книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах

1.12. Теория

термопьезоэлектричества

61

стояния. В естественном состоянии должно быть оц =

0 для

е(/ =

0, Ek =

О,

Т =

Т0.

Аналогично

должно

быть

А = 0

для

е,-/ = 0, Ek =

0,

Т =

Т0.

Примем

также,

что

энтропия

отсчитывается

от

уровня

естественного состояния,

так что

So — S (0,0, То) =

0. Следовательно, имеем следующие

опре­

деляющие соотношения:

(16)

Оц — ciJki&ki — Yi/6 — ekifEk,

(17)

5 =

У//в/у +

с80/7о+ giEit

(18)

Di — ешгк1 +

gfi + 3ikEk.

псп

дац

— d° kl

д° 1

- дЕ1

1 J

d4i

~~

'

dEi

dDi ’

до a

dD.

до п

dS

dS

dD,

<»)

Щ — a f"

Из соотношений

(14') имеем

(21)

Cijki = Скщ, Э,-/ = Э/у.

равенств

(16)

(22)

с1]м = сцы = с1ц1г, Yt/ — Y/i>

вщ — вкЦ'

В общем

случае анизотропии имеем

21 постоянную Сцы,

сились к адиабатическому

состоянию,

эти же измеряются

в изотермическом состоянии

(см. обозначения (14') )•

Нетрудно перейти от определяющих

соотношений (16) —

стоянии. В этом последнем

состоянии следует

принять, что

qi — 0, W — 0. Если

учесть

это обстоятельство

в уравнении

баланса энтропии

(23)

TS =

— qt, i +

(24)

0 = - - ^ (YI/8,7 + g,E,)-

I'E

(25)

е = —-рЧу,fin + giEtl

(26)

=

Cijki4i ~

$kijEk>

(27)

Dt =

ёш&м +

9{kEk,

где

т

т

Cijkl ~ Cijkl +

VijVkh &kij = &ki] ~r~ \i/gk>

(28)

oi} =

cUki4t — ekijEki

(29)

Di =

бш8,г/ + 3ikEjr

(30)

Ojit i + Xi =

piii,

DUi=* 0.

Эта подстановка с учетом зависимостей

(31)

8i/ = 7г {Щ, / +

«/. ;)>

Ен = — Ф. k

(33)

etkiuk, и — p, ki + gfi, / = 0.

Но Г =

Г0(1 Н-в/Го). Принимая, что

|0/7’о| <

1, линеаризуем

уравнение (34), которое примет вид

(36)

ktfi. {, - се0 - То (уцгп -

£ гф, ,) =

- W.

1.12. Теория термопьезошктричества

63

(36)

0 = k (х, /) на

Г5, — k ^ =

h (х,

t) на Г6,

сш =

г 5и г 6,

Г5оГ 6= 0 ,

а начальное условие — в виде

(37)

0 (х, t) — I (х),

х е В ,

t =

0.

(38)

kifl, ij = — W.

(39)

cijkiuk, ц +

efei/ф. ki = у ф , ,,

(40)

£ikiuk, и ~

эшФ, ы — ~

{•

венства (38).

уравнениям

(16) — (18), пред­

Вернемся к определяющим

ставив их в матричной форме

< *и

Cm 1 С1122

с 1133

с 1123

с 1131

< j l l 2

€ и

° 2 2

С1 1 2 2

С2 2 2 2

С2233

С3223

с 2231

^221?

9 22

<*эз

С1133

<"2233

СЗЗЗЗ

с 3323

с 3331

с 3312

£ 33

* 2 3

<•1123

С3223

с 3323

С2323

с 2331

с 2 }1 2

е 23

<*31

Cl 131

с 2231

с з з з 1

<?2331

С3131

с 3112

£ 31

_<*12_

_ С Ц 12

<-2212

С3312 £?2Э12

^3121

C l212 _

С ц 1 ^ 2 11 в з и

У н

C l 2.2

Н 2 2

С322

[ Е

/

У22

C i3

3

е 233

С333

У зз

е2

C i2

3

е 2 2 3

е 3 2 3

У23

Е 3 _

&131

e 2 3 l

С33 j

Уз1

_ С Ц 2

е 2 1 2

е 3 1 2 _

_Ух2_

*п

~Г>1

*111

* 1 2 2

*133

* 1 2 3

* 1 3 1

* 1 1 2

*22

=

* 3 3

(42)

D 2

*211

* 2 2 2

* 2 2 3

* 2 3 1

* 2 1 2

*2 3 3

*23

D*.

_*311 *322 * 3 3 3 * 3 2 3 * 3 3 1 * 3 1 2 .

* 3 1

L£i2j

Эл

312

Э13

Ех

S i

—

Э

Э22 ■Э23

е2

*—

g i

12

13

$23 эзз_

Е з .

.5з_

* 1 1

е 22

(43)

S = [ УП У 2 2

У з .3

У 2 3

У 31

У 1 2 ]

£33

+ki

52 S3]

Ег +

в.

^23

Ез.

Т0

£з'1

классе 7 имеем уц Ф 0, но g%=

0 при г =

1 ,2 ,3 .

Для моноклинной системы запишем следующие матрицы:

класс

2

класс m

класс 2}т

Уи

Ун

П 1

Угг

О

У22

У22

0

(44)

Узз

Узз

Узз

#2 *

О

О

О

0

О

о

0J

Уit

_£з_

Уз1

Узх

О

О

О

Ромбическая система характеризуется следующими мат­

рицами:

классы 222, mm

класс mm2

У11

У.и

Угг

О

Угг

о

Узз

Узз

(45)

0

,

о .

