книги / Элементы автоматики и счетно-решающие устройства

и т. д., вырезанных из следующей таблицы, составленной из коэф фициентов характеристического уравнения:

в которой все коэффициенты с индексом, большим п, заменены ну­ лями и для определенности знаков коэффициентов характеристи­ ческого уравнения принято ао>0.

Так, например, для системы первого порядка (п=1)

[в уравнении (6. 23) а3=1]. Как видно, только положительности ко­ эффициентов уже недостаточно для устойчивости систем выше второго порядка.

Попробуем с помощью критерия Гурвица выяснить влияние на устойчивость коэффициента передачи k системы. Для этого рас­ шифруем последнее из полученных неравенств применительно к уравнению (6. 16):

Если умножить всё выражение на (1+Л ), то его можно запи­ сать так:

(тутм + т9тм) (ту + тм) > тут8тм (1 + k).

Очевидно, что при увеличении k при определенном k = kmaic не­ равенство превращается в равенство и устойчивость теряется. Сле­ довательно, в системе третьего порядка максимально допустимый коэффициент передачи ограничивается величиной, определяемой из выражения

Для более сложных систем, имеющих порядок выше третьего, исследование влияния параметров на устойчивость становится с по­ вышением порядка все более сложным и требует все более гро­ моздких вычислений. Практически изменение любого параметра системы приводит к новому характеристическому уравнению, т. е. к необходимости заново применить критерий Гурвица. При этом оказывается трудным выявить влияние отдельных параметров на устойчивость системы в целом. В связи с этим критерий Гурвица применяется сравнительно редко и главным образом только для исследования простейших систем не выше третьего порядка.

7.2. 2. Характеристики разомкнутой и замкнутой системы

Если разорвать цепь прохождения сигнала со стороны обратном связи около датчика рассогласования, то передаточной функцией W (р) разомкнутой системы будем называть произведение переда­ точных функций всех звеньев системы в цепи прохождения сигнала от входа в датчик рассогласования до места ее размыкания:

«'(P)=r- ^ = S , ( P ) S 1(P). -S. (/»=■££.

где выражение Q (p )= 0 является характеристическим уравнением разомкнутой системы.

Передаточной функцией замкнутой системы К(р) будем назы­ вать отношение изображения Y(р) выходного сигнала (регулируе­

мой величины) к изображению Х (р) входного сигнала (управляю­ щей величины) при нулевых начальных условиях:

К (Р )=

Используя формулу (7. 12), легко установить связь между пере­ даточными функциями замкнутой и разомкнутой системы, являю­ щуюся одной из важнейших в теории автоматического регулиро­ вания:

где выражение N ( p )= 0 является характеристическим уравнением замкнутой системы.

Если в W (p) подставить / о вместо р, то, как уже отмечалось, получим амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой си­ стемы

Г(у»)=^,

X{JU>)

широко используемую при исследовании устойчивости, а из выра­ жения (7 .2 5 )— амплитудно-фазовую характеристику замкнутой системы

W(jo)

50(уи) 1+ Г(у<0)

или для большинства практических случаев, когда 5 0(/(о) = 1,

где М(ш) — модуль, а ор (со) — фазовый угол.

с обратной связью можно судить по амплитудно-фазовой характе­ ристике разомкнутого усилителя. В 1938 г. А. В. Михайлов распро-

независимо от природы возмущений, возможных в реальных усло­ виях работы.

Разомкнутые системы автоматического регулирования в боль­ шинстве случаев устойчивы. При устойчивой разомкнутой системе

амплитудно-фазовый критерий устойчивости Найквиста формулиру­ ется так: замкнутая система автоматического регулирования устой­ чива, если ее амплитудно-фазовая характеристика W(j и) в разомк­ нутом состоянии при изменении частоты а>от —оо до +оо не охва­ тывает точку с координатами (—1; j= 0). В силу симметрии полу­

чающейся кривой обычно строят только одну ее половину для зна­ чений ю от 0 до +оо.

Рис. 7.8. Примеры амплитудно-фазовых характеристик

На рис. 7.8 показаны примеры амплитудно-фазовых характе­ ристик устойчивых систем. Кривая 1 является амплитудно-фазовой

характеристикой системы автоматического регулирования первого порядка или любого инерционного звена. Характеристика не охва­ тывает точку (— 1; / = 0), т. е. система, эквивалентная одному инер­ ционному звену, всегда устойчива. Кривая 2 является амплитудно­

фазовой характеристикой последовательного соединения двух инер­ ционных звеньев:

г. е. соответствует системе второго порядка. Как видно, характери­ стика такой системы также не может охватывать точку (— 1; / = 0), т. е. система второго порядка при положительных коэффициентах

Для пояснения формулировки критерия Михайлова напомним, что характеристическое уравнение замкнутой системы

и все они расположены слева (т. е. система устойчива), то общий угол поворота вектора Ы(}ш), равный сумме углов поворота от­

дельных векторов / ©—pit будет равен +п -у,т. е. кривая, описывае­

мая концом вектора N(j ©), действительно должна последовательно пересечь п квадрантов комплексной плоскости. Если хотя бы один

из корней оказался справа от оси ординат, то суммарный угол по­

N(ju>), будет пересекать меньше чем п квадрантов.

