Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Линейная алгебра.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.11.2023

Размер:

10.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 329 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

записав их в виде

0*11X1

0-12^2

+ . . .

CLir Xr

— Ш (г + l)Xr + 1

—

0 \ n Xn ,

02lX\

Ci22%2

+ . ..

CL2rXr

— а 2(г+1)жг+1

—

— &2ПЖП,

a r i X l

C i r 2 X 2

I . . .

C L y y X у

---

Ь у

C l y ^ y |_ i ^

|_ i

. . .

C L y y ^ X y ^.

(3.19)

Если мы придадим неизвестны м

жг + 1 , . . . ,

х п

соверш енно про

извольны е

значения

cr + i, ... ,

сп , то система

(3.19)

превратится в

квадратн ую систему

линейны х

уравнений

д л я

г неизвестны х

ад, Х2 , • •., Ху, причем определителем основной м атрицы этой системы явл яется отличны й от нуля базисны й минор м атрицы (3.2). В силу ре зультатов преды дущ его пункта, эта система (3.19) имеет единственное реш ение, определяемое ф орм улам и К рам ера, т. е. д л я произвольно вы

бранны х	cr + i, ... ,	сп	сущ ествует единственная совокупность г			чисел
ci, С2 , ... ,	Су, обращ аю щ их в тож дества все уравнения системы					(3.19)
и определяю щ ихся ф орм улам и К рам ера.
Ч тобы записать		это		единственное реш ение, договорим ся обозна
ч ать символом Mj ( di )			определитель, получаю щ ийся из базисного ми
нора М	м атрицы	(3.2)		заменой его j -	го столбца столбцом	из чи
сел d i, б?2	, . .. , Ф, ... ,		dr	(с сохранением	без изм енения всех остальны х
столбцов	М ) . Тогда,		зап и сы вая реш ение системы (3.19) с помощ ью

ф орм ул К р ам ер а и пользуясь линейны м			свойством определителя, мы
получим
Cj =	^г(г + 1)^г + 1	•••	Oin Cn )	=
=	~ cr + l M j {ai^r + 1)) - . ..			- cn M j { a in)\{3.20)

(j = 1, 2, . .. , г).

Ф орм улы (3.20) вы раж аю т значения неизвестны х xj — cj (j —

— 1, 2, ... , г) через коэф ф и ц и ен ты при неизвестны х, свободные члены

и произвольно заданны е п арам етры cr + 1			, ... , сп .
Д окаж ем , что ф ормулы	(3.20)	содерж ат любое реш ение сист ем ы
(3.1). В самом деле, пусть	cj, с®,	... , с£,	с£ + 1, ... , — произвольное

реш ение указанной системы . Тогда оно явл яется реш ением и системы

(3.19) . Но из системы (3.19) величины cj, rf!, ... ,			с°г определяю тся через
величины с° + 1, ... , с°п однозначно	и именно	по	ф орм улам К р ам ер а
(3.20) . Таким образом, при cr + i =	с£ + 1, ... ,	сп	=	ф орм улы (3.20)
даю т нам как раз рассм атриваем ое реш ение с?, с®, ... ,				с$!,	+ ±, ... , .
З а м е ч а н и е . Если ранг г основной и расш иренной м атриц систе
мы (3.1) равен числу неизвестны х	п, то в этом		случае		соотнош ения6

6 В .А . И л ьи н , Э .Г. П о зн я к

ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

(3.20)

переходят в ф орм улы

M j {к )

= 1,

гг),

определяю щ ие

е д и н с т в е н н о е

реш ение

системы

(3.1). Таким об

разом ,

сист ем а (3.1) им еет

единст венное реш ение

(т . е. я в ля е т с я

определенной)

при усло ви и ,

чт о

ранг

основной и

расш иренной

ее

м а т р и ц равен

ч и слу н еизвест н ы х п

(и

меньш е числа уравнений

или равен ему).

П ри м ер . Н айдем все реш ения линейной системы

Х\

Х‘2

+ Х3

Х4

Х\ Т

Х 2 Т

2 ж з +

3 ^ 4

8 ,

/ о

2 х 1 +

4 х 2

5х3

10х4 =

20,

[

}

2xi

— 4x2

хз

— 6x4

Н етрудно убедиться в том, что ранг как основной, так и расш иренной

м атрицы этой системы равен двум (т. е. эта система совместна), при

чем мож но считать, что базисны й минор М стоит в левом верхнем углу

1	- 1
основной м атрицы , т. е. М =	= 2 . Но тогда, отбрасы вая
1	1

д в а последних уравнения и зад а в ая произвольно сз и С4 , мы получим систему

х 2

4 -

с3

с4,

x i

х 2

= 8

2 с3

— Зс4,

из которой в силу ф орм ул К р ам ер а получаем значения

xi = ci = 6 -

с4,

х 2

с2

2 -

2с4.

