книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

Polska Akademia Nauk

Instytut Podstawowych Problemow Techniki

BIBLIOTEKA MECHANIKI STOSOWAHEJ

Komitet Redakcyjny Henryk Zorski — przewodnicz^cy

Henryk Frgckiewicz • Witold Nowaski • Piotr Perzyna

Antoni Sawczuk • Zbigniew Wesolowski

Witold NOWACKI

EFEKTY ELEKTROMAGNETYCZNE

W STAHYCH CIAtACH

ODKSZTAtCALNYCH

Panstwowe Wydawnictwo Naukowe

Warszawa 1983

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА

Имя Витольда Новацкого, крупного польского ученого, вице-президента Польской Академии наук, знакомо совет­ скому читателю по переводам его книг: Вопросы термоупру­ гости.— Изд-во АН СССР, 1962; Динамические задачи термоупругости.— М.: Мир, 1970; Теория упругости. — М.: Мир, 1975.

Электромагнитные эффекты, которым посвящена его новая книга, — это эффекты взаимодействия полей деформаций с электромагнитным и температурным полями, возникающими в твердом теле как внешним, так и внутренним образом. В рамках линейных соотношений эти эффекты рассмотрены как для диэлектриков, так и для проводников, причем с позиций различных математических моделей. Изучение таких эффектов привело в последние годы к так называемой теории связан­ ных полей.

Содержание книги описано в предисловии автора, и мы на нем не останавливаемся. Отметим лишь некоторые особенно­ сти градиентной теории пьезоэлектричества, рассмотренной в гл. 2 и призванной отразить эффекты более высокого поряд­ ка, чем эффекты теории Фойгта, например наличие пьезоэлек­ трического эффекта в центрально-симметричных и изотроп­ ных диэлектриках. Определяющие соотношения этой теории для новых характеристик деформируемой среды, возникающие в теории как сопряженные к градиенту вектора поляризации по отношению к дифференциалу внутренней энергии, опреде­ лены лишь с точностью до произвольного постоянного относи­ тельно параметров состояния тензора, отличного от нуля в естественном состоянии. Этот произвол появляется в уравне­ нии баланса энергии под знаком поверхностного интеграла, трактуемого в теории как «поверхностная энергия поляризации и деформации».

Важный результат градиентной теории состоит в объясне­ нии аномалии Мида, т. е. отсутствия в эксперименте вытекаю­ щей из теории Фойгта обратной пропорциональности между емкостью и толщиной пластины, загруженной по стенкам по­ стоянным электрическим потенциалом.

В нашей стране интерес к теории связанных полей, в част­ ности к теории электромагнитной упругости, весьма значите­ лен и постоянно возрастает. Об этом свидетельствует большое число работ советских авторов, появившихся в последние годы.

С работами в этой области, выполненными до 1981 г., можно ознакомиться по обзору В. 3. Партоиа и Б. А. Кудрявцева (Магнитотермоупругость.— Итоги науки итехники, ВИНИТИ, Механика деформируемого твердого тела, 1981, 14, с. 3—59). В настоящее время, однако, этот обзор следует значительно пополнить.

Читателям, желающим ознакомиться с основами теории электромагнитной упругости, можно рекомендовать руковод­ ства', написанные нашими ведущими учеными: Илыошин А. А. Механика сплошных сред. — Изд-во МГУ, 1978; Седов Л. И. Механика сплошных сред. — М: Наука, 1983, т. 1. Во второй из этих книг можно найти вариационную трактовку общей теории связанных полей.

Инициатором русского издания настоящей книги и редак­ тором ее перевода был Гавриил Семенович Шапиро, которому, однако, не довелось довести эту работу до конца — он скон­ чался в ноябре 1984 г. Г. С. Шапиро известен не только как крупный ученый в области механики деформируемых тел, но и как активный пропагандист этой науки. Долгое время он сотрудничал в редколлегии периодических сборников перево­ дов иностранных статей «Механика», а с 1973 г. по его реко­ мендации и с его участием было издано много выпусков серии «Механика. Новое в зарубежной науке», в которой вышла и настоящая книга.

В последние годы Г. С. Шапиро уделял много внимания теории связанных полей и под его руководством в Институте проблем механики АН СССР велись исследования в области механики деформируемых сред, в которых учитывались элек­ тромагнитные эффекты. Этим, в частности, объясняется его интерес к книге В. Новацкого, которую он считал полезной как для специалистов по теории упругости, так и для учащей­ ся молодежи.

Пусть выход в свет этой книги будет скромной даныо свет­ лой памяти Гавриила Семеновича Шапиро,

В. А. Шачнев

ПРЕДИСЛОВИЕ

В прошлом веке механика твердого деформируемого тела ограничивалась разработкой главным образом линейной тео­ рии упругости. Параллельно с развитием последней появились ее технические приложения, относящиеся к простым упругим системам, прямым и криволинейным брусьям, пластинам, пли­ там и оболочкам. Ситуация изменилась в двадцатых годах нашего столетия, когда стали возникать новые направления механики твердого деформируемого тела — теория пластично­ сти, вязкопластичности и реология.

