книги / Сопротивление материалов.-1

тойчивости данного вида деформации элемента конструкции, называют критической силой.

Если не гарантирована устойчивость всего сооружения или его отдельных элементов, то теряет смысл и проверка на прочность, так как при его потере устойчивости мгновенно меняется форма равновесия и почти всегда новая форма равновесия сопровождается быстрым нарастанием напряжений, которые в итоге приводят к разрушению сооружения. Известно много случаев катастроф и разрушения больших инженерных сооружений, происшедших в следствие потери устойчивости.

При изучении предыдущих разделов сопротивления материалов всегда выделялось основное явление, а все дополнительные факторы, осложняющие это явление, отбрасывались. Принимая некоторые упрощения в этом случае, считалось, что они мало влияют на окончательный результат. В применении к продольному изгибу такой подход не вполне применим. При продольном изгибе дополнительными факторами будут неизбежное малое начальное искривление стержня, внецентренность приложения нагрузки, т.к. практически невозможно приложить ее точно совпадающей с осью бруса, неоднородность материала и т.д.

При продольном изгибе влияние этих факторов очень существенно. Несмотря на то, что при выводе расчетных формул их отбрасывают, необходимо помнить, что в действительности работа длинных сжатых стержней значительно осложняется всеми перечисленными дополнительными факторами.

Решение задач по исследованию устойчивости элементов конструкций сводится, главным образом, к определению критических нагрузок. Определив последние и вводя коэффициенты запаса устойчивости [n]y, равные отношению критической нагрузки Fкр к допустимой нагрузке F, можно обеспечить устойчивость любого элемента конструкции:

281

14.2. Устойчивость центрального сжатого стержня в пределах пропорциональности (упругости)

Впервые задача, относящаяся к исследованию вопроса об устойчивости равновесия упругого тела, была решена в 1744 г. Леонардом Эйлером, членом Российской академии наук.

Им было найдено то значение центрально сжимающей нагрузки F, при котором вертикально заделанный нижним концом стержень начинает искривляться (рис. 14.1).

Пока сжимающая сила F не велика, стержень АВ сохраняет устойчиво свою прямолинейную форму, и деформация будет заключаться в простом сжатии. Если какой-либо горизонтальной силой вызвать небольшое искривление стержня, то по удалении этой силы стержень возвратится к своей первоначальной прямолинейной форме равновесия.

Такая устойчивость прямолинейной формы сохраняется только до известных пределов. Постепенно увеличивая силу F, можно достигнуть такого предельного состояния, когда малейшая причина может искривить стержень, и по удалении причины, вызвавшей искривление, стержень к

прямолинейной форме не возвращается. Задача заключается в том, чтобы определить это «критическое» значение силы F.

Мы предполагаем, что стержень свободно может искривляться в любом направлении, поэтому, очевидно, искривление должно произойти в направлении наименьшего сопротивления, т.е. в плоскости наименьшей жесткости стержня. Выберем эту плоскость наименьшей жесткости за координатную плоскость x, y.

Пусть при некотором значении силы F, большем критического, стержень АВ изогнулся, как показано на рис. 14.1 пунктиром. Если теперь уменьшать постепенно силу F, то уменьшаться будет и искривление стержня. Когда мы в пределе достигнем критического значения F, т.е. того значения, при котором только становится возможным появление искривления, ис-

282

кривленная форма сольется с прямолинейной. Если сжимающая сила на малую величину превосходит критическое значение, то искривленная форма мало отличается от прямолинейной; этим воспользуемся для нахождения значения Fкр. В данном случае здесь мы идем как бы обратным путем: полагаем, что возможна искривленная форма и определяем, какова для этого должна быть сжимающая сила F.

Возьмем какое-либо сечение и напишем для верхней отсеченной части (см. рис. 14.1) условие равновесия внешних и внутренних сил. Для сечения мы имеем:

При выбранном направлении осей вторая производная

d2 y положительна. Положителен и момент М. dx2

Дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет вид

Произвольные постоянные определяются из условий на концах изогнутого стержня:

Чтобы удовлетворить условию III, необходимо принять

Учитывая условие (14.3, в), получим:

Наименьшее значение Fкр, при котором становится возможным искривление, будет равно

Полученное значение и будет «критической» сжимающей силой, при которой становится возможной предположенная нами искривленная форма равновесия.

Формула (14.8) показывает, что критическая сила пропорциональна наименьшей жесткости стержня и обратно пропорциональна квадрату его длины.

