Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 323 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

и по м инорам М • элементов первой строки, являю щ им ся определите

лям и порядка п	— 1.
Зам етим , что	при п = 2 правило (1.12) в точности совпадает с

правилом (1.10), ибо в этом случае миноры элементов первой строки

— 1	— 1
имею т вид: М х	— И2 2 , М 2 = а 2 ь

Е стественно возникает вопрос, н ельзя ли использовать д л я получе ния величины определителя (1.11) элем енты и отвечаю щ ие им м иноры не первой, а произвольной г-й строки м атрицы (1.8). О твет на этот во

прос дает следую щ ая основная теорема.
Т е о р е м а 1 .1 . К аков бы ни	был номер	ст роки г	(г = 1, 2,	... , гг),
для определит еля п -го порядка	(1.11) справедлива ф орм ула 6)
Д = detА =	п
Д = detА =	^ 2 ( - 1 у +ЗауМ),			(1.13)
	3 = 1
назы ваем ая разлож ением эт ого определит еля по i -й строке.
З а м е ч а н и е . П одчеркнем , что в этой		ф орм уле	показатель	степе

ни, в которую возводится число (—1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которы х стоит элем ент а ц .

Д о к а з а т е л ь с т в о		т е о р е м ы			1.1.	Ф ормулу	(1.13)		нуж но до
к азать лиш ь	д л я номеров	г =	2, 3,		... , п	7) . П ри	п	— 2	(т. е. д л я
определителя	второго порядка)		эту		ф орм улу нуж но			д оказать лиш ь
д л я ном ера г — 2, т. е. при п — 2 нуж но доказать лиш ь ф орм улу
	2
Д = det А = ^ ( - 1 ) 2+ ^'а2Д Д 2 =						- а21м \	+ а^м\.
	3 = 1
С праведливость этой последней ф орм улы сразу вы текает из вы ра-
ж ений д л я миноров м атрицы (1.9)				__2		__2		a n ,	в силу ко
				М 1 =		a i 2 , М 2 =
торы х п р ав ая часть этой ф орм улы				совпадает с правой частью (1.10).

И так, при п = 2 теорем а доказана.

Д оказательство ф орм улы (1.13) д л я произвольного п > 2 проведем

по индукции, т. е. предполож им , что д л я определителя порядка п — 1

справедлива ф орм ула вида (1.13) разлож ен и я по лю бой строке, и,

опираясь на это, убедимся в справедливости ф орм улы (1.13) д л я опре

дели теля порядка п.
П ри доказательстве		нам	понадобится понятие	м иноров м атри
цы (1.8) порядка п — 2.		О пределитель порядка п		— 2, соответству
ющ ий той м атрице, которая получается из м атрицы				(1.8) в результате
6)	По смыслу теоремы п	2.
7)	Ибо при i — 1 правая часть		(1.13) по определению равна det А.

22	ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
вы черки ван и я двух строк с ном ерам и ц и		и двух столбцов с номе
рам и j 1 и j 2 назы вается м и н о р о м (п — 2 )-го порядка			и обозначается
Ti л-Й ^2
СИМВОЛОМ
О пределитель	n -го порядка Д вводится	ф орм улой	(1.12),	причем
в этой ф орм уле	каж ды й минор М ■ явл яется определителем			поряд

ка п — 1, д л я которого, по предполож ению , справедлива ф орм ула ви

д а	(1.13) разлож ен и я по лю бой строке.
	Ф иксировав лю бой номер	г (г =	2, 3, ... ,	п), разлож и м в ф о р
муле (1.12) каж ды й минор М		■ по i -й	строке	основного определите
л я	(1.11) (в самом миноре М *	эта строка будет		(г — 1)-й).
	В результате весь определитель Д окаж ется представленны м в виде

некоторой линейной комбинации 8) м иноров (п — 2)-го порядка М Д

с несовпадаю щ им и ном ерам и j и i , т. е. в виде 9)

