книги / Электромагнитные эффекты в твердых телах

ВдВ В

Равенство (12) означает, что прирост в единицу времени внутренней электромагнитной энергии равен притоку элек­ тромагнитной энергии через поверхность дВ и электрической энергии, рассеянной внутри тела и превращенной в тепло.

В следующем параграфе мы получим обобщение уравне­ ния баланса энергии, учитывающее деформации тела. Со­ гласно равенству (3), В есть солеиоидальный вектор; поэтому его можно представить как ротор некоторого вектора Ао:

(13) B = rotA0.

Однако уравнение (13) не определяет вектор А0 однозначным образом. Поэтому имеем

К этим равенствам добавим уравнение Гаусса (4) и опре­ деляющие соотношения (6), (7). Рассмотрим выражение divh = div(EX Н); с учетом соотношения (16) получаем

Таким образом, мы получили локальный принцип сохранения энергии.

Потребуем, чтобы выражение (8) оставалось неизменным при перемещениях тела как жесткого целого [59]. Сначала рассмотрим жесткое равномерное движение тела

(10)U — (оц, j-\-Xi — рг)/) (Vi 4* b{) 4- OjiVi,} 4- EiDt.

Предположим теперь, что величины р, U, X-h оц и £,• не пре­ терпевают изменений. Вычитая соответствующие стороны уравнений (10) и (8), получим равенство

которое должно выполняться при произвольных значениях bi. В результате получаем уравнение движения — первое урав­ нение Коши

Уравнение (12) значительно упрощает равенство (8) ба­ ланса энергии. Тогда имеем

Потребуем, чтобы выражение (13) оставалось неизменным при вращении тела как жесткого целого с постоянной угло­ вой скоростью Q. Поэтому полагаем

16 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества

Вычитая равенство (13) из (16) и полагая, что величины сг//, Ei, U не претерпевают изменений, приходим к уравнений

В результате получаем, что тензор напряжений является симметричным. Это — содержание второго уравнения Коши.

Для дальнейших рассуждений определим тензор дефор­ мации 8,-у и тензор вращения со//:

Заметим, что a//d>//= 0, где тензор сг// симметричный, а тен­ зор ©// кососимметричный. Приведенные выше утверждения позволяют представить уравнение баланса энергии с учетом (17) и (21) в виде

Отсюда видно, что внутренняя энергия есть функция дефор­ мации 8// и электрического смещения £)/. Внутренняя энергия является функцией состояния, а ее производная — полной производной; следовательно,

Сравнивая уравнения (22) и (23), имеем

(2 4 )

Эти равенства выполняются для произвольных ёц и £>/, если

Соотношения (25) пригодятся нам для введения определяю­ щих уравнений в предположении, что U = f/(e//, £),-), т. е. что независимыми функциями являются е// и Z)/, а зависимы­ ми — функции ail и Ei.

Для дальнейших рассуждений выгодней использовать та­ кие определяющие уравнения, в которых величины ац, Di будут зависеть от е// и Е(. С этой целью введем электриче­

да)

Сравнивая уравнения (27) и (28), получаем соотношение

которое должно выполняться при произвольных величинах в//, Ё{. Отсюда

1.4.ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ

Разложим электрическую энтальпию Я (ец, В/) в ряд Маклорена в окрестности естественного состояния, т. е. состоя­ ния, для которого е(/- = 0, Ei = 0:

Значение Я (0,0) есть электрическая энтальпия для есте­ ственного состояния; без потери общности можно принять ее равной нулю. Введем обозначения

Желая получить линейные определяющие соотношения, огра­ ничимся в ряде Маклорена лишь линейными и квадратич­ ными членами, Из соотношений оц = дЯ/де,у, D* = —dH/dEf

В этих зависимостях принято, что ац = 0, 6,- = 0, так как мы предполагаем, что в теле отсутствуют начальные деформации

