проектов и просто идей относительно развития бизнеса. "Ведя" пользователя по сценарию его замысла, программа задает ряд вопросов, которые допускают как точные количественные ответы, так и приближенные качественные оценки - типа "маловероятно", "степень риска высокая" и т.д. Обобщив всю полученную информацию в виде одной схемы бизнес-проекта, программа не только выносит окончательный вердикт о рискованности проекта и ожидаемых прибылей, но и указывает критические точки и слабые места в авторском замысле. От аналогичных иностранных пакетов "Бизнес-прогноз" отличается простотой, дешевизной и, разумеется, русскоязычным интерфейсом. Впрочем, программа "Бизнес-прогноз" - лишь первая ласточка, за которой неминуемо появятся новые разработки ученых СНГ.

2* 1

Сбор данных о функционировании системы