Л = Е Е ^ Д 1

T I T

j= 1 k<j

Дл я вы числения м нож ителей вjk зам етим , что минор М -к получается в

результате разлож ен и я по (г — 1)-й строке 10)* т олько следую щ их двух


м иноров	(п — 1)-го порядка, от вечаю щ их элем ен т а м			первой ст роки
м ат рицы	(1.8): м инора M j и м инора М к (ибо только эти д в а м инора
элементов первой строки содерж ат		в с е	с т о л б ц ы м инора М ^ к ).
В разлож ен и ях миноров М * и		м \	по указанной	(г — 1)-й стро
ке вы пиш ем только слагаемы е, содерж ащ ие минор				(остальны е не

интересую щ ие нас слагаемы е обозначим м ноготочием). У ч и ты вая при

этом, что элемент а ^ м инора М ■стоит на пересечении (г — 1)-й строки

и (к — 1)-го столбца этого м инора 1:) , а элем ент ац м инора м \ стоит

на пересечении (г — 1)-й строки и j- ro						столбца этого м инора		12) , мы
8)	Напомним, что линейной комбинацией каких-либо величин называется сум
ма произведений этих величин на некоторые вещественные числа.
9)	Так	как минор	M j k	совпадает	с	то мы переберем	все	миноры
(п — 2)-го		порядка с данными		номерами	строк 1 и г, изменяя j от		1 до	п и для
каждого j		беря все возможные к < j.
10)	В матрице (1.8) эта строка будет г-й.
п )	Ибо в миноре		отсутствует первая			строка и j -й столбец матрицы (1.8)

иj < к.

12)Ибо в миноре м \ отсутствует первая строка матрицы (1.8), а единственный отсутствующий в этом миноре столбец матрицы (1.8) имеет номер к > j.

		§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ		23
получим
м ) =	(	- 1 )(«- i) + (fe-i)a .feMj*	+ . . . ,	(1.15)
М \	=	( - 1	+ . . .	(1-16)

В ставляя (1.15) и (1.16) в правую часть (1.12) и собирая коэф ф ици - __ ]_^

ент при M j k , мы получим, что м нож итель 6 jk в равенстве (1.14) имеет


вид	ejk	=	{ - l ) {1 + i + i + k)[alja ik -				a i* a y ].			(1.17)

Д л я	заверш ения		доказательства теорем ы				покаж ем , что		и	п равая
часть (1.13) р авн а		сумме,		стоящ ей	в	правой	части	(1.14),	с теми ж е
самы ми значениям и			(1.17) д л я 0 jk .
Д л я	этого в	правой		части	(1.13) разлож и м			каж ды й		минор
(п — 1)-го порядка М* п о				п е р в о й		с т р о к е . В результате вся п ра

вая часть (1.13) представится в виде линейной комбинации с некото ры м и коэф ф ициентам и вj k тех ж е самы х миноров М Д

(1.18)

j = 1 k<j

и нам остается вы числить м нож ители Ojk и убедиться в справедливо

сти д л я них ф орм улы (1.17).

тт	- г - Д г
Д л я этого зам етим , что минор	М j k получается в результате р азло

ж ен и я по первой строке только следую щ их двух м иноров (п — 1)-го

порядка, отвечаю щ их элементам г-й строки м атрицы (1.8): м инора М*-

и м инора М \ (ибо только эти д в а м инора элементов г-й строки содер-

ж ат в с е с т о л б ц ы м инора м -Д.

В разлож ен и ях миноров М* и М \ по первой строке вы пиш ем толь

ко слагаемы е, содерж ащ ие минор М ^ к : (остальны е не интересую щ ие

нас слагаемы е обозначим м ноготочием). У ч и ты вая при этом, что эле

мент aik м инора М*	стоит на пересечении первой строки и (к — 1)-го
столбца 13) этого м инора,			а элем ент a \j	м инора М .\		стоит на пересе
чении первой строки и j- ro			столбца 14)	этого м инора, мы получим
Щ	=	( _ 1 ) 1 + ( * - 1 ) а и		. м “	+ . . . ,	(1.19)
	М \	=	( - l ^ + i o y - A f J *		+ . . .	(1.20)

13)Ибо j < к и в миноре М ) отсутствует j -й столбец матрицы (1.8).

