книги / Сопротивление материалов.-1

Содержание и порядок выполнения работы

1.Вычислить значения максимальных нормальных и касательных напряжений в опасном сечении вала.

2.Определить расчетные характеристики сопротивления усталости элементов вала с учетом влияния основных факторов.

3.Рассчитать коэффициенты запаса прочности по нормальным и касательным напряжениям.

4.Вычислить общий коэффициент запаса циклической прочности и сравнить с нормированным значением коэффициента запаса [n] = 1,3.

5.При необходимости рекомендуется сменить марку стали или ввести упрочняющую обработку поверхности.

ГЛАВА 13. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ

Несмотря на бурное развитие науки и техники, в середине XX в. мир стал свидетелем ряда крупных катастроф. Из 2500 кораблей типа «Либерти» 145 разломились пополам, а около 700 претерпели серьезные разрушения. Взрывались ракеты, наблюдались многочисленные разрушения газопроводов и т.д. Общим для всех этих происшествий было катастрофическое развитие трещин. Такие случаи стали встречаться все чаще по мере увеличения габаритов конструкций и увеличения прочности материалов.

В 1957 г. в США сформировалось новое направление механики, которое получило название «Механика разрушения».

Из физики твердого тела известно, что теоретическая прочность материалов на порядок и более превышает их фактическую прочность. Немаловажную роль в этом феномене играют различного рода дефекты, присущие материалу, начиная от дефектов кристаллической решетки (дислокации, вакансии, внедренные атомы различных элементов и т.д.) и кончая макроскопическими дефектами, в том числе и трещинами различного происхождения.

262

В узком смысле слова направление «Механика разрушения» изучает условия разрушения твердых тел при наличии в них макроскопических трещин.

13.1. Проблема оценки прочности тел с трещинами

Если рассматривать трещину в рамках линейной теории упругости как математический разрез, то она представляет собой концентратор напряжений с теоретическим коэффициентом концентрации, равным бесконечности. В этом случае классический подход к оценке прочности по допускаемым напряжениям теряет смысл, так как при любой самой малой нагрузке всегда найдутся точки в материале, эквивалентные напряжения в которых будут превышать любое критическое значение. Таким образом, с точки зрения этой теории, тело с трещиной должно иметь нулевую прочность, что явно противоречит опыту.

Тот же опыт показывает, что существуют материалы, называемые хрупкими, которые разрушаются без заметных пластических деформаций, при этом если в материале имеется трещина, последняя с ростом нагрузки до определенного времени не увеличивается в размерах, а после достижения нагрузкой некоторого критического значения почти мгновенно распространяется, приводя тело к разрушению.

Теория Гриффитса

В 1920 г. появилась основополагающая работа английского ученого А.А. Гриффитса, который провел серию научных экспериментов на стекле и дал теоретическое обоснование влияния размеров трещин на величину разрушающих напряжений.

Для теоретического анализа Гриффитс воспользовался решением задачи о бесконечной пластине с эллиптическим отверстием, нагруженной на бесконечности напряжениями σ. Трещина моделируется эллипсом, малая полуось которого равна нулю, а большая – половине длины трещины l (рис.13.1). Перемещения берегов трещины для этого случая описываются формулой

263

Далее Гриффитс рассуждал так. Пусть для образования единицы свободной поверхности необходимо затратить работу γ, равную плотности поверхностной энергии. С другой стороны при переходе от трещины с полудлиной l к трещине с полудлиной l+dl высвобождается потенциальная энергия

d ∆U = (1−µ 2 )π2lσ2 dl.

E

Разрушение возможно без дополнительного подвода энергии, если высвобождающейся энергии достаточно для образования дополнительной свободной поверхности. Поскольку высвобождающаяся потенциальная энергия зависит от напряжения σ, можно определить критическое напряжение σс, при котором возможно начало нестабильного разрушения, из уравнения d∆U =4γdl.

Отсюда вытекает уравнение, связывающее критическое напряжение и длину трещины:

Гриффитс провел обширные эксперименты на стекле по проверке своей теории. Обнаруженные отклонения не превыша-

ли 5 %.

Подобные решения для большинства практически важных случаев нагружения долгое время встречали непреодолимые математические трудности, кроме того, считалось, что предложенная теория годится только для хрупких материалов.

В 50-х гг. теория Гриффитса была распространена и на пластичные материалы при условии, что размер пластической зоны в области вершины трещины мал по сравнению с размерами трещины и тем более размерами самого тела. Было введено понятие интенсивности освобожденной энергии G, т.е. величины освободившейся энергии, приходящейся на единицу дополнительно образовавшейся площади трещины.

G =− dUdA .