Используя амплитудно-фазовую характеристику, можно опре­ делить запасы устойчивости устойчивой системы по амплитуде AW'0 и фазе Дф. Действительно, запишем амплитудно-фазовую харак­

теристику в виде

где №о(со)— ее модуль. Граница устойчивости соответствует про­ хождению характеристики через точку (— 1, / = 0), т. е. одновремен­ ному выполнению условий

Г 0(ш)=1,

<р(ш)=— Я.

Если выполнить только второе условие (точка а на рис. 7 8),

то очевидно, что запас устойчивости по амплитуде равен ДЦ70. Если выполнить только первое условие (т. е. найти на характеристике точку Ь, для которой Л70((0б) = 1), то запас устойчивости по фазе

очевидно равен Дф.

На рис. 7. 9, б показаны кривые 1, 2 и 3 Михайлова, соответст­

вующие устойчивым системам первого-третьего порядков, анало­ гичным рассмотренным на рис. 7.8 (одно инерционное звено — кри­ вая 1, два последовательно соединенных инерционных звена — кривая 2, три последовательно соединенных инерционных звена — кривая 3). Кривая 4 соответствует устойчивой системе четвертого порядка, а кривая 5 — устойчивой системе пятого порядка.

При ш = 0 модуль вектора N(j со) равен \ +k, а фазовый угол —

смещаются вправо параллельно самим себе, что при определенной величине k = femax (пунктирная кривая) может привести к потере

устойчивости для систем начиная с третьего порядка, так как при общий угол поворота вектора N(ju>) станет меньше, чем

п —. Очевидно, что отрезки О—А характеризуют запасы устойчиво­

сти по амплитуде для устойчивых систем.

7.2. 5. Применение критериев к исследованию устойчивости

Оценку устойчивости в общем случае выполняют путем построе­ ния амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы или кривой Михайлова. Для этого задаются частотами в интервале О—оо, для каждой частоты находят точку характеристики и затем соединяют их плавной кривой. Обычно весь диапазон частот 0—сю Не требуется, так как наиболее важный участок характеристики (около точки — 1; / = 0) строится для значительно более узкого диапазона частот, а остальная часть характеристики в этом случае нас уже не интересует. В ряде случаев можно совсем не строить характеристику, если можно представить ее форму путем логи­ ческого анализа и при этом выясняется, что она не подходит близ­ ко к точке (— 1; /= 0 ) .

Задачу определения максимального значения коэффициента передачи, при котором система еще остается устойчивой, также иногда можно решить аналитически без построения характеристик, тем более, что их придется строить в этом случае несколько до тех пор, пока одна из них не пройдет через точку (— 1; / = 0). При аналитическом определении kmax используется условие прохожде­

ния характеристики через точку (— 1; / = 0), т. е. границы устой­ чивости, которое определяется, очевидно, равенствами:

Из этих двух равенств можно определить частоту сот и kmax, со­

начало координат, когда нарушается последовательное чередование квадрантов. Следовательно, для определения (от и 1+4пах необ­ ходимо приравнять нулю в отдельности вещественную и мнимую части выражения N (j со).

Если аналитическое определение более сложно, чем графиче­ ское построение, то для того чтобы не строить несколько раз ампли­ тудно-фазовые характеристики при разных значениях &, можно вос­ пользоваться «удельной» или «нормированной» амплитудно-фазо­ вой характеристикой

к

В этом случае (рис. 7. 10, а) удельная характеристика строится один раз для всех значений k, так как от k она теперь не зависит.

Об устойчивости теперь судят по тому, охватывает ли удельная

характеристика точку

тельно нее. Таким образом легко находится значение Атах, nph ко­

тором точка ^ — / = O.j попадет на удельную характеристику.

Использование амплитудно-фазовой характеристики очень на­ глядно показывает влияние на устойчивость последовательно вклю­ ченных интегрирующих звеньев. Действительно, возьмем, напри­ мер, амплитудно-фазовую характеристику (кривая 1 на рис. 7. 10, б)

всегда устойчивой системы второго порядка:

где Wo(о>)— модуль Го(усо).

Рис. 7.10. К исследованию устойчивости

При последовательном включении дополнительного идеального интегрирующего звена [см. выражение (7.24)]

(О результирующая амплитудно-фазовая характеристика

к оо. Как видно, устойчивость системы ухудшилась, так как при некоторых значениях k полученная характеристика может охватить

точку (— 1; /= 0 ) и система потеряет устойчивость. Если подклю-