14)Ибо j < к , а у минора М \ отсутствует лишь к-й столбец матрицы (1.8).

ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

В ставляя

(1.19)

и (1.20)

в правую

часть (1.13) и собирая к о эф ф и

циент при М -^., мы получим, что Ojk в сумме

(1.18) определяется той

ж е самой ф орм улой (1.17), что и в равенстве

(1.14).

Т еорема 1.1 доказана.

Т еорема

1.1

установила

возм ож ность разлож ен и я определителя

п-го порядка по

лю бой его

строке. Е стественно возникает вопрос о

возм ож ности

разлож ен и я

определителя n -го

порядка по лю бому

его

с т о л б ц у .

П олож ительны й

ответ

на

этот вопрос

дает

следую щ ая

основная теорема.

Т е о р е м а

1 .2 . К аков бы ни был ном ер ст олбца j

(j =

1, 2, ... , n),

для определит еля п -го порядка (1.11)

справедлива ф ормула

Д = det А

(1.21)

назы ваем ая разлож ением эт ого определит еля по j -м у ст олбцу.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Д остаточно доказать теорему д л я j = 1, т. е.

установить ф орм улу разлож ен и я по первому столбцу

У ( - 1 ) ; + 1а;1Д

(1.22)

ибо если

ф орм ула

(1.22)

будет установлена,

то д л я док азательства

ф орм улы

(1.21)

д л я лю бого

2, 3, ... , п достаточно,

поменяв

ро

лям и

строки

и столбцы, дословно повторить

схему рассуж дений

тео

рем ы

1.1.

Ф ормулу

(1.22) установим по индукции.

П ри п

2 эта ф орм ула проверяется элементарно (так как при п =

__ \

__ 2

2 миноры элементов первого столбца имею т вид М г =

<2 2 2 , М 1 =

a i 2

, то

при п

2 п р ав ая

часть (1.22) совпадает

с правой частью

(1.10)).

П редполож им , что ф орм ула разлож ен и я по первому столбцу (1.22)

верна д л я определителя порядка п

— 1 и, опираясь на это, убедим ся в

справедливости этой ф орм улы д л я определителя порядка п.

С этой целью вы делим в правой части ф орм улы

(1.12) д л я опреде

ли теля п-го порядка Д первое слагаемое а ц М г , а в каж дом из осталь

ны х слагаем ы х разлож и м минор (п — 1)-го порядка М - по	п е р в о м у
с т о л б ц у .
В результате ф орм ула (1.12) будет им еть вид
п п
Д= ОцМ ^ + Е Е вцМ\),	(1.23)

i = 2 г = 2

§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

где Oij — некоторы е подлеж ащ ие определению коэф ф ициенты . Д л я вы-

------ 1 г

числения Oij зам етим , что минор М д получается при разлож ении по первому столбцу только одного из м иноров (п — 1)-го порядка, от

вечаю щ их первой строке 15) , — м инора М - . Запиш ем в разлож ении

м инора м \ (при j ^ 2) по первому столбцу только то слагаемое, кото-

- г - Д г ,

рое содерж ит минор М 1 - (остальны е не интересую щ ие нас слагаем ы е

обозначим м ноготочием). У чи ты вая, что элем ент а д м инора М 1- (при

j^ 2) стоит на пересечении (г — 1)-й строки и первого столбца этого

минора, мы получим, что при j ^ 2

М ) =	+	+ . . .	(1.24)
В ставляя (1.24) в правую часть	(1.12)	(из которой исклю чено пер

вое слагаемое) и собирая коэф ф и ц и ен т при М д , мы получим, что ко


эф ф и ц и ен т Oij в ф орм уле		(1.23) имеет вид
в ц		=	( - l ) i + j + 1a l j a i l .		(1.25)
О стается доказать, что и п р ав ая часть				(1.22) р авн а сумме, стоящ ей
в правой части (1.23) с	теми		ж е самы ми	значениям и	(1.25) д л я
Д л я этого в правой части			(1.22) вы делим первое слагаемое а ц М \ ,
а в каж дом из остальны х		слагаем ы х разлож и м минор			(п — 1)-го по-
-=-Д	с т р о к е .
ряд ка М ^ по п е р в о й
В результате п р ав ая	часть (1.22) представится в виде суммы пер