265

Так, для пластины, растягиваемой на бесконечности напряжениями σ, при плоском напряженном состоянии

G = πσE2 l ,

а при плоской деформации

G = (1−µ2 )πσ2l .

E

Если предположить, что для образования единицы площади трещины надо затратить некоторую работу G с , включающую

как работу на создание свободной поверхности, так и работу на пластическое деформирование приповерхностной области, то условие начала нестабильного разрушения примет вид

G =Gc .

Метод податливости

Рассмотрим один из возможных путей экспериментального определения интенсивности освобожденной энергии G. Пусть имеется тело с трещиной, загруженное некоторой обобщенной силой F (рис. 13.2). Под действием этой силы тело получит со-

ответствующее обобщенное перемещение ∆. В пределах упругости связь между обобщенным перемещением и обобщенной силой

определяется законом Гука:

∆=δF,

где δ – коэффициент податливости. Потенциальная энергия деформации равна работе силы на соответст-

вующем ей перемещении, а именно:

266

щины на величину dА. Интенсивность освобожденной энергии найдется из выражения

Чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо экспериментально установить зависимость податливости от площади трещины и одним из численных методов продифференцировать эту зависимость.

Напряженное состояние вблизи вершины трещины, понятие коэффициентов интенсивности напряжений

Работы Колосова, Мусхелишвили, Вестергаарда и других позволили решить в довольно общем виде вопрос о напряженном состоянии в области вершины трещины. Показано, что закон распределения напряжений вблизи вершины трещины мало зависит от нагрузки и формы детали, а напряженнодеформированное состояние в этой области вполне определяется тремя коэффициентами K1, K2 и K3, называемыми коэффициентами интенсивности напряжений.

Каждый из этих коэффициентов связан с определенным видом деформации материала в области вершины трещины.

На рис. 13.3 схематически показаны соответствующие этим коэффициентам деформации.

Рис. 13.3.

267

Перемещение берегов трещины при θ = π определяются из выражения

Аналогично выражаются компоненты напряженного состояния и при других видах деформаций.

Из приведенных формул видно, что размерность коэффициентов интенсивности напряжений в Международной системе единиц Па м1/2 .

Коэффициенты интенсивности напряжений зависят от нагрузки, размеров и формы тела, конфигурации и размеров трещины и подлежат определению.

268

Связь между интенсивностью освобожденной энергии и коэффициентом интенсивности напряжений

Доказано, что в пределах линейной упругости материала существует однозначная связь между интенсивностью освобожденной энергии и коэффициентом интенсивности напряжений. Так, например, для трещины нормального отрыва эта зависимость имеет следующий вид:

K 2

G1 = E1 − для плоского напряженного состояния;

K 2

G1 = ( 1 ) − для плоской деформации. 1−µ2 E

Существует несколько методов определения коэффициентов интенсивности напряжений.

Расчетный путь. Аналитическим или численным методом рассчитывается напряженное состояние в области вершины трещины, из полученного решения выделяется часть, описывающая коэффициент интенсивности напряжений, которая обычно приводится к виду

K1 = σн lY ,

где σн – номинальные напряжения в опасном сечении рассчи-

тываемой детали; l − характерный размер трещины; Y − безразмерная функция, зависящая от формы детали, вида нагружения, относительного размера трещины.

Для инженерных расчетов необходимые сведения приводятся в справочной литературе.

Экспериментальный метод (К-тарировка). Метод основан на приведенных выше зависимостях между интенсивностью освобожденной энергии и коэффициентом интенсивности напряжений. Имея уравнение

269

определяется экспериментально путем тарировки (измерения податливости детали по мере выращивания трещины) и последующего дифференцирования полученной зависимости.

Оценка размеров и формы пластической зоны

Современные конструкционные материалы почти все в той или иной степени обладают свойством пластичности. Поэтому при нагружении детали с трещиной у ее вершины развивается пластическая зона. Если к моменту разрушения эта зона окажется малой по сравнению с размерами трещины, то можно ожидать так называемое квазихрупкое разрушение, т.е. нестабильное разрушение по типу хрупкого с узкой зоной пластически деформированного материала в области, прилегающей к поверхности раздела.

В связи с этим важно уметь, хотя бы приблизительно, оценивать размеры этой зоны.

Рассмотрим напряженное состояние в теле с трещиной нормального отрыва в точках, расположенных по линии продвижения этой трещины.

Если рассматриваемые точки расположены на поверхности тела, то напряженное состояние в них будет плоским, т.е. одно из главных напряжений обращается в нуль, а два других выражаются через коэффициент интенсивности напряжений по формуле

где r – расстояние от вершины трещины до этой точки. Эквивалентное напряжение, например, по третьей теории прочности

270