книги / Линейная алгебра.-1
.pdf
О Г Л А В Л Е Н И Е
Предисловие.................................................................................................. |
9 |
|
Введение......................................................................................................... |
11 |
|
Г л а в а |
1. Матрицы и определители.................................................. |
12 |
§ 1. |
Матрицы........................................................................................... |
12 |
|
1. Понятие матрицы (12). 2. Основные операции над матрицами и |
|
§ 2. |
их свойства (13). 3. Блочные матрицы (17). |
19 |
Определители................................................................................... |
||
|
1. Понятие определителя (19). 2. Выражение определителя непо |
|
|
средственно через его элементы (26). 3. Теорема Л апласа |
(27). |
4. Свойства определителей (30). 5. Примеры вычисления опреде лителей (33). 6. Определитель суммы и произведения матриц (37).
7. Понятие обратной матрицы (39). |
41 |
§ 3. Теорема о базисном миноре матрицы ........................................ |
|
1. Понятие линейной зависимости строк (41). 2. Теорема о базисном |
|
миноре (42). 3. Необходимое и достаточное условие равенства нулю |
|
определителя (44). |
46 |
Глава 2. Линейные пространства .................................................... |
|
§ 1. Понятие линейного пространства ............................................... |
46 |
1. Определение линейного пространства (46). 2. Некоторые свойства |
|
произвольных линейных пространств (50). |
51 |
§ 2. Базис и размерность линейного пространства ........................ |
|
1.Понятие линейной зависимости элементов линейного |
простран |
ства (51). 2. Базис и координаты (53). 3. Размерность линейного пространства (55). 4. Понятие изоморф изма линейных пространств
§ 3. |
(57). |
58 |
Подпространства линейных пространств.................................. |
||
|
1. Понятие подпространства и линейной оболочки (58). 2. Новое |
|
|
определение ранга матрицы (61). 3. Сумма и пересечение подпро |
|
|
странств (62). 4. Разложение линейного пространства в прямую |
|
§ 4. |
сумму подпространств (65). |
|
Преобразование координат при преобразовании базиса гг-мер- |
|
ного линейного пространства....................................................... |
|
|
67 |
|
1. |
Прямое и обратное преобразование базисов (67). |
2. С вязь |
меж |
|
ду преобразованием базисов и преобразованием соответствующих |
||||
координат (68). |
|
|
70 |
|
Г л а в а 3. Системы линейных уравнений ...................................... |
|
|
||
§ 1. Условие совместности линейной системы |
................................. |
|
70 |
|
1. |
Понятие системы линейных уравнений |
и ее |
решения |
(70). |
2. |
Н етривиальная совместность однородной |
системы (73). 3. Усло |
||
вие совместности общей линейной системы (74). |
|
75 |
||
§ 2. Отыскание решений линейной системы .................................... |
|
|
||
1. К вадратная система линейных уравнений с определителем основ |
||||
ной матрицы, отличным от нуля (76). 2. Отыскание всех решений общей линейной системы (80). 3. Свойства совокупности решений однородной системы (82). 4. Заклю чительны е замечания о решении линейных систем (87).
6 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Глава 4. Евклидовы пространства .................................................. |
90 |
|
§ 1. |
Вещественное евклидово пространство |
и его простейшие |
|
свойства ........................................................................................... |
90 |
|
1. Определение вещественного евклидова пространства (90). 2. Про |
|
§ 2. |
стейшие свойства произвольного евклидова пространства (93). |
|
Ортонормированный базис конечномерного евклидова прос |
||
|
транства ............................................................................................. |
97 |
1.Понятие ортонормированного базиса и его существование (98).
2.Свойства ортонормированного базиса (100). 3. Разложение п- мерного евклидова пространства на прямую сумму подпростран ства и его ортогонального дополнения (103). 4. И зоморфизм но мерных евклидовых пространств (103).
