книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах

через д2/д г 2, получим уравнения для функций ср, ф в цилиндри­ ческой системе координат. Перемещение u = (иг, uv, w) и тем­ пература 0 определяются в цилиндрической системе коорди­ нат следующими формулами:

Функции ф и ф можно использовать для определения темпе­ ратурных напряжений в простых системах: в неограниченном пространстве, упругом полупространстве и упругом слое. В других случаях, например для определения напряженного состояния в толстой круговой или прямоугольной плите, сле­ дует ввести функции %i, %2, что позволит удовлетворить всем краевым условиям.

С помощью функций ф и ф решено несколько практически важных случаев. Найдено решение в замкнутом виде для случая действия источника тепла в упругом пространстве или полупространстве. Аналогичное решение получено для случая действия термоупругого ядра деформации. Рассмотрена так­ же задача установившегося нагрева поверхности, ограничи­ вающей упругое полупространство. При этом показано, что напряжения в направлении,, перпендикулярном плоскости, ограничивающей упругое полупространство, не исчезают. Эти напряжения исчезают только в предельном случае, при пе­ реходе от поперечной изотропии к полной.

До сих пор решено только небольшое число, главным об­ разом одномерных, задач термоупругой динамики. Заслужи­ вает внимания работа Чедвика и Сита [9], относящаяся к тем­ пературным напряжениям в телах с поперечной изотропией. Остановимся на уравнениях в перемещениях для этой дина­ мической трехмерной задачи. Отправным пунктом анализа те­

Систему этих уравнений удается частично разделить пу­ тем введения трех скалярных функций ф, %, ф, связанных с пе­ ремещениями следующим образом:

(15)«i = f i + 3C,2. »2 = Ф,2 — Хл. «з = ,Ф.з*

Подставляя (15) в уравнения (14), получим

Заметим, что только потенциалы ф и <р связаны с температур­ ным полем. Волна SH описывается потенциалом %. На эту волну поле температур не действует. Очевидно, что среде, ха­ рактеризуемой поперечной изотропией, можно сообщить три типа волн в каждом направлении: квазипродольную, квазипоперечную и чисто поперечную. Квазипродольная и квазипоперечная волны модифицированы посредством связи с полем температуры; эти волны затухают и подвергаются дисперсии.

Проведенный обзор показывает, что осталось еще обшир­ ное поле научной деятельности. Мало развиты исследования несвязанной динамической термоупругости. Ожидают разра­ ботки связанные задачи, как квазистатические, так и динами­ ческие. Приведенный здесь результат является обобщением задачи Стернберга и Мак-Доуэлла [47].

Для случая произвольной анизотропии тела до сих пор не найдено ни одного решения, даже в случае неограниченного пространства. Имеется только формальное решение, получен­ ное путем применения четырехкратного преобразования Фурье [6].

1.18. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ АНИЗОТРОПНОЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ

Плоские задачи теории температурных напряжений для анизотропных тел исследованы в научной литературе значи­ тельно шире, нежели пространственные. Так, Моссаковский [37] рассмотрел действие источника тепла в полубесконечной пластине, проявляющей изогональную анизотропию. В своей работе он использовал метод функций комплексной перемен­ ной и ввел обобщенную функцию Эйри и Маргерра.

В случае ортотропной пластины обозначим через Е\ и Е%

о&1, а2— коэффициенты теплопроводности в направлениях осей Х\ и Хч. Уравнение теплопроводности для ортотропной пла­

Определяющие соотношения, соотношения между напряже­ ниями, деформациями и приращением температуры, имеют следующий вид:

8 ц = ЯцСТц Ч~ #12^22 Ч " а 10» ®22 = = ^21 4 “ ^22*^22 4 “ а 20> ®12 ^ ^66^12»

(2)

Подставляя эти соотношения в уравнения неразрывности

Решение уравнения (5) составим из двух частей — из частного

Представленный здесь способ действия, использующий функ­ цию напряжений Эйри, удобен тогда, когда краевые условия заданы в напряжениях.