Заметим, что тензор эсимметричен, а трехиндексный тен­ зор ещ симметричен только относительно индексов i, /. Со­ отношения симметрии (7)i и (8)ь (8)2 уменьшают число постоянных от 81 до 21. В случае наиболее сложного триклинного кристалла имеем 21 постоянную с-цм, 18 пьезоэлектри­ ческих постоянных виц и 6 диэлектрических постоянных э«•/. Рассмотрим отдельно случай изотропного тела: Величины Сцы, Skij, эц должны быть в этом случае изотропными тен­ зорами

Здесь р, %— постоянные Ламе, гци — кососимметричный тен­ зор Риччи. Подставляя (9) в (4), имеем

поля деформации с электрическим полем не проявляется. В дальнейшем будет показано, что пьезоэлектрический эф­ фект не проявляется в кристаллах, обладающих централь­ ной симметрией.

Возвращаясь к выражению электрической энтальпии Н —

— U — EiDi, запишем его в виде

(12) £/ = # + £*£,.

Подставляя выражения (3) и (5) в (12), приходим к вы­ ражению для внутренней энергии V:

(13) U — ll2CijklQijeltl + 'l&ijEiEj-

Так как U — неотрицательная скалярная величина, правая часть выражения (13) должна быть положительно опреде­ ленной квадратичной формой, что обусловливает устойчи­ вость решения.

1.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВА

Приведем сводку основных соотношений и уравнений тео­ рии пьезоэлектричества. Имеем два основных уравнения — уравнение движения и уравнение электрического поля:

К этим уравнениям добавляются определяющие соотношения

стеме четырех уравнений, в которых неизвестными являются перемещения щ и электрический потенциал ф:

Эти уравнения связаны между собой. К ним следует доба­ вить граничные условия. Пусть поверхность дВ, ограничи­ вающая тело, состоит из частей Гi и Гг, так что дВ = Ti U Гг, причем Ti П Гг = 0. Пусть на части поверхности Ti заданы перемещения (У/, а на части Г2— нагрузки В этом случае будем иметь дело с граничными условиями

20 Гл. 1. Основы линейной теории пьезоэлектричества

Пусть теперь на поверхности Гз задан электрический потен­ циал ф, а на Г4— поверхностный заряд а, причем дБ = = Гз U Г4, Гз П Г4= 0. Тогда будем иметь дело с граничными условиями

Равенства (6) являются уравнениями движения; уравне­ ние (7) описывает квазистатическое электрическое поле. К граничным условиям (8) следует еще добавить начальные условия для перемещений:

(10) и, (х, 0) = /*(*). щ{х, 0) = gi(x), X G B, t — 0.

Зная решения системы уравнений (б) и (7) — функции щ, ф, определим последовательно поле Ek по формуле £*. = —ф, л и деформации ъц по формуле (5). Напряжения о,-/ и электри­ ческое смещение £>,• определим из определяющих уравнений

(3) и (4). Знание функций £,• и D,- позволяет тогда опреде­ лить вектор поляризации Р, по формуле

Здесь Эо — электрическая проницаемость в вакууме. Рассмотрим частные случаи равенств (6) и (7). Если пье­

зоэлектрический эффект в теле не проявляется, то уравне­ ние (6) принимает вид

С другой стороны, рассматривая тело как недеформируемое, имеем

Уравнение (12) следует дополнить граничными (8) и началь­ ными (10) условиями. Уравнение (13) дополняется гранич­ ным условием (9).

1.6. ПРИНЦИП ВИРТУАЛЬНЫХ РАБОТ. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ

Отправным пунктом наших рассуждений будет принцип виртуальных работ Лагранжа для деформируемого тела

Здесь Ьщ— виртуальное приращение перемещения щ. Пред­ положим, что виртуальные приращения Ьщ являются произ­ вольными дифференцируемыми функциями класса С<1>. Пред­ положим еще, что приращения Ьщ согласованы с условиями,