§ 3. Комплексное евклидово пространство ...................................... |
|
105 |
|
1. |
Определение комплексного евклидова |
пространства |
(105). |
2. Неравенство К ош и-Буняковского. Понятие нормы (107). |
3. Ор |
||
тонормированный базис и его свойства (108). |
|
|
|
§ 4. Метод регуляризации для отыскания нормального решения |
|||
линейной системы .......................................................................... |
|
110 |
|
Глава 5. Линейные операторы ......................................................... |
|
117 |
|
§ 1. Понятие линейного оператора. Основные свойства ............... |
117 |
||
1. Определение линейного оператора (117). 2. Действия над ли |
|||
нейными операторами. П ространство линейных операторов |
(117). |
||
3. |
Свойства множества L (У, V) линейных операторов (118). |
|
|
§ 2. Матричная запись линейных операторов ................................. |
|
125 |
|
1. М атрицы линейных операторов в заданном базисе линейного про |
|||
странства V (125). 2. Преобразование матрицы линейного опера |
|||
тора при переходе к новому базису (127). 3. |
Х арактеристический |
||
многочлен линейного оператора (130). |
|
|
|
§ 3. Собственные значения и собственные векторы линейных опе |
|||
раторов............................................................................................... |
|
131 |
|
§ 4. Линейные и полуторалинейные формы в евклидовом прос |
|||
транстве ........................................................................................... |
|
134 |
|
1. Специальное представление линейной формы в евклидовом про |
|||
странстве (134). 2. Полуторалинейные формы в евклидовом про |
|||
странстве. Специальное представление таких форм (135). |
|
||
§ 5. Линейные самосопряженные операторы в евклидовом прос |
|||
транстве ........................................................................................... |
|
138 |
|
1. Понятие сопряженного оператора (138). 2. Самосопряженные |
|||
операторы. Основные свойства (139). 3. Норма линйного оператора |
|||
(141). 4. Дальнейш ие свойства самосопряженных операторов (143). |
|||
5. Спектральное разложение самосопряженных операторов. Теоре |
|||
ма Гамильтона-К эли (149). 6. Положительные операторы. Корни |
|||
m -ой степени из оператора (151). |
|
|
|
§ 6. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов .......... |
152 |
||
§ 7. Унитарные и нормальные операторы......................................... |
|
155 |
|
§ 8. Канонический вид линейных операторов ................................. |
|
160 |
|
§ 9. Линейные операторы в вещественном |
евклидовом |
прос |
|
транстве ........................................................................................... |
|
165 |
|
1. Общие замечания (165). 2. О ртогональные операторы (170).
ОГЛАВЛЕНИЕ |
7 |
Г л а в а 6. Итерационные методы решения линейных систем и |
|
задач на собственные значения...................................... |
174 |
§ 1. Итерационные методы решения линейных систем ................. |
175 |
1. Метод простой итерации (метод Якоби) (175). 2. Общий неяв ный метод простой итерации (178). 3. М одифицированный метод простой итерации (186). 4. Метод Зейделя (188). 5. М етод верх ней релаксации (189). 6. Случай несимметричной матрицы А (190).
7. Итерационный метод П .Л . Чебыш ева (190).
§ 2. Решение полной проблемы собственных значений методом
вращений........................................................................................... |
|
|
|
194 |
Г л а в а 7. Билинейные и квадратичные формы .......................... |
|
201 |
||
§ 1. Билинейные формы........................................................................ |
|
201 |
||
1. Понятие билинейной формы (201). 2. Представление билинейной |
||||
формы в конечномерном линейном пространстве (202). 3. Преобра |
||||
зование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. |
||||
Ранг билинейной формы (204). |
|
205 |
||
§ 2. Квадратичные формы................................................................... |
|
|||
§ 3. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов |
............ 207 |
|||
1. Метод Л агранж а |
(208). 2. Метод Якоби (210). |
|
|
|
§ 4. Закон инерции квадратичных форм. Классификация |
квад |
|||
ратичных форм............................................................................... |
|
|
213 |
|
1. Закон инерции |
квадратичны х форм (213). 2. Классификация |
|||
квадратичны х |
форм (216). 3. К ритерий Сильвестра |