(3.22)

- с 3

- с 3 -

Таким образом , четы ре числа

6 -

с4,

2 -

2с4,

с 3 , с 4

(3.23)

- С 3

- с 3

при произвольно задан н ы х значениях с3

и С4

образую т реш ение систе

мы (3.21), причем строка (3.23) содерж ит все

реш ения

этой

системы .

3 . С войства совокупности реш ений одн ор одн ой систем ы .

Рассм отрим теперь однородную систему т линейны х уравнений с п неизвестны м и (3.7), предполагая, как и выш е, что м атри ц а (3.2) имеет ранг, равны й г, и что базисны й минор М располож ен в левом верхнем углу этой м атрицы .

	2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ							83
П оскольку на этот раз все hi			равны нулю, вместо ф орм ул (3.20) мы
получим следую щ ие ф орм улы :
C j =	— ~^\.Сг + 1 ^ 0 ( а г(г + 1)) +		• • • +	C n M j (din)]		(j	= 1, 2, . .	г),
								(3.24)
вы раж аю щ ие значения		неизвестны х		Xj	= Cj (j	=	1, 2, ... ,	г) че
рез коэф ф и ц и ен ты при		неизвестны х		и	произвольно		заданны е	значе
ния cr \|_ 1 , ... , сп . В силу доказанного в преды дущ ем							пункте ф ормулы
(3.24)	содерж ат любое реш ение однородной сист ем ы (3.7).

У бедимся теперь в том, что совокупност ь всех реш ений однородной

сист ем ы	(3.7)	образует лин ейное прост ранст во.
П усть	Х \	— ( х ^ \ ... , Хп^)	и I 2 =	(х ^ \ . . Х п ^ ) ~ д в а произ
вольны х реш ения однородной			системы	(3.7), а Л — лю бое вещ ествен

ное число. В силу того, что каж дое реш ение однородной системы (3.7) явл яется элементом линейного п ространства А п всех упорядоченны х

совокупностей п чисел, достаточно доказать, что				к аж д ая	из двух со
вокупностей
Х г + х 2 =	( а Д +	4 2), . . . , а Д	+	Д 2))
и
A M =	(Л а Д ,	АагД)
такж е явл яется реш ением однородной системы			(3.7).
Рассм отрим любое уравнение		системы (3.7), наприм ер			г-е уравне

ние, и подставим в это уравнение на место неизвестны х элем енты ука

занны х совокупностей. У чи ты вая, что Х \			и Х ^ ~ р е ш е н и я однородной
системы, будем иметь
± «у [*<‘> + г ? ]	= ±	« у * ™	+ ±	««*< » = 0,
3 = 1	3 = 1		3 = 1
п		п
У a ij [Л4 1)] =		Л У аХ Р		=
з = 1		з = 1

а это и означает, что совокупности X i + Х 2 и AXi являю тся реш ениям и однородной системы (3.7).

И так, совокупность всех реш ений однородной системы (3.7) обра зует линейное пространство, которое мы обозначим символом R .

Н айдем разм ерность этого п ространства R и построим в нем базис. Д окаж ем , что в предполож ении о том, что ранг м атрицы однород

ной системы (3.7) равен г, лин ейное прост ранст во R всех реш ений б

б:

ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

однородной сист ем ы

(3.7)

изоморф но ли н е й н о м у прост ранст ву А п ~ г

всех упорядоченны х совокупност ей

(п —г)

чисел 14) .

П оставим

соответствие

каж дом у

реш ению

(щ , ... , сг ,

cr + i , . . . ,

сп )

однородной

системы

(3.7)

элем ент

(cr + i,

... , сп )

п ространства

Д(п

г)'

П оскольку

числа

cr |_ 1 , ... ,

сп

м огут

бы ть

вы браны

произвольно

при

каж дом

вы боре

помощ ью

ф орм ул

(3.24)

однозначно

определяю т

реш ение системы

(3.7),

то

установ

ленное

нами

соответствие

явл яется

взаим но

однозначны м .