0

О

0

О

о

- 8 3 ,m

0

о

1.13. Принцип виртуальных работ

57

Подставляя (6) в (4), приходим к уравнению

(7)

^ ( Х + Г

+ Я

+

Хо = \ x , v , d v +

$ p,v,da +

+\ m d v

В

дв

+

^ i $ЙВ,,п, da +

[(eufibiH-gtfifbdt).

В

Чтобы исключить члены ekij \ кцЕкс1в из последнего интегра-

J В

ла уравнения (7), используем определяющие соотношения

(8)

Dk =

ekijeц -f- gtfi 4*

Тогда получим

(9)

( ( e ^ E A , -

g kEk0) d v ------

В

\ В

/

~

5 Аде. k

где введена энергия

в

^~ Т

Э</ S ^ v •

в

Учитывая (9)

и используя

равенство

й щ — О, приходим к

(Ю) • £ ( J? + *p + * + :? +

s * 5 fi»e A ’) + x e “

=

^X(»(di>+

^ pj«jda + -y^

J

06.(nido —

В

ев

дв

-

^ Dtn w d a + \ m < l v .

дВ

В

Уравнение

энергетического

баланса

в

виде (10)

позволит

(и'., q/, 0') и (и", ф", 0"), удовлетворяющими

неоднородной

системе дифференциальных уравнений теории

пьезоэлектри­

чества. Образуем разность этих решений Й.==н'—

ф =

<И)

■ ^ ( ^ + # , + # + # + в * 5 ё * 6 л ) — & ,< о .

(12)

Ж = 0,

#

= 0,

P +

i

+ g b ^ E tf i d v ^ 0.

Из этих соотношений получаем

в

(13)

д| =

0,

ftf/ =

0,

0 =

0, £* = 0.

Si, эи, учитывая неравенство

(12)3. Предположим, что

Э/; — заданный симметричный тензор,

положительно опре­

деленный, gi — некоторый вектор

и с =

св/2 7 \) > 0 . Рассмот­

рим функцию

Функция А

неотрицательна

{А ^ 0) для любой

пары значе­

ний (0, £ ,),

если

где %т— наименьшее положи­

тельное собственное значение тензора э Э т о

достаточное

условие предложил Игначак

[21].

(15)

o ',/* * ; ,

S' =

S".

Если

на границе тела заданы

нагрузки,

то и[ = и"

1.14. Принцип Гамильтона в теории термопьезоэлектричества

59

(1)

П =

J (Я +

ST — X tut) dv -f

J

(piUi — 0<p) da,

В

дв

(2)

Ч' =

$_(Г -

STT - WT) dv +

J

TQttii da.

В

дВ

(3)

Г = V2кцТ, {Г, „

qt = дГ/дТ,, = - kifT. „

9,—вектор притока тепла

и Qi — заданный приток тепла на

12

= 0.

(4)

б \ { X - I l ) d t ,

Варьируются

перемещения щ,

электрический потенциал <р

определяющие соотношения (2),

(3)

из § 1.11 и вариацию

ь н = жИ :б8‘/ +

дН

дН

дТ Ьт+

ЖдЕ

Ь Е ‘ =

а6е‘/ч - S

6 T - D , b E t

приходим к уравнению

6е,у — S ЬТ -

Dt 6Я, +

5 6Г -

Xt 6ц,) dv -

ti

J dt

J

(p, 6ц, — a 6<p)da = 0^

Учитывая, что

t;

OB

ЬЖ =

— p ^ ц, 6ц, dv,

Ei — —Ф,

(6)

[чСГ/г, / +

%i — РHi)

-f- Dlt i бф] dv +

~b

^

— Pi) bui -f- {Dfli +

о) бф] da \ =

0.

dB

)

Так как вариации Ьщ, бф произвольны, из (6)

получаем урав­

нения, управляющие движением и электрическим полем:

(7)

<Г//./ +

* |.- р й , =

0,

Z)tW = 0

вместе с соответствующими краевыми условиями

pi =

aiinj

на

Г2,

сШ =

Г, иГ2,

Dpii =

— а

на

Г4,

д£ =

Г3иГ4.

На Гь где заданы перемещения,

Ьщ = 0 ,

а на Гз, где задан

электрический потенциал, бф =

0.

Перейдем к уравнению (4) 2. После выполнения предпи­

санных вариаций имеем

ti

*2

S T b f — W bT^dv^

] * { ] ( # 7 6r''“ sr6r

+

J Q itiibTdal.

Учитывая, что

дВ

*

Яi —

дПдТ. i,

qi 6T,i =

— qti *67’ -j- (qi bT), t->

приведем уравнение

(8)

к виду

и

(9)

$ Л П

[(?,. i — W + TS)bT — (ST 6Т>•] dv +

t, IВ

J (<q i — Q i)n ib T d a \ =

0.

+

дВ

'

Принимая во внимание

предположения

(5)3, 4, имеем

( 10)

.*2

\{ST bTf dt =

ST 6T t = * 0.

U

В итоге остается уравнение

\ ( q , - Q , ) n , 6 T d a J= 0.

t

(11)

y t i \ ( q , . l - W

+

T'S)bTdv+