вого слагаемого а ц М ± и линейной комбинации с некоторы м и к о эф ф и

циентами Oij миноров (п — 2)-го порядка М д ,			т. е. в виде
	п п
а ц М 1 +	Е Е О ц М \),		(1.26)
	г = 2 j = 2
и нам остается вы числить м нож ители		и убедиться в справедливости
д л я них ф орм улы (1.25).
тт	- г - Д г	получается в результате р азло
Д л я этого зам етим , что минор М д

ж ен и я по первой строке только одного из миноров п — 1-го порядка,

отвечаю щ их первому столбцу, — м инора М. \ . Запиш ем в разлож ении

м инора М ^(п ри г ^ 2) по первой строке только то слагаемое, которое

содерж ит	минор М д	(остальны е не интересую щ ие нас слагаемы е обо
значим м	ноготочием).	У чи ты вая, что элем ент ад-, м инора М \ стоит

15) При этом минор м \ предполагается исключенным.

26		ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
на пересечении первой строки и					(j — 1)-го столбца этого м инора, мы
получим, что при i ^ 2
		М \	=	+		+ . . .	(1.27)
В ставляя	(1.27) в правую			часть	(1.22),	из которой	исклю чено первое
слагаемое,	и	собирая коэф ф и ц и ен т при				мы получим , что бц в
сумме (1.26)		определяется той ж е самой ф орм улой					(1.25), что и в р а
венстве (1.23). Т еорема			1.2 доказана.
2.	В ы р а ж е н и е		о п р е д е л и т е л я			н е п о с р е д с т в е н н о ч е р е з его

э л е м е н т ы . Установим форм улу, вы раж аю щ ую определитель n -го по

р яд ка непосредственно через его элем енты (минуя м иноры ).

П усть каж дое из чисел ад, « 2 , ... , ад приним ает одно из значений 1, 2, . .. , п, причем среди этих чисел нет совпадаю щ их (в таком случае

говорят, что числа	ад, « 2 , ... ,		а д	являю тся некоторой перест ановкой
чисел 1, 2, ... , п).	О бразуем		из	чисел	ад,	« 2 ,	все возм ож ны е
пары otiOtj и будем говорить, что п ар а					aictj	образует беспорядок, если
oti > a j при i <	j . Общее число беспорядков, образованны х							всеми
парам и, которы е мож но составить из чисел						ад, « 2	, • •• , ад , обозначим
символом N (« 1 , « 2 , • •.,		ад ).
С помощ ью м етода		индукции установим д л я					определителя	п - г о
порядка (1.11) следую щ ую ф орм улу:
Д = d e t A =		( - l ) JV(“ 1’" 2’" ’ “ " )a a ii a a 2 2 • • . а а „„						(1.28)
«	1 , « 2 , •• (У-п

(суммирование в этой ф орм уле идет по всем возм ож ны м перестанов

кам ад,	« 2	, • •	а д чисел 1, 2,		... , п; число этих перестановок, очевид
но, равно п\).
В случае п			— 2 ф орм ула		(1.28) элементарно проверяется (в этом
случае	возм ож ны только			две	перестановки 1, 2 и 2, 1,		и,	поскольку
IV (1, 2)	=	О,	N (2, 1) =	1,	ф орм ула (1.28) переходит		в	равенство
(1.10)).
С целью проведения индукции предполож им , что						ф орм ула (1.28)
при п >	2 справедлива д л я определителя порядка (п					— 1).
Тогда,		записав разлож ение определителя n -го порядка						(1.11) по
первому столбцу 16) :
					п
			Д = d e tT	=	УУ ( - l ) ai + 1a a i l M “\			(1.29)

«1 = 1

16)Индекс, по которому производится суммирование, на этот раз нам удобно обозначить буквой ад.

§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

мы можем, в силу предполож ения индукции, представить каж ды й ми

нор (п — 1)-го порядка М х 1 в виде

МТ =	J2 ( - 1 ) Ща2’"'ап)аа,2...аапП		(1.30)
	а2,	ап
(суммирование идет	по	всем возм ож ны м перестановкам	« 2 , . .. , а п

(п — 1) чисел, в	качестве которы х берутся все натуральн ы е числа от
1 до п, за исклю	чением числа ад).