Д алее

зам етим ,

что

если

элем енты

(су

cyn

) и

(

™

)

про

стран ства

А п ~ г

отвечаю т

элементам

( с ^ , . . . ,

с ^ \

с ^ + 1? . .. ,

Сп^)

и ( c f \

... ,

с^г \

с ^ ! ,

. .. ,

ci2))

п ространства Л,

то

из

ф орм ул

(3.24)

сразу ж е следует, что элементу

(1)

(2)

(!)

(2)\

(су у. г +

су у.1,

Сп

+ Сп ) отвечает

элемент

(1)

(2)

с С

с Д

J1)

Д2)

(1)

с Д ) ,

(су '

с\

СГ + 1

"Г

+ 1 5 ' ' ' 5

а элементу

(Лс^1^ ,

. .. ,

Xcffl)

при

лю бом

вещ ественном

отвечает

элем ент

(А сД ,

Ас!-11. А с Д 1;

АсД *). Тем

сам ы м

доказано,

что

установленное нами соответствие явл яется изом орф изм ом .

И так,

лин ейное

прост ранст во

всех

реш ений

однородной

сист ем ы

(3.7)

с п

н еизвест н ы м и и рангом основной

м ат рицы ,

рав

ны м г,

изоморф но прост ранст ву А п ~ г и , ст ало бы т ь,

им еет разм ер

ност ь

— г.

Л ю бая

совокупност ь

из

(п

— г )

ли н ей н о

н езависим ы х

реш ений

однородной сист ем ы

(3.7)

образует

(в силу теорем ы 2.5)

базис в про

ст ранст ве R всех реш ений и назы вает ся ф ундам ент альной совокуп

ност ью реш ений однородной сист ем ы

(3.7).

Д л я

построения

ф ундам ентальной

совокупности

реш ений

м ож но

о тп равляться от лю бого базиса п ространства А п ~ г . О твечаю щ ая это му базису совокупность реш ений системы (3.7), в силу изом орф изм а, будет линейно независимой и поэтом у будет явл яться ф ун дам ен таль

ной совокупностью реш ений.
	Особо вы деляю т ф ундам ентальную совокупность реш ений		систе
мы	(3.7), отвечаю щ ую простейш ему	базису e i = (1, 0, 0, ... , 0),	в 2 =
=	(0, 1 , 0 , . . . , 0), ... , е п _ г = (0, 0,	0, ... , 1) п ространства А п ~ г и н а

зы ваем ую норм альной ф ундам ент альной совокупност ью реш ений од нородной системы (3.7).

П ри сделанны х вы ш е предполож ениях о ранге и располож ении ба зисного минора, в силу ф орм ул (3.24), н орм альн ая ф ун дам ен тальн ая

14) П ространство А ш введено в примере 3 п. 1 § 1 гл. 2.

2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

совокупность реш ений однородной системы (3.7) имеет вид:

Х г = [ -	М	\	(н^(г -f 1 ))		M	r i f l i ^ r + 1))
Х г = [ -			м	’		м
			м	’		м
Х 2 =	М	\	{cLi(r -\|- 2 ))		M	r ( d i ( r -)- 2 ))	, о, 1,	0 J ,
Х 2 =			м	’		м	, о, 1,	0 J ,
			м	’		м
			(	M i i c L i n )		M r { d i n )		l V
	г ~ 1			м '■		м , 0 , 0 , . . . ,		l V

(3.25)

По определению базиса лю бое реш ение X однородной системы (3.7) представим о в виде

	X	—	С \Х \	+ С 2Х 2 +		. ..		+ C n —rX n —rj			(3.26)
где	Ci, С 2, ... ,	С п - Г — некоторы е				постоянны е. П оскольку					в ф о р
муле (3.26) содерж ится лю бое реш ение однородной системы											(3.7), то
эта	ф орм ула дает		о б щ е е	р е ш е н и е			рассм атриваем ой однородной
системы .
	Пример. Рассм отрим однородную систему уравнений
			Xl -		х2 + х3		-	Х4	=	О,
			Х\ Т х2 Т 2жз				+	3^4	=	0,	/о 2 7 )
			2xi Т	4:Х2	5жз	-\|- 10ж4 =				О,
			2xi	— 4 х 2 + х з			—	6x 4 =		О,

соответствую щ ую неоднородной системе (3.21), разобранной в примере в конце преды дущ его пункта. Там мы вы яснили, что ранг г м атрицы этой системы равен двум, и взяли в качестве базисного минор, стоящ ий в левом верхнем углу указанной м атрицы .