знакоопреде |
||
ленности квадратичной формы (218). |
|
219 |
||
§ 5. Полилинейные формы................................................................... |
|
|||
§ 6. Билинейные |
и |
квадратичные формы в |
евклидовом |
|
пространстве.................................................................................... |
|
|
|
221 |
1. Предварительные замечания (221). 2. Приведение квадратичной |
||||
формы к сумме квадратов в ортогональном базисе (222). 3. Одно |
||||
временное приведение двух квадратичны х форм к сумме квадратов |
||||
в линейном пространстве (223). 4. Экстремальные свойства квадра |
||||
тичной формы |
(224). |
|
227 |
|
§ 7. Гиперповерхности второго порядка ........................................... |
|
|||
1. Понятие гиперповерхности второго порядка (227). 2. П араллель ные переносы в евклидовом пространстве. Преобразование ортонормированных базисов в ортонормированные (229). 3. Преобра зование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при параллельном переносе (231). 4. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при переходе от ортонормированного базиса к ортонормированному (233). 5. И нварианты обще го уравнения гиперповерхности второго порядка (235). 6. Центр ги перповерхности второго порядка (237). 7. Стандартное упрощение любого уравнения гиперповерхности второго порядка путем преоб разования ортонормированного базиса (239). 8. Упрощение уравне ния центральной гиперповерхности второго порядка. К лассиф ика ция центральных гиперповерхностей (239). 9. Упрощение уравне ния нецентральной гиперповерхности второго порядка. К лассиф и кация нецентральных гиперповерхностей (241).
8 ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л ав а 8. Тензоры...................................................................................... |
246 |
||
§ 1. |
Г[реобразование базисов и координат ........................................ |
246 |
|
|
1. |
О пределители Грама (246). 2. Взаимные базисы. К овариантные и |
|
|
контравариантные координаты векторов (247). 3. Преобразования |
||
§ 2. |
базиса и координат (251). |
253 |
|
Понятие тензора. Основные операции над тензорами............ |
|||
|
1. |
Понятие тензора (253). 2. Примеры тензоров (255). 3. Основные |
|
§ 3. |
операции над тензорами (257). |
алгеб |
|
Метрический тензор. Основные операции векторной |
|||
|
ры в тензорных обозначениях....................................................... |
262 |
|
|
1. |
Понятие метрического тензора в евклидовом пространстве (262). |
|
|
2. |
Операция поднятия и опускания индексов с помощью |
метри |
ческого тензора (264). 3. Ортонормированные базисы в Е п (265).
4.Дискриминантный тензор (267). 5. Ориентированный объем
(269). 6. Векторное произведение (270). 7. Двойное векторное про
изведение (270). |
271 |
§ 4. Метрический тензор псевдоевклидова пространства............... |
|
1. Понятие псевдоевклидова пространства и метрического |
тензо |
ра псевдоевклидова пространства (271). 2. Галилеевы координаты. Преобразование Лоренца (273). 3. П реобразования Лоренца про
|
странства |
(275). |
|
§ 5. |
Тензор момента инерции................................................................ |
278 |
|
Г л а в а 9. Элементы теории групп..................................................... |
280 |
||
§ 1. |
Понятие группы. Основные свойства групп ............................. |
280 |
|
|
1. Законы композиции (280). 2. Понятие группы. Некоторые свойст |
||
|
ва групп (281). 3. И зоморфизм групп. Подгруппы (285). 4. Смежные |
||
|
классы. Нормальные делители (286). 5. Гомоморфизфы. Ф актор |
||
§ 2. |
группы (287). |
|
292 |
Группы преобразований................................................................. |
|||
|
1. Невырожденные линейные преобразования (292). 2. Группа ли |
||
|
нейных преобразований (293). 3. Сходимость элементов в группе |
||
|
GL (п). Подгруппы группы GL (п) (294). 4. Группа |
ортогональ |
|
|
ных преобразований (295). 5. Некоторые дискретные и конечные |
||
|
подгруппы ортогональной группы (297). 6. Группа Лоренца (299). |
||
§ 3. |
7. Унитарные группы (302). |
303 |
|
Представления групп..................................................................... |
|||
|
1. Линейные |
представления групп. Терминология (304). 2. М атри |
|
цы линейных представлений. Эквивалентные представления (305).
3.Приводимые и неприводимые представления (305). 4. Х арактеры
(307). 5. Примеры представлений групп (309).