Т ак как

из

чисел

ад, « 2 , • • • , ад ,

кроме

пар, образован

ны х

из

чисел

0 ( 2 , ... , ад

м ож но

образовать

еще

только

сле

дую щ ие

пары

Q(I Q(2 , ад о' з , ... ,

ад а д ,

поскольку

среди

чисел

0 (2 , ... , ад

найдется ровно (ад — 1)

чисел,

меньш их

числа

ад,

то

N (ад, 0 (2 , ••-, ад) = N (о(2 , ...,

ад) +

ад — 1.

О тсю да

вы текает,

что

( _ 1 )А^ («2, « п )

( _

i) » 1 + 1 — ( _

i)A^ («ь «г,

«п),

вставляя (1.30)

(1.29),

мы

в точности получим

ф орм улу

(1.28). Тем

самы м

вы вод

ф орм улы

(1.28) заверш ен.

В заклю чение

зам етим ,

что

в больш инстве курсов

линейной

ал

гебры

ф орм ула (1.28) полож ена в основу понятия

определителя

п-го

порядка.

3. Т е о р е м а Л а п л а с а 17) . В этом пункте мы установим зам ечатель ную ф ормулу, обобщ аю щ ую ф орм улу разлож ен и я определителя п-го

порядка по какой-либо его строке.

С этой целью введем в рассм отрение м иноры м атрицы п-го порядка


(1.8) д в у х		т и п о в .
П усть к — лю бой номер, меньш ий п, а и , «2 , ... ,						ik и j i ,		j 2 , • •., jk ~
произвольны е номера, удовлетворяю щ ие условиям						1 ^	i\	< 1 2	<	• • •
. .. < i k ^ n, 1 ^ j i < j 2 < . .. < jk ^ п.
М иноры		первого типа		являю тся	определителям и					по
ряд ка	к , соответствую щ ими той			м атрице, которую			образую т			эле
м енты	м атрицы		(1.8), стоящ ие на	пересечении к строк с номерами
Н, «2 , • •., ik		и к	столбцов с ном ерам и j i , J 2 , • •.,		j k •
М иноры второго типа				являю тся определителям и					поряд


ка п	— к , соответствую щ ими той матрице, которая получается из м ат
рицы	(1.8) в результате вы черки ван и я к				строк с ном ерам и Л , «2 , ... ,				ik
и к столбцов		с ном ерам и j 1		, j‘2 , • • •, jk-
М иноры		второго типа		естественно	н азвать дополнит ельны м и				по
отнош ению к м инорам первого типа.
Т е о р е м а 1 .3			(теорема Л ап л аса).		П ри лю бом	номере	к ,	м ень-
17) П.С. Л аплас			выдающийся ф ранцузский астроном,			м атематик	и	ф изик
(1749-1827).

ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

т ем

п,

и при лю бы х ф иксированны х ном ерах ст рок Д , Д , ... ,

ik т а

ких,

чт о 1 ^

i\ < Д

< . . .

ik ^

Щ для

определит еля п -го

порядка

(1.11)

справедлива ф ормула

Д =

d e t H

(-Di i +

•••+

i k + j i

+ •••+ j k

Л, J2, ■JJk

M ili2ik м

П12" Лк

’

(1.31)

M j l j 2 - - - j k M

J U 2 —3k

назы ваем ая разлож ением эт ого определит еля по к ст рокам Д ,

Д ,

... , ik-

С ум м ирование в эт ой ф орм уле идет по всем возм ож ны м зн а

ч ен и я м

индексов Д , Д ,

• •

Д ,

удовлет воряю щ им

усло ви ям

1 ^ Д <

< Д

- - - < jk

Д о к а з а т е л ь с т в о .