П овторяя рассуж дения, проведенны е в конце преды дущ его пункта,

мы получим вместо ф орм ул		(3.22) соотнош ения
Cl	3	— С4,	1	2С4,
	— —- С о		С2 — — - С о —
справедливы е при произвольно вы бранны х сз и С4 . С помощ ью					этих
соотнош ений (полагая сн ачала С3			= 1 , С4 = 0 , а затем сз = О,		С4 =
= 1 ) мы получим	норм альную ф ундам ентальную			совокупность двух
реш ений системы	(3.27):

м = ( 4 - 1 л 4

* 2 = ( - 1 , - 2 , о, 1) .

86		ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Общее реш ение однородной системы				(3.27) имеет вид
	х	= С 1 ( - \|	1, о )	+ С 2 ( -	1, -	2, 0, 1),	(3.28)
где С \	и С*2 — произвольны е постоянные.
В	заклю чение этого пункта		установим связь			м еж ду реш ениям и
неоднородной линейной системы			(3.1) и соответствую щ ей ей однород
ной системы		(3.7) 15) . Д окаж ем следую щ ие			д в а	у т в е р ж д е н и я .
1°)	С ум м а любого р еш ения неоднородной				сист ем ы (3.1)		с лю бы м

реш ением соот вет ст вую щ ей однородной сист ем ы (3.7) предст авля

ет собой реш ение сист ем ы

(3.1).

самом

деле,

если

щ , ... , сп — реш ение

системы

(3.1), а

d i,

... ,

dn — реш ение

соответствую щ ей ей однородной

системы

(3.7),

то,

подставив

в лю бое

(например, в г - е) уравнение системы (3.1) на

место неизвестны х числа с\

... ,

сп + dn , получим

5 3

4?)

5 3

а*3С3

5 3

+ 0 =

bi,

3 = 1

что и требовалось доказать.

2°)

Р азност ь

двух

произвольны х

реш ений неоднородной

сист е

м ы

(3.1) я в ля е т с я

реш ением

соот вет ст вую щ ей

однородной сист е

м ы (3.7).

В самом деле, если Д ,

... ,

и с'/, . .. ,

с" — д в а произвольны х реш е

ния системы (3.1), то, подставив в любое

(наприм ер,

в г-е) уравнение

системы (3.7) на место неизвестны х числа с[ —с" , . .. ,

с'п

—с " , получим

5 3 а^ У

с")

Y 1 аи с'з — 5 3

ctijC"

—

hi =

3 = 1

что и требовалось доказать.

И з

доказанны х

утверж дений вы текает, что,

найдя

одно реш ение

неоднородной сист ем ы

(3.1)

и склады вая его с каж ды м реш ением со

от вет ст вую щ ей однородной сист ем ы

(3.7), м ы п о луч и м все реш ения

неоднородной сист ем ы

(3.1).

Д ругим и

словами,

сум м а

част ного р еш ения

неоднородной

сист е

м ы

(3.1) и

общего р еш ения

соот вет ст вую щ ей

однородной

сист ем ы

(3.7) дает общее реш ение неоднородной сист ем ы

(3.1).

15) С теми же самыми коэффициентами при неизвестных.

2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ			87
В качестве частного реш ения	неоднородной системы (3.1)		есте
ственно взять то его реш ение 16)
М 1 (bj)	M r (bi)	, 0 , 0 , . . . , о	(3.29)
м	м	, 0 , 0 , . . . , о	(3.29)
м	м
которое получится, если в ф орм улах (3.20) полож ить равны м и			нулю

все числа cr + 1 , ... , сп . С к л ад ы вая это частное реш ение с общ им реш е нием (3.26) соответствую щ ей однородной системы, мы получим следу

ющее вы раж ение д л я общ его реш ения неоднородной

системы (3.1):

X Q +

С \Х \

С 2 Х 2 + . ..

С п —гХ п —г .

(3.30)

этом вы раж ении X Q обозначает частное реш ение (3.29), C i, С 2 ,

... ,

С п - г — произвольны е

постоянны е,

Х \ , Х 2 , ... ,

Х п _ г —

элем енты

норм альной

ф ундам ентальной

совокупности

реш ений

(3.25)

соответствую щ ей однородной системы .

Т ак, д л я рассм отренной в конце преды дущ его пункта неоднородной

системы (3.21)

частное

реш ение

вида (3.29) равно Х 0

(6, 2, 0, 0).

С к л ад ы вая

это

частное реш ение

с общ им

реш ением

(3.28)

соответ

ствую щ ей однородной системы

(3.27), мы получим следую щ ее общее

реш ение неоднородной системы

(3.21):

(6,

2 , 0 , 0 ) +

1 , 0 )

С 2(— 1,

— 2 , 0

, 1 ).