Последнее двадцатилетие характеризуется стремительным развитием теории связанных полей. Это название отражает взаимное влияние двух и более физических полей. Типичным примером такого направления исследований является термо­ упругость. На основе термодинамики необратимых процессов соединены в единую синтетическую теорию два раздела, ранее развивавшихся раздельно, а именно: теория упругости и тео­ рия теплопроводности в твердом геле. В этой новой «связан­ ной» теории рассматривается как влияние температурного поля на поле деформаций, так и наоборот, влияние поля де­ формаций на изменение температуры в теле.

Другим примером является связанность электрического поля с деформацией (пьезоэлектричество), явно проявляю­ щаяся в кристаллах с некоторыми специальными кристалло­ графическими характеристиками. Возможно еще и соединение электрического поля и поля деформаций с полем температуры (термопьезоэлектричество).

В настоящей монографии мы займемся сопряжением элек­ тромагнитного поля с полем деформаций и будем исследовать некоторые электромагнитные и температурные эффекты.

Глава 1 посвящена классической теории пьезоэлектриче­ ства, сформулированной В. Фойгтом, и термопьезоэлектри­ чества в трактовке Р. Миндлииа. Здесь будут рассмотрены квазистатические и динамические задачи.

В гл. 2 разбирается развитая Миндлином теория пьезоэлек­ тричества, так называемая «градиентная» теория, которая объясняет некоторые аномалии и отступления от классической теории В. Фойгта.

Глава 3 посвящена магнитоупругости. Здесь мы рассмот­ рим специальный случай сопряжения электромагнитного поля с полем деформаций. Тело погружено первоначально в силь­

ное и постоянное электромагнитное поле, а механические и тепловые нагружения приводят к возникновению дополнитель­ ного электромагнитного поля, влияющего на величину напря­ жений, на фазовую скорость распространения упругих и элек­ тромагнитных волн. Следует заметить, что так трактуемая магнитоупругость возникла главным образом в Польше бла­ годаря работам С. Калисского и его сотрудников.

Предлагаемая монография возникла как результат семи­ нара, проведенного в 1976, 1977 гг. для представителей на­ правления механики на Отделении математики и механики Варшавского университета и лекций в Международном центре механики в Удине (Италия) в июле 1977 г.

Настоящая монография предназначается главным образом для научных работников, которые интересуются тематикой, выходящей за рамки традиционных дисциплин.

Глава 1

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВА

1.1. ВВЕДЕНИЕ

Если некоторые кристаллы (такие, как кварц, турмалин, сегнетова соль и др.) подвергнуть воздействию напряжений, то в них появляется электрическая поляризация. Это так на­ зываемый простой эффект пьезоэлектричества, открытый братьями Пьером и Жаком Кюри в 1880 г. Наоборот, под влиянием приложенного извне электрического поля пьезоэлек­ трический кристалл изменяет свою форму. Этот эффект был предугадан в 1881 г. Липпманиом [28J на основе термодина­ мических соображений и в том же году экспериментально подтвержден братьями Кюри [13].

В общем случае природа кристалла анизотропна, но пьезо­ электрический эффект проявляется только в кристаллах опре­ деленного класса, а именно в тех, в которых отсутствует цент­ ральная симметрия. Общая теория пьезоэлектричества, в кото­ рой поле деформаций сопрягается с электрическим полем, была разработана Фойгтом [57]. Эту теорию Миндлин рас­ пространил на термопьезоэлектрические соотношения.

Практическое приложение пьезоэлектрических эффектов обширно. С одной стороны, эти эффекты используются для генерации ультразвуковых волн, с другой — для обращения механической энергии в электрическую и наоборот; и далее, для создания тел с пьезоэлектрическими свойствами, для не­ разрушающих исследований и т. д. [58].

1.2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Отправным пунктом наших рассуждений являются урав­ нения МаксвелЛа для электромагнитного поля в системе единиц MKCs

ственная плотность заряда. Уравнение (4) определяет плот­ ность электрических зарядов (уравнение Гаусса).

10 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества

Уравнения (1) и (4) приводят к следующему уравнению непрерывности электрического заряда:

(5) div J + dpjdt = 0.

Систему уравнений Максвелла следует дополнить материаль­

Рассмотрим область В тела, ограниченного поверхностью дВ. Пусть внутри этой области существует электромагнитное ноле, протекают токи и выделяется джоулево тепло. Выразим энергию поля с помощью векторов, описывающих поле. Умножим уравнение (1) на Е, уравнение (2) на Н, вычтем из первого уравнения второе и проинтегрируем результат по области В. Тогда получим

Уравнение (10) есть математическое следствие уравнений Максвелла и может быть физически интерпретировано как уравнение баланса энергии. Таким образом, скаляр n*h представляет собой приток электромагнитной энергии через поверхность дВ тела из окружающей его среды. Выражение

ED + НВ идентично приросту за единицу времени внутрен­ ней электромагнитной энергии Ue. Наконец, EJ представляет собой джоулево тепло.