Предметный указатель................................................................................. |
313 |
ПРЕДИСЛОВИЕ
Э та книга возн и кла в результате переработки курса лекций, читав
ш ихся авторам и в МГУ.
О тм етим некоторы е особенности излож ения.
И злож ение начинается с изучения м атриц и определителей, причем
определитель n -го порядка вводится по индукции через определитель
(п — 1)-го порядка с помощ ью ф орм улы разлож ен и я по первой строке. П ри этом легко доказы вается теорем а о разлож ении по лю бой строке и по лю бому столбцу (схема док азательства этой теорем ы оказы вает
ся соверш енно аналогичной |
схеме д оказательства теорем ы Л а п л аса ). |
|||
Традиционное |
определение |
детерм инанта (определителя) |
непосред |
|
ственно через |
его элем енты |
явл яется просты м |
следствием |
данного в |
этой книге определения. |
|
|
|
|
И зучению |
линейны х систем предш ествует |
теория линейны х про |
||
странств и преобразований базисов и координат векторов в таких про
странствах. П ри изучении линейны х систем мы |
сразу ж е |
знаком им |
|||
чи тателя не только с обы чной, но и с м атричной |
ф орм ой |
записи си |
|||
стемы и вы вода ф орм ул К рам ера. |
|
|
|||
И зучение |
вещ ественны х |
и |
ком плексны х евклидовы х пространств |
||
заверш ается |
доказательством |
теорем ы А .И . Т ихонова об |
оты скании |
||
норм ального реш ения линейной системы . |
|
|
|||
П ри изучении линейны х |
операторов излагаю тся все основные ас |
||||
пекты спектральной теории |
в конечном ерны х евклидовы х простран |
||||
ствах. Теорема о приведении м атрицы к ж ордановой ф орм е доказы ва ется с помощ ью предлож енного А .Ф . Ф илипповы м короткого метода, основанного на индукции.
К нига содерж ит специальную главу, посвящ енную итерационны м
м етодам, в которой с единой |
точки зрения рассм атриваю тся в а |
ж |
нейш ие итерационны е методы |
реш ения линейны х систем (явны й |
и |
неявны й методы простой итерации, м етод Зейделя, м етод верхней ре лаксации) и устанавливаю тся условия сходимости этих методов. Д л я общ его неявного м етода простой итерации вы ясняю тся установлен ные А .А . С ам арским условия получения наиболее бы строй сходимости. П риводится доказательство сходимости м етода вращ ений д л я реш ения полной проблемы собственны х значений.
10 ПРЕДИСЛОВИЕ
И злож ение теории билинейны |
х и к вад рати чн ы х ф орм заверш ает |
ся приведением к каноническом у |
виду уравнений гиперповерхностей |
второго порядка в n -мерном пространстве. П ри изучении тензоров, н а |
|
ряду с традиционны м м атериалом , излагается в аж н ая д л я п рилож е
ний тензорная ф о р м а записи основны х операций векторной алгебры . Здесь ж е даю тся понятия псевдоевклидова пространства, галилеевы х координат и преобразований Л оренца.
К нига заверш ается излож ением элементов теории групп и их пред
ставлений. |
|
|
|
|
С ледует отм етить, что д ан н ая |
книга прим ы кает |
к вы пуску |
«А на |
|
литическая геометрия», |
хотя и м ож ет читаться независимо от |
него. |
||
А вторы приносят |
глубокую |
благодарность |
А .Н . Тихонову и |
|
А.Г. С веш никову за больш ое количество ценны х зам ечаний, Ш .А . А ли
мову, вк л ад которого |
в эту книгу |
далеко вы ш ел |
за рам ки |
обы чного |
||
редакти рован и я, Л .Д . |
К удрявцеву, |
С.А . Л ом ову |
и особенно А .А. С а |
|||
м арском у |
за весьм а |
полезны е критические зам ечан и я |
и |
ценные |
||
советы , Е .С . Н иколаеву, Д .Д . Соколову и Е .В . Ш икину за |
больш ую |
|||||
помощ ь при написании некоторы х разделов этой книги. |
|
|
||||
30 ян вар я |
1974 г. |
|
В. И л ь и н , |
Э. П озн як |
||