(Здесь С \ и С 2 — произвольны е постоянны е.)

4 .

Заклю чительны е

зам ечан и я

реш ении линейны х си

стем .

Р азви ты е в преды дущ их

пунктах м етоды реш ения

линейны х

систем упираю тся в необходимость вы числения ранга м атрицы и нахо ж д ен и я ее базисного минора. П осле того, как базисны й минор найден, реш ение сводится к технике вы числения определителей и к использо

ванию ф орм ул К рам ера.

Д л я вы числения ранга м атрицы м ож но использовать следую щ ее

правило: при вы числении ранга м ат рицы следует переходит ь от м и норов м е н ь ш и х порядков к м инорам б ольш их порядков; при эт ом , ес

л и уж е найден от личн ы й от н у л я м инор М	порядка к , то т ребую т
вы числения ли ш ь м иноры порядка (k + 1),	окайм ляю щ ие 17) эт от

16)При этом предполагается, как и выше, что ранги основной и расширенной матриц системы (3.1) равны г и что базисный минор находится в левом верхнем углу этих матриц.

17)То есть содержащие внутри себя минор М.


88		ГЛ. 3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
м и н о р М ;	в	случае равенст ва	нулю всех		о ка й м ляю щ и х м иноров по
рядка (k +	1) ранг м ат рицы равен к 18) .
У каж ем		и другое правило	вы числения		ранга м атрицы . Зам етим ,
что со строками (столбцами)			м атрицы	м ож но производить			т ри эле
м ент арны е		операции, не изм еняю щ ие		ранга		этой м атрицы :	1)	пере
становку двух строк (или двух столбцов),					2)	ум нож ение строки		(или
столбца) на		лю бой отличны й	от нуля	м нож итель, 3) прибавление к

одной строке (столбцу) произвольной линейной комбинации других

строк (столбцов) 19) .

Будем говорить, что м атри ц а ||а^-||, содерж ащ ая т строк и п столб

цов, имеет	диагональны й вид, если			равны нулю все ее элементы , от
личны е от	а ц , а 2 2 , . .	а гг, где	r = m in { m , п } . Р ан г такой				м атрицы ,
очевидно, равен г.
У бедимся в том, что посредством					т рех элем ент арны х		операций
лю бую м а т р и ц у
		а	ц	. .		a i n
							(3.31)
		a	m i	•	•	®>тп
м ож но привест и к диагональном у виду						(что и позволяет вы числить
ее ранг).
В самом	деле, если	все элем енты м атрицы (3.31) равны					нулю, то

эта м атри ц а уж е приведена к диагональном у виду. Если ж е у м атри цы (3.31) есть отличны е от нуля элементы , то путем перестановки двух строк и двух столбцов мож но добиться того, чтобы бы л отличен от ну л я элем ент а ц . У м нож ая после этого первую строку м атрицы на а ^ 1,

мы превратим		элемент а ц в единицу. В ы читая далее из j -го столбца
м атрицы	(при	j	= 2, 3, ... , п)	первы й	столбец, ум нож енны й на ai j,
а затем	вы читая		из г-й строки	(при г	=	2, 3, ... , п) первую строку,
ум нож енную на а ц , мы получим вместо						(3.31) м атрицу следую щ его
18) В самом		деле, в указанном случае все строки (столбцы) матрицы принад
леж ат линейной		оболочке ее к строк		(столбцов), на пересечении которых стоит

минор М , а размерность указанной линейной оболочки равна к.

19) Эти три операции не изменяю т ранга матрицы вследствие того, что опера ции 1 ) и 2) не изменяю т максимального числа линейно независимых строк (столб цов) матрицы, а операция 3) обладает тем свойством, что линейная оболочка всех строк (столбцов), имевшихся до проведения этой операции, совпадает с линейной оболочкой всех строк (столбцов), полученных после проведения этой операции.

2. ОТЫСКАНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ				89
вида:
1	0		0
0	а 2 2	• •	а 2п
0	< 2	• . .	^OLт п

С оверш ая уж е описанны е нами операции с м атрицей, взятой в рамку, и продолж ая действовать аналогичны м способом, мы после конечного числа ш агов получим м атрицу диагонального вида.

И злож енны е в преды дущ их пунктах м етоды реш ения линейны х си стем, использую щ ие, в конечном итоге, ап п арат ф орм ул К рам ера, мо гут привести к больш им погреш ностям в случае, когда значения ко эф ф ициентов уравнений и свободных членов задан ы приближ енно или когда производится округление этих значений в процессе вычислений.