Впервые вывел эту формулу Эйлер, поэтому ее называют формулой Эйлера для определения критической силы при продольном изгибе.

При выводе этой формулы использовалось дифференциальное уравнение изогнутой оси. Оно было справедливо в пределах пропорциональности материала, следовательно, полученная формула будет действительна только в тех случаях, когда напряжения при критической нагрузке не превосходят предела пропорциональности.

284

14.3. Зависимость критической силы от условий закрепления

От рассмотренной задачи легко перейти и к некоторым другим случаям продольного изгиба. Возьмем, например, стержень, оба конца которого при выпучивании могут свободно поворачиваться (рис. 14.2), т.е.

шарнирное закрепление. Касательная в середине выпучивающегося стержня будет параллельна первоначальной оси стержня, и, следовательно, обе половины изогнувшегося стержня будут в таких же условиях, как и в рассмотренном выше случае. Критическая сжимающая сила будетравна

До сих пор мы рассматривали первую форму, которой соответствует наименьшее значение сжимающей силы. Рассмотрим теперь другие формы искривления.

В общем виде упругая линия определяется уравнением y = δ(1−cos αz),

Соответствующие кривые представлены на фигурах а и б

(рис. 14.3, а, б).

285

Распространяя эти кривые симметрично в сторону отрицательных направлений z, как это показано на рисунке пунктиром, получим различные искривления формы равновесия с опертыми концами. В местах пересечения сил F с искривленной осью будем иметь точки перегиба; изгибающей момент для этих точек равен нулю. Все эти высшие формы возможны при больших значениях сжимающей силы, и все они, как показывает опыт, неустойчивы.

Рис. 14.3. Рис. 14.4.

Рассмотрим еще один случай, могущий иметь критическое значение– случайсжатиястержнясзаделаннымиконцами(рис. 14.4).

Чтобы помешать концам поворачиваться, нужно приложить моменты в плоскостях заделки. Это равносильно приложению сжимающих сил F с некоторым эксцентриситетом. На линии действия сил F должны лежать точки прогиба изогнутой оси стержня. Видно, что полученную кривую опять можно привести

к первому разобранному случаю, если взять длину 4l ; тогда по-

лучим формулу

286

т.е. критические сжимающие силы в этом случае в 16 раз больше, чем в первом случае, и в четыре раза больше, чем для шар-

мент на расстоянии x от нижнего конца стержня будет равен

M = Fкр y − R (l − z),

где R – реакция шарнирного закрепления.

EIy′′ = −Fy + R(l − z),

z = l .

Соответственно этим условиям запишем три уравнения:

Все эти уравнения удовлетворяются при С1 = С2 = R = 0; в этом случае прогиб отсутствует и имеет место тривиальная форма равновесия. Для возможности возникновения выпученной

287

формы равновесия необходимо существование решения системы уравнения (14.12), отличного от тривиального (нулевого) решения. Уравнения (14.12) являются однородными и содержат неизвестные С1, С2 и R. Подобная система уравнений имеет нетривиальное решение только в том случае, когда определитель, составленный из ее коэффициентов, равен нулю. Таким образом, получаем так называемое «уравнение выпучивания»:

α0 − Fl = 0,

или, раскрывая определитель, получим трансцендентное уравнение

αl = tg αl ,

которое определяет критическую нагрузку.

Наименьший корень, удовлетворяющий уравнению, равен

αl = 4,493 .

Тогда

Приведенные формулы Fкр для различных случаев можно объединить в одну:

288

где lпр – приведенная длина стержня, определяемая по формуле lпр =µ l; µ – коэффициент приведения, с помощью которого

стержень любого типа сводят к стержню, шарнирно опертому на концах, для которого при наименьшем значения Fкр потеря устойчивости сопровождается изгибом с одной полуволной.

Понятие приведенной длины впервые было введено Ф.Е. Ясинским.

Рис. 14.6.

На рис. 14.6 приведены коэффициенты и для четырех рассмотренных случаев.

14.4. Предел применимости формулы Эйлера. Продольный изгиб за пределами пропорциональности

Определяем критическиенапряженияпри продольном изгибе. Дальнейший анализ проведем для шарнирно опертых стержней, как наиболее широко встречающихся; все же остальные случаи при расчетах будем сводить к этому случаю изменением длины стержня за счет введения приведенной длины вме-

сто действительной.

Поскольку при действии критической нагрузки стержень все еще сохраняет первоначальную прямолинейную форму упругого равновесия, критическое напряжение в нем определяется, как при простом сжатии, т.е.

289