На рассматриваемую задачу об ортотропной пластине лег­ ко перенести «плиточную аналогию», рассмотренную Дюба и Треммелем для изотропных пластин [16, 56]. Если решить соотношения (2) относительно напряжений и внести эти по­ следние в уравнения равновесия, то вместе с равенством (1) получим систему трех уравнений

Представим теперь вектор D с помощью определяющего со­ отношения для квазистатической задачи (формула (5) из § 1.4)

Подставляя (6) в (5), получаем систему трех уравнений, в ко­ торых в качестве неизвестных функций выступают перемеще­ ния щ и составляющие электрического поля Остальные три уравнения найдем из уравнений движения

в которые подставим определяющие соотношения

Рассмотрим простой пример, относящийся к распростране­ нию монохроматической плоской волны, упругой^ и электро­

магнитной, в кристалле, принадлежащем классу 42т тетраго­ нальной системы и характеризуемом десятью независимыми упругими, пьезоэлектрическими и диэлектрическими постоян­ ными. Полагаем, что волна распространяется в направлении оси х\. Определяющие соотношения в рассматриваемом слу­ чае имеют вид

Подставляя (9) и (10) в уравнения (5) и (7), получим си­ стему пяти дифференциальных уравнений

Вводя (16) в уравнение (14), получим следующие характе­ ристические уравнения для величин %= k/со = \/v:

Поперечная волна w2 и электромагнитная волна Е3 распро­ страняются с одной и той же фазовой скоростью v = £-1 = = со//г. Поскольку существует два корня k\t Л2, то мы имеем дело с двумя волнами. Так как k\, k% пропорциональны со, то волна не подвержена дисперсии, а так как они вещественны, волна не затухает.

Такое же решение можно провести для волн ц3, Я2, описы­ ваемых уравнением (15). Отличие здесь состоит лишь в дру­ гих коэффициентах (с44, ец, ей). Знание перемещения и и элек­ трического поля Е позволяет определить напряжения по фор­ муле (9) и вектор D по формуле (10). Составляющие поля Н

Корни k$ зависят нелинейно от частоты колебаний. Следова­ тельно, волны м2, Ез подвержены дисперсии-. Решение урав­ нений (25) имеет вид

являющейся обобщением уравнений (12).

Представленные соображения можно обобщить на задачи теории термопьезоэлектричества. В этом обобщенном случае имеет место система трех дифференциальных уравнений

(36)М - и — П {Уцёц + giEt) = 0.

Последнее уравнение является связанным уравнением тепло­ проводности. В уравнения (34) и (35) подставим определяю­ щие соотношения теории термопьезоэлектричества

и (35), получим вместе с уравнением (36) систему семи урав­ нений, в которых неизвестными функциями являются переме­ щение и, электрическое поле Е и температура 0. Все волны будут затухающими и подвергаться дисперсии. Это следует, с одной стороны, из необходимости учитывать член dE/dt, а с другой — из связанности поля температуры с остальными полями.

Глава 2

ТЕОРИЯ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВА ТУПИНА И МИНДЛИНА

2.1. ВВЕДЕНИЕ

Тела, которые не являются проводниками, мы будем назы­ вать диэлектриками. Эти тела электрически нейтральны и со­ держат одинаковое число положительных и отрицательных

Нелинейная теория диэлектриков была разработана Тупином [54, 55]. В эту общую теорию, учитывающую эффекты фото­ упругости, эффект Фарадея и другие, входит как частный слу­ чай теория Фойгта классического пьезоэлектричества.

Представим в сильно сокращенном виде ход действий Тупина, приводящий к соотношениям и дифференциальным уравнениям пьезоэлектричества. Разложим внутреннюю энер­ гию U диэлектрика на энергию, связанную с деформацией и поляризацией, UL{ti},Pi), и энергию, связанную с электриче­ ским полем. Отправным пунктом рассуждений будет уравне­ ние баланса энергии в виде (см. формулу (22) § 1.3)

Рассмотрим тело В, занимающее объем у, ограниченный по­ верхностью дВ. Эта поверхность отделяет тело В от ва­ куума В'. В дальнейших рассуждениях используем принцип