П реж де

всего

зам етим ,

что

ф орм ула

(1.31)

явл яется обобщ ением

уж е

доказанной

нам и ф орм улы разлож ен и я

определителя n -го порядка по о д н о й его строке с номером Д , в

которую

она переходит

при

1 (при

этом минор М** совпадает

с элементом

Л\

— это введенны й вы ш е минор элемен

щ 1:ц, а минор М ^

та

Пд а )-

Таким образом , при к

1 ф орм ула (1.31) доказана. Д о к азател ь

ство этой

ф орм улы

д л я

лю бого

к , удовлетворяю щ его

неравенствам

< к < п, проведем по

индукции, т. е. предполож им , что ф орм у

л а

(1.31) справедлива д л я

(к — 1) строк, и, опираясь на это, убедим ся

в справедливости ф орм улы (1.31) д л я

к строк.

И так, пусть 1 < К п и

ф иксированы какие угодно к

строк м атри

цы (1.8) с ном ерам и Д , «2

, ... ,

ik-> удовлетворяю щ ими условию 1 ^ Д

< Д < . .. < ik

^ ть. Тогда,

по

предполож ению , д л я (к

— 1) строк

ном ерам и Д , «2 , ... ,

ik - 1

справедлива ф орм ула

. .. + ik -

1 +

j i + ••• + jk

- i

Jl, J2 ,

Jk -

K h

-ik - l-TJ*l*2...*fe - 1

(1.32)

■jk _ 1 1VJ j l j 2 ---jk - 1

(суммирование

идет

по

всем

возм ож ны м

значениям индексов Д , . ..

• •., jk - 1

удовлетворяю щ им

условиям

1 ^

< Д < v -<

j k - i ^

п).

Р азлож и м

ф орм уле

(1.32)

каж ды й

минор

п0

стро

ке, имею щ ей

м атрице

(1.8)

номер

Д .

результате весь

опре

делитель Д будет представлен в виде некоторой линейной ком

бинации	миноров	^ ji'l .'.ljk~. -ijk	с	коэф ф ициентам и,	которы е	мы
обозначим	через	т. е. д л я	Д	будет справедливо	равенство	18)

18) Суммирование в этом равенстве, как и выше, идет по всем возможным зна-

	§ 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ		29
Д = УУ	. #7l_ 7 M %1 "'[k	и нам остается вы числить	коэф ф ициен -
ты	и убедиться в том, что они равны
	_ ^	+ ••• + ik + Д + ••• + jk ДД1•••\k	(1.33)
			(1.33)
С этой целью зам етим , что минор (п — &)-го порядка			получает

ся в результате разлож ен и я по строке с номером i &только следую щ их к

м иноров (п	— к + 1)-го порядка:
		(Я = 1 , 2 , . . - Л ) ,						(1.34)
ибо каж ды й из остальны х содерж ащ их строку Д м иноров (п							— к	+ 1)-
го порядка не содерж ит всех строк			и всех	столбцов м инора			М ^ ’’
В разлож ении каж дого м инора			(1.34)	по	строке	м атрицы		(1.8)
с номером	Д вы пиш ем	только то	слагаемое,		которое	содерж ит ми
нор М**’’	(остальные	не интересую щ ие		нас слагаем ы е обозначим
м ноготочием). У чи ты вая		при этом,	что в каж дом миноре (1.34) эле

мент ctikj s стоит на пересечении [Д — (к — 1)]-й строки и \js — (s — l)]-ro столбца этого м инора 1920) , мы получим

М	=	Л	(к	1)] + [Д		(s 1)]	М ч " Лк +
j l - - - j k ( б е з Д	=	( " Г 1					Ji-.-Jfc “
Теперь нам остается учесть, что в						ф орм уле	(1.32) каж ды й ми
нор (1.34) ум нож ается на м нож итель
/ __ - \| \ ( й +		••• “M fc -	l ) +	( j l +	••• + j k ) — j s д Д 1		k - 1
'	'					Д - - . Д ( б е з Д )
и после этого сум м ируется по всем s					от 1 до к. И м ея такж е в виду, что
(—l ) 2_2/e_2s =	1, мы получим, что
__	1 M i +	... + ifc +	j i +	... +	j k	к + s M %1"'%k7 1 .
•Зк = ( - 1 )						E ( - D	J l ...Jfc V6e3Js