В первую очередь это относится к случаю , когда м атрица, отвечаю

щ ая основному определителю	(или базисному м инору), явл яется п л о
хо обусловленной (т. е. когда	«малы м» изм енениям элементов этой
м атрицы отвечаю т «больш ие»	изм енения элементов обратной м атри

цы). Естественно, что в этом случае реш ение линейной системы будет

неуст ойчивы м (т. е. «малы м» изм енениям значений коэф ф ициентов уравнений и свободных членов будут отвечать «больш ие» изм енения р еш ен и я). О тм еченны е обстоятельства приводят к необходимости р аз

работки как других (отличны х от ф орм ул К рам ера) теоретических алгоритм ов оты скания реш ения, так и численны х методов реш ения

линейны х систем.

В § 4 гл. 4 мы познаком им ся с м ет одом р егуляр и за ц и и А .Н . Т и хо нова оты скания так назы ваем ого норм ального (т. е. наиболее близкого к началу координат) реш ения линейной системы .

В гл. 6 будут излож ены основные сведения о так назы ваем ы х и т е рационны х м ет одах реш ения линейны х систем, позволяю щ их реш ать эти системы при помощ и последовательны х приближ ений неизвест ных.

Г Л А В А 4

Е В К Л И Д О В Ы П Р О С Т Р А Н С Т В А

И з курса	аналитической	геом етрии читатель знаком с поняти
ем скалярного	произведения	двух свободных векторов и с четы рьм я

основными свойствам и указанного скалярного произведения. В насто

ящ ей главе изучаю тся линейны е п ространства лю бой природы , дл я

элементов которы х каким -либо способом (причем безразлично каким)

определено правило, ставящ ее в соответствие лю бы м двум элемен

там число, назы ваем ое скалярны м произведением этих элементов. П ри

этом важ н о только, чтобы это правило обладало теми ж е четы рьм я

свойствами, что и правило составления скалярного произведения двух

свободных векторов. Л инейны е пространства, в которы х определено указанное правило, назы ваю тся евклидовы м и прост ранст вам и. В н а

стоящ ей главе вы ясняю тся основные свойства произвольны х евклидо вы х пространств.

§ 1. В ещ ествен н ое евклидово пространство и его п ростейш ие

свойства
1. О п р едел ен и е вещ ественного	евк ли дова пространства.
В ещ ественное линейное пространство R назы вается вещ ест венны м ев
клидовы м прост ранст вом (или просто	евклидовы м прост ранст вом ),
если вы полнены следую щ ие д в а требования.

I. И меется правило, посредством которого лю бы м двум элементам этого п ространства х н у ставится в соответствие вещ ественное число,

назы ваем ое скалярны м произведением этих элементов и обозначаемое

символом (х,			у).
II. У казанное				правило				подчинено следую щ им четы рем аксиомам:
1°)	(х,	у)	=	(у,	х)	(переместительное свойство или			сим м етрия);
2°) (xi		+ х 2, у)			=	(xi,		у) + (х2, у) (распределительное свойство);
3°)	(Ах, у)		=	А(х, у)			д л я лю бого вещ ественного А;
4°)	(х, х)		>	0,	если		х — ненулевой элемент; (х, х) =		0, если х —
нулевой элемент.
П одчеркнем ,				что при				введении понятия евклидова	пространства

мы абстрагируем ся не только от природы изучаем ы х объектов, но и

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 329 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20232.08 Mб0Ленинец. 1992, 6 (1368).pdf
#
12.11.20232.17 Mб0Ленинец. 1992, 7 (1369).pdf
#
12.11.20232.12 Mб0Ленинец. 1992, 8 (1370).pdf
#
12.11.20232.18 Mб0Ленинец. 1992, 9 (1371).pdf
#
12.11.20232.09 Mб1Ленинец. 1993, 1 (1379).pdf
#
20.11.202310.82 Mб1Линейная алгебра.-1.pdf
#
12.11.202313.06 Mб32Линейная алгебра..pdf
#
12.11.20239.52 Mб3Майкл Джексон. Мадонна. Страницы жизни.pdf
#
12.11.20233.97 Mб0Макромоделирование интегральных микросхем..pdf
#
12.11.20238.18 Mб5Малобазные тензодатчики сопротивления..pdf
#
12.11.202314.32 Mб17Малогабаритные генераторы накачки полупроводниковых лазеров..pdf