Зам ечая, что сум м а в квад р атн ы х скобках представляет собой р азло

ж ение м инора М У ' У		по его последней к - й строке, мы окончательно
получим д л я Oj1'" jk Ф °РМУЛУ (1-33). Т еорема Л ап л аса доказана.
чениям индексов Д , ... , Д , удовлетворяющим условию						1 <СД < Д <	• • • Д Д ^ л.
19) Символом	А4У " д(без j		)	обозначается	минор,	отвечающий	пересечению
строк с номерами	Д , ...,	Д _ i	и	всех столбцов	с номерами Д , ... , Д , за исклю


чением	столбца с номером Д , а символом (1.34)—дополнительный к нему минор.
20)	Это вытекает из того, что строке с номером Д предшествует (к		— 1) строк,
а столбцу с номером Д предшествует (s — 1) столбцов минора		"	j ) ’ к
которому минор (1.34) является дополнительным.

30 ГЛ. 1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

З а м е ч а н и е . В полной аналогии с ф орм улой (1.32) записы вается и вы водится ф орм ула разлож ен и я определителя по каким -либо к его

столбцам .

4. С в о й с т в а о п р е д е л и т е л е й . Н иж е устанавливается р яд свойств,

которы м и обладает произвольны й определитель n -го порядка.

1°) С в о й с т в о	р а в н о п р а в н о с т и	с т р о к и	с т о л б ц о в .
Т р анспон ированием	лю бой м атрицы или	определителя	н азы вается

операция, в результате которой м еняю тся местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате транспонирования

м атрицы А

получается

м атрица,

н азы ваем ая

т ранспонированной по

от нош ению

к м ат рице А

и обозначаем ая символом А '.

В дальнейш ем мы договорим ся символами

|Л |, \В\, \А'\ . .. обозна

чать определители квад р атн ы х

м атриц

А ,

В , А 1 . ..

соответственно.

П ервое

свойство

определителя

ф орм улируется так: при

т ранспо

нировании

вели чи н а

определит еля

сохраняет ся, т. е. \А'\ =

\А\.

Это свойство непосредственно вы текает из теорем ы 1.2 (достаточно

лиш ь зам етить, что разлож ение определителя

\А\ по первому столбцу

тож дественно совпадает

с разлож ением

определителя \А'\ по первой

строке).

Д оказанное

свойство

означает

полную

равноправность

строк и

столбцов и

позволяет нам

все последую щ ие

свойства устанавливать

л и ш ь

д л я

с т р о к и

бы ть

уверенны м и в справедливости

их и д л я

столбцов.

2°)

С в о й с т в о

а н т и с и м м е т р и и

п р и

п е р е с т а н о в к е

д в у х

с т р о к

( и л и

д в у х

с т о л б ц о в ) . П ри перест ановке м ест а

м и двух ст рок

(и ли двух

ст олбцов) определит ель

сохраняет свою

абсолю т ную

в е л и ч и н у ,

но м ен яет

зн ак на прот ивополож ны й.

Д л я

определителя

второго

порядка

это

свойство

проверяется

элементарно

(из п рави ла

(1.10)

сразу вы текает, что

определители

а ц

« 12

«21

«2 2

отличаю тся лиш ь знаком ).

«21

« 22

«11

«1 2

С читая, что п >

2, рассм отрим

теперь определитель n -го порядка

(1.11)

и предполож им , что в этом определителе м еняю тся местами две

строки с ном ерам и Ц и

З ап и сы вая ф орм улу Л ап л аса разлож ен и я

по этим двум строкам, будем иметь

■'ll l2

Д =

i y i + *2 + ji + j2 M ili2M ^

(1.35)

,32

3132

П ри перестановке местами

строк

с ном ерам и

Ц и г2

каж ды й опреде

литель

второго порядка

в силу доказанного вы ш е м еняет зн ак

на противополож ны й, а все остальны е величины , стоящ ие под знаком

<<< < Предыдущая 1 23 / 323 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.08 Mб0Ленинец. 1992, 6 (1368).pdf
#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб1Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб31Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб3Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб0Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